Sport, matematika, počítač
Fakulta sportovních studií Masarykovy univerzity
Ing. Josef Kopřiva

Kliknutím na šedou plochu pod nápisem se vrátíte zpět nahoru

L. Atletika

část L01–L05

L05 Výdej energie při běhu na různě dlouhé trati

V literatuře najdeme údaje o rozsahu výdeje energie při běhu na různě dlouhých tratích. Ve starých jednotkách (kcal):

L(km)	A(kcal)
0,1	35 – 53
0,2	46 – 68
0,4	48 – 84
0,8	80 – 90
1,5	107 – 202
5	370 – 400
10	750

Převedeme-li tyto mezní hodnoty a jejich průměry na nové jednotky

(kilojoule, kJ), dostaneme:

L(km)	A1	A2	A3
(km)	min	prům	max
0,1	146,5	184,2	222
0,2	192,6	238,6	284,7
0,4	201	276,3	351,7
0,8	335	356	376,8
1,5	448	649	845,8
5	1549	1612	1674,7
10	3140	3140	3140

Tato data nejlépe aproximují lineární funkce

min	A1 = 302,4 · L + 80,7	(kJ, km)	r=0,999
prům	A2 = 297 · L + 158,8	(kJ, km)	r=0,9995
max	A3 = 291,3 · L + 236	(kJ, km)	r=0,997

Dostáváme nečekaný výsledek:

Energetický výdej při běhu roste lineárně s délkou trati

čím lepší běžec, tím menší absolutní člen této funkce
strmost této lineární funkce (regresní součinitel) klesá poměrně pomalu s rostoucí úrovní běžce

Tyto závěry je možné vysvětlit rozdíly v technice běhu a její účinnosti i ve fyziologii práce (trénovanosti).

Literatura

Klokov L. A. – Vasiljeva E. S. Gaswechseluntersuchungen beim Laufüber verschiedene Strecken. Arbeitsphysiologie 7, 1934, 62–
Vinařický R. – Kubalová S. – Frank V. – Vodička P. Výdej energie při lehkoatletických bězích, vztah rychlosti běhu a výdeje nergie, využití individuálních rozdílů v tréninkové praxi. Teor. praxe těl. vých. 19, 1971, č.12, str. 722–729

Nahoru

L01 Dynamika startu

Po startovním výstřelu se po dobu reakční doby sprinter nehýbe. Po jejím uplynutí začne stoupat zatížení startovních bloků podle grafu, který uvádí Griffing [85]. Z něj je možné vyvzorkovat následující tabulku celkové síly, působící na bloky:

t(s)	F(lbf)	F(N)
0,125	70	311,4
0,150	230	1023,1
0,175	390	1734,8
0,200	340	1512
0,225	245	1089,8
0,250	185	823
0,275	165	734
0,300	170	756
0,325	200	889,7
0,350	212	943
0,375	240	1067,6
0,400	237	1054,2
0,425	200	889,7
0,450	100	444,8
0,475	10	44,5
Celkem	2994	13317,6

Protože schází zcela údaje o směru síly, je i výpočet rychlosti z impulsu jen přibližný: impuls síly je

$I=\int{F}.dt=13318,2\hspace{1 mm}N.0,0125\hspace{1 mm}s=332,95\hspace{1 mm}N.s$

Při hmotnosti sprintera m = 75 kg dostaneme přibližnou rychlost

$v=\frac{I}{m}=\frac{332,95}{75}=4,439\hspace{1 mm}m/s$

Protože v tabulce jsou uvedeny hodnoty výsledné síly, není vypočítaná rychlost vodorovná. Při sklonu sprintera k zemi okolo 45^o by byla vodorovná složka Vx = 3,138 m/s. Z původního grafu lze odečíst reakční dobu tr = 0,12 s. Průběh pohybu, tj. zrychlení, rychlosti a dráhy počítáme postupně podle vzorců:

$ax=\frac{Fx}{m}$

$vx=v+ax.dt$

$s=s+vx.dt$

Tyto výpočty provedeme pomocí programu.

Literatura

Griffing D. F. The Dynamics of Sports. (3rd.ed.),1987, Dalog Co.,Oxford, Ohio, str. 87


DATA F1,F2,F3,… Fn

INPUT "m,dt="; m,dt

v=0: s=0

a:

READ F: ON ERROR GOTO b

a=F/m: v=v+a*dt: s=s+v*dt

PRINT USING "#####.###";F;a;v;s:GOTO a

b:

END

Příklad:

z dat v citované knize dostaneme:

F(N)	a(m/s2)	v(m/s)	s(m)
311.4	4.152	0.104	0.003
1023.1	13.641	0.445	0.014
1734.8	23.131	1.023	0.039
1512.0	20.160	1.527	0.077
1089.8	14.531	1.890	0.125
823.0	10.973	2.165	0.179
734.0	9.787	2.409	0.239
756.0	10.080	2.661	0.306
889.7	11.863	2.958	0.380
943.0	12.573	3.272	0.461
1067.6	14.235	3.628	0.552
1054.2	14.056	3.980	0.652
889.7	11.863	4.276	0.758
444.8	5.931	4.424	0.869
44.4	0.592	4.439	0.980

Pozn: síla má dva zřetelné vrcholy, asi maxima od obou nohou.

Nahoru

L02 Vytrvalost běžce sprintera

Průměrná rychlost sprintera bude u nejkratších sprintů do 60 m snížena vlivem reakční doby, pohybů v blocích a zrychlováním. U delších sprintů pak začne snižovat okamžitou i průměrnou rychlost únava, se kterou souvisí sprinterská vytrvalost. Tu můžeme posoudit pomocí délky trati, na které sprinter dosahuje maxima své průměrné rychlosti. Tato trať nebývá shodná s délkou trati, na které dosáhne sprinter maxima okamžité rychlosti.

Nalezení trati pro maximální průměrnou rychlost nemusíme provést prakticky, tj. opakovanými sprinty na různě dlouhých tratích. To by ostatně nebylo dostatečně přesné. Známe-li několik stejně kvalitních výkonů pro různě dlouhé sprinty, můžeme proložit těmito body vhodnou funkci a pak její derivací získáme snadno teoretické maximum. Jako vhodná se osvědčila funkce

$t=(a.L+b).\sqrt{L}$ (1)

Průměrná rychlost je pak

$v=\frac{L}{t}=\frac{\sqrt{L}}{a.L+b}v=\frac{L}{t}=\frac{\sqrt{L}}{a.L+b}$ (2)

Součinitele a, b pro tuto funkci můžeme najít metodou nejmenších čtverců a hledané maximum pomocí derivace

$\frac{dv}{dt}=0,5.\sqrt{L}.a+0,5.\frac{b}{\sqrt{L}}-\sqrt{L}.a=0$

Zjednodušením

$L_m.a=b$

a trať

$L_m=\frac{b}{a}$ (3)

rychlost

$v_m=\frac{\sqrt{L}}{a.L_m+b}$ (4)

I když výpočet pomocí následujícího programu lze provést i pro 2 časy a trati, je přesnější vložit více těchto dvojic do 300m. Pro trati delší je vhodnou metodou universální kvantitativní kriterium vytrvalosti v kap. H08.

Program v Qbasicu:


DATA 60,6.46,100,9.86,200,19.75

s:

READ x, y: ON ERROR GOTO v

sx = sx + x: k = x * x

kx = kx + k: cx = cx + k * x

s1 = s1 + y * SQR(x)

s2 = s2 + y * x * SQR(x)

GOTO s

v:

ds = sx * cx – kx * kx

da = sx * s2 – kx * s1

db = cx * s1 – kx * s2

a = da / ds: b = db / ds

PRINT "a,b="; a, b

lm = b / a: vm = SQR(lm) / (a * lm + b)

PRINT "Lmax,vmax="; lm, vm

r:

INPUT "L="; l

t = (a * l + b) * SQR(l)

v = l / t

PRINT "t,v="; t, v

GOTO r

END

Pozn.: do řádku DATA byly vepsány výkony Carla Lewise na 60, 100 a 200 m. Protože nebyly tyto výkony dosaženy v tomtéž roce, vyjadřují různou vytrvalost a výsledky neuspokojují přesností regrese:

a = 0,00405271, b= 0,5853357, L_m=144,43 m, v_m=10,266 m/s.

Doporučujeme použít data z jediného roku.

Nahoru

L03 Zvedání těžiště při běhu

Nedotýká-li se běžec dráhy, musí se těžiště jeho těla pohybovat po parabole, jejíž výška je

$h=0,5.g.(\frac{t}{2})^2=0,125.g.t^2=1,228.(\frac{L}{v})^2$

t … trvání 1 kroku (s)

L … délka 1 kroku (m)

v … rychlost běhu (m/s)

Pro L = 1,5–2,6 m a v = 5–11 m/s můžeme vypočítat tabulku zvednutí v m pro každý krok:

L	v (m/s)
(m)	5	6	7	8	9	10	11
1,6	,126	0,087	0,064	0,049
1,8		0,111	0,081	0,062	0,049
2,0		0,136	0,100	0,077	0,061	0,049
2,2			0,121	0,093	0,073	0,059	0,049
2,4			0,144	0,111	0,087	0,071	0,059
2,6				0,130	0,102	0,083	0,069

Počet kroků pro trať D je n = D / L

a celkové zvednutí pro všechny kroky na tuto trať

$H=n.h=\frac{1,228.D.L}{v^2}=\frac{1,228.L.T^2}{D}$

Pro olympijské tratě můžeme počítat následující tabulku celkového zvednutí v m: T(m:s)

D(km)	L(m)	1:42	1:44	1:46	1:48	1:50
0,8	1,8	28,7	29,9	31,0	32,2	33,4
	2,0	31,9	33,2	34,5	35,8	37,1
	2,2	35,1	36,5	37,9	39,4	40,8
	2,4	38,3	39,8	41,4	43,0	44,6
1,5		3:30	3:35	3:40	3:45	3:50
	1,8	65,0	68,1	71,3	74,6	78
	2,0	72,2	75,7	79,2	82,9	86,6
	2,2	79,4	83,3	87,2	91,2	95,3
	2,4	86,6	90,8	95,1	99,5	103,9
5		13:00	13:20	13:40	14:00	14:20
	1,6	239	252	264	277	291
	1,8	269	283	292	312	327
	2,0	299	314	330	347	363
	2,2	329	346	363	381	400
10		27:00	27:45	28:30	39:15	30:00
	1,6	516	545	575	605	637
	1,8	580	613	646	681	716
	2,0	645	681	718	757	796
	2,2	709	749	790	832	875
		hod:min
Marathon		2:00	2:10	2:20	2:30	2:40
	1,6	2414	2833	3286	3772	4291
	1,8	2716	3187	3696	4243	4828
	2,0	3017	3541	4107	4715	5364

Z této tabulky je zřejmé, že delší krok znamená větší zvednutí a výdej energie. U maratónu je zdvih velmi velký, jako výstup na vysokou horu. Kratší krok je ekonomičtější z tohoto hlediska, ale jiné výdeje mohou být větší

Nahoru

L04 Běh v zatáčce

Běh v zatáčce je podstatnou částí atletických běhů na dráze, delších nežli 100 m. Kromě toho se vyskytuje při rozběhu při skoku vysokém a v různých hrách. Běh v zatáčce není kruhovým pohybem, protože běžec se dotýká země jen přerušovaně a směr pohybu těžiště může měnit jen při styku se zemí. Proto dráha těžiště těla je mnohoúhelníkem se zaoblenými vrcholy. Při délce kroku L_k je počet kroků v jedné zatáčce atletické dráhy roven

$n=\frac{p.R}{L_k}$

Při každém kroku musí atlet změnit směr dráhy těžiště o úhel

$\alpha=\frac{180}{n}=\frac{180.L_k}{p.R}$

což pro poloměr dráhy R = 36,8 m dá

$\alpha=1,55695.L_k$

Běžec s hmotností m má při rychlosti v lineární hybnost

$G=m.v$

a k pootočení vektoru hybnosti o úhel α potřebuje impuls síly, kolmé na vektor hybnosti

$I=G.\tan\alpha$

Dotýká-li se běžec při každém kroku země po dobu dt, vytvoří potřebný impuls střední silou F, kolmou na dráhu

$F=\frac{I}{dt}=\frac{m.v.\tan\alpha}{dt}$

Při tomto kolmém působení se musí naklonit dovnitř zatáčky o úhel, daný

$\tan\beta=\frac{F}{G}=\frac{m.v.\tan\alpha}{m.g.dt}=\frac{0,10197.v.tg(1,55695.Lk)}{dt}$

Nakloněný běžec došlapuje na místo, vyšší nežli to, ze kterého se odrazil. Jeho výška pro jeden krok

$dH=dR.\tan\beta=(1-\cos\alpha).R.\tan\beta$

V zatáčce udělá n kroků a celé zvednutí za zatáčku je

$H1=n.(1-\cos\alpha).R.\tan\beta$

Z těchto všech vztahů můžeme vypočítat následující tabulku:

L(m)	v(m/s)	L(m)	dt(s)	b	H1(m)	Nz	H(m)
200	10	2,3	0,14	24,43	1,646	1	1,646
400	9	2,4	0,15	21,43	1,505	2	3,012
1500	7,2	2	0,17	13,18	0,738	7	5,1654
10000	6	1,8	0,18	9,415	0,4703	25	11,759

Ze zvednutí těžiště v jedné zatáčce H1 a zvednutí v celém závodě H plyne, že běh v zatáčce je běh do kopce.

K výpočtům můžeme použít program:


INPUT "v,Lk,dt=";v,L,d

n=115.61/L: a=1.55695*L

t=.10197*v*TAN(a)/d

H1=n*36.8*(1-COS(a))*t

PRINT "H1=";H1

END

autor: Ing. Josef Kopřiva, recenzent: Mgr. Martin Sebera, Ph.D. |
Fakulta sportovních studií, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |

| Technická spolupráce:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2011

Technické řešení této výukové pomůcky je spolufinancováno Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Nahoru

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ