Sport, matematika, počítač
Fakulta sportovních studií Masarykovy univerzity
Ing. Josef Kopřiva

Kliknutím na šedou plochu pod nápisem se vrátíte zpět nahoru

I. Hry, míče

I01 Maximální rychlost pádu míče

Pohybuje-li se těleso tekutinou (kapalinou nebo plynem) o hustotě h rychlostí v, vznikne dynamický tlak

$p=\frac{1}{2}.h.v^2$

Z tohoto tlaku vznikne odpor prostředí proti pohybu tělesa. Ten roste s velikostí předmětu, tedy jeho průřezem S, a závisí na tvaru tělesa, jež vyjadřuje tvarový součinitel odporu c_x:

$F_o=p.S.c_x=\frac{1}{2}.c_x.h.S.v^2$

Sportovní míče mají kulový tvar, pro který c_x = 0,3 a

$S=\frac{p.d^2}{4}=0,7854.d^2$

Ve vzduchu, kde h = 1,25 kg / m³ bude odpor

$F=\frac{1}{2}.0,3.1,25.0,7854.d^2.v^2=0,014726.d^2.v^2=k.v^2$

kde k = 0,014726 · d²

Gravitační zrychlení g bude zrychlovat padající míč až do okamžiku, kdy odpor vzduchu F se vyrovná s tíhou G = m · g

$k.v^2=m.g$

Rychlost pádu již neporoste a bude rovna

$v=(\frac{m.g}{k})^{0.5}$

Pro lehkoatletickou kouli a různé míče dostaneme tabulku:

	d (m)	m (kg)	k	v (m/s)	v (km/h)
koule atletická	0,12	7,27	2,120544E-4	579,83	2087,4
míče:
kopaná	0,22	0,45	7,127384E-4	78,69	283,27
házená muži	0,188	0,45	5,204757E-4	92,08	331,49
házená ženy	0,175	0,352	4,5098375E-4	87,49	314,96
volejbal	0,2244	0,27	7,41533E-4	59,76	215,12
basketbal	0,2435	0,625	8,731376E-4	83,78	301,62
basebal	0,07	0,145	7,21574E-4	140,38	505,74
vodní pólo	0,22	0,425	7,127384E-4	76,47	275,20
pozemní hokej	0,0729	0,16	7,826E-5	141,60	509,74
kolová	0,17	0,55	4,255814E-4	112,58	405,28
tenis	0,066	0,0577	6,414646E-5	93,92	338,11
tenis stol.	0,0372	0,0025	2,0378428-5	34,69	124,86
golf	0,042	0,045	2,5976664E-5	130,34	469,22

Význam mezní (maximální) rychlosti:

Dosahuje-li míč ve sportu jen zlomek mezní rychlosti a je-li dráha dostatečně krátká, lze dráhu míče považovat za parabolickou a lze zanedbat odpor vzduchu. Nejvíce se parabole blíží dráha lehkoatletické koule, protože její mezní rychlost je nadzvuková (580 m/s). Při světovém rekordu má koule rychlost jen málo nad 14 m/s, a dráha je krátká. Opakem je míček při stolním tenisu, jehož mezní rychlost 34,7 m/s (125 km/hod) je překračována při podání a smečích. Dráha tohoto míčku je balistická, odpor vzduchu zanedbat nelze, rychlost míčku rychle klesá.

Zvláštním případem je pád parašutisty: podle polohy je mezní rychlost mezi 150–280 km/h, dolní mez je dosažena při vodorovné poloze těla při akrobacii a skupinových skocích.

Nahoru

I02 Pružnost tenisových míčů

Tenisový míč, puštěný z výšky H = 100 palců (2,54 m) se má podle oficiálních pravidel odrazit do výšky minimálně 53 palců (1,3462 m) a maximálně 58 palců (1,4732 m). Pružnost popisující restituční součinitel má být tedy mezi dvěma hodnotami:

$minimem\hspace{1 mm}r_1=\frac{53}{100}=0,728$

$maximem\hspace{1 mm}r_2=\frac{58}{100}=0,7616$

S takovým měřením narazíme na potíže: počáteční výška je velká, změřit výšku maxima po odraze není snadné. Proto navrhl Machalický [80] jinou metodu, založenou na měření času pro několik odrazů míče:

míč pustíme svisle z počáteční výšky H, kterou můžeme volit, např. 2 m
při prvním dopadu míče na zem spustíme stopky
při n-tém dopadu míče na zem stopky zastavíme na T_n
z počáteční výšky H a času T_n vypočítáme ukazatel
$A_n=\frac{T_n}{2.\sqrt{2.\frac{H}{g}}}=1,01717.\frac{T_n}{\sqrt{H}}$

$g=9,80665\hspace{1 mm}m/s^2$
Tento ukazatel porovnáme s minimální hodnotou

$A_{min}=\frac{r_1.(1-r_1^n)}{(1-r_1)}=2,67662.(1-0,728^n)$
a maximální hodnotou
$A_{max}=\frac{r_2.(1-r_2^n)}{(1-r_2)}=3,19423.(1-0,7616^n)$
jestliže A_n < A_min, míč není dost pružný a má být vyřazen
estliže A_min< A_n < A_max, míč vyhovuje pravidlům
jestliže A_n > A_max, míč je pružnější a hra s ním je prý zajímavá.
Potřebné výpočty provede program v Qbasicu.

Literatura

Machalický J.: Tenisové míče a pravidla. Teor. praxe těl. vých. 16, 1968, č. 3, str. 180–181


INPUT "vyska H,počet odrazu n, cas T ";h,n,t

a=1.10717*t/sqr(h)

PRINT "a=";a

mi=2.67662*(1-.727^n)

ma=3.19423*(1-.7616^n)

IF a>ma THEN PRINT "mic je pruznejsi":GOTO e

IF a<mi THEN PRINT "mic nevyhovuje":GOTO e

PRINT "mic je v norme"

e:

END

Nahoru

I03 Úspěšnost střelby v košíkové

Roste-li vodorovná vzdálenost hráče košíkové od koše, klesá s touto vzdáleností procento úspěšnosti střelby. V jsou uvedena tato data:

vzdálenost		úspěšnost
stop	m	%
3	0,91	62
6	1,83	52
9	2,74	40
12	3,66	32
15	4,57	28
18	5,49	24
21	6,40	21
24	7,31	19,5
27	8,23	18
30	9,14	17
40	12,2	13

Závislost úspěšnosti v % na vzdálenosti koše můžeme aproximovat funkcí

$ú\hspace{1 mm}\%=\frac{183,77}{L+1,9977}\hspace{15 mm}r=0,993$

Regresními výpočty pomocí této funkce dostaneme tabulku:

vzdálenost (m)	úspěšnost (%)
0,91	63,2
1,83	48,0
2,74	38,8
3,66	32,5
4,57	28,0
5,49	24,5
6,40	21,9
7,31	19,7
8,23	18,0
9,14	16,5
12,2	13,0

Shoda regresně vypočítaných a původních procent je dobrá, o čemž svědčí součinitel korelace r = 0,993.

Literatura

Čelikovský a kol. Antropomotorika pro studující tělesné výchovy. SPN, Praha, 1979, s. 89, obr. 16

Nahoru

I04 Trestný hod při košíkové

Protože míč při trestném hodu má nízkou rychlost a let není dlouhý, můžeme dráhu míče považovat za parabolickou. Parabola je určena třemi body, použijeme-li metodu nejmenších čtverců, můžeme vložit bodů víc, metoda vypočítá parametry paraboly, procházející co nejlépe mezi nimi.

Rovnici odvodíme ze dvou parametrických rovnic

pro x

$x=v.\cos\alpha.t$ (1)

pro y

$y=v.\sin\alpha.t-0,5.g.t^2+H$ (2)

Eliminaci času

$t=\frac{x}{v.\cos\alpha}$ (3)

provedeme dosazením do (2)

$y=\frac{v.\sin\alpha.x}{v.\cos\alpha}-\frac{4,905.x^2}{v^2.cos^2\alpha}+H=$

$=(\frac{-4,905}{v^2.\cos^2\alpha}).x^2+\tan\alpha.x+H$ (4)

Srovnáme-li tuto rovnici s obecnou rovnicí paraboly

$y=a.x^2+b.x+c$ (5)

bude

$a=\frac{-4,905}{(v.\cos\alpha)^2}$ (6)

$b=\tan\alpha$ (7)

$c=H$ (8)

Protože tyto parametry dostaneme aproximací polynomem 2 stupně – viz rovnici (5), jsou hledané veličiny

počáteční úhel

$\alpha=\arctan{a}$ (9)

počáteční rychlost

$v=\sqrt{\frac{-4,905}{a}.\cos^2\alpha}$ (10)

(protože a je negativní!)

Nejvyšší bod paraboly najdeme jako extrém, položíme-li derivaci rovnice paraboly rovnu nule:

$2.a.x+b=0$ (11)

souřadnice vrcholu jsou

$x_m=\frac{-b}{2a}$ (12)

$y_m=ax_m^2+bx_m+c$ (13)

trvání letu míče

$T=\frac{x_3}{v\cos\alpha}$ (14)

úhel dopadu β je dán poměrem složek rychlosti:

$\tan\beta=\frac{v.\sin\alpha-g.T}{v.\cos\alpha}$ (15)

$\beta=\arctan(\frac{v.\sin\alpha-g.T}{v.\cos\alpha})$ (16)

Tento úhel ovlivňuje velikost, pod kterou se jeví koš pro dopadající míč. Tuto velikost ale ovlivňuje také délka dráhy míče, kterou počítáme integrací

$L=\sqrt{(1+y'^2)}dx$ (17)

Dosazením bude

$L=\sqrt{(1+(2ax+b)^2)}dx$ (18)

Prostorový úhel, vyjadřující velikost koše z místa, kde začíná dráha míče je zdánlivá plocha koše, dělená čtvercem vzdálenosti:

$\gamma=\frac{P.\sin\beta}{L^2}$ (19)

$=\frac{\pi.d^2}{4.L^2.\sin\beta}$ (20)

protože d = 0,45 m (průměr koše)

$=\frac{0,159.\sin\beta}{L^2}$ (21)

Pozn.: metodu lze použít pro výpočty skoků a vrhu koulí, vynecháme-li poslední parametr – prostorový úhel koše.

Program pro výpočet uvedených parametrů se nejsnadněji realizuje v kalkulátorech CASIO CFX-9970 nebo CASIO Algebra FX 2.0, protože zde je možno snadno naprogramovat aproximaci paraboly kvadratickým polynomem i integraci délky paraboly. Program v QBasicu bez této integrace je následující:


DATA 0,2.2,1.7,5,3.225,3.05

FOR w = 1 TO 3: READ x, y: PRINT x, y: NEXT w

RESTORE

a:

READ x, y: ON ERROR GOTO b

d = d + x: k = x * x: e = e + k: f = f + x * k: g = g + k * k

h = h + y: i = i + x * y: j = j + y * k: n = n + 1: GOTO a

b:

l = e – d * d / n: m = i – d * h / n: o = f – d * e / n: p = j – e * h / n

q = g – e * e / n: r = l * q – o * o: a = (p * l – m * o) / r

b = (m * q – p * o) / r: c = (h – b * d – a * e) / n

PRINT "a,b,c="; a; " "; b; " "; c

u = ATN(b): v = SQR(-4.905 / (a * COS(u) * COS(u)))

PRINT "alfa,v0="; u * 57.29578; " "; v

xm = -b / (2 * a): ym = (a * xm + b) * xm + c

PRINT "xm,ym="; xm; " "; ym

RESTORE: FOR w = 1 TO 5: READ x: NEXT w

t = x / (v * COS(u)): PRINT "T="; t

be = ATN((v * SIN(u) – 9.81 * t) / (v * COS(u)))

PRINT "úhel dopadu="; be * 57.29578

c:

INPUT "x="; x: y = (a * x + b) * x + c: PRINT "y="; y: GOTO c

END

Příklad:

počáteční bod trestného hodu má souřadnice x₁= 0, y₁= 2 m bod blízký středu parabolické dráhy x₂= 1,6 m, y₂ v rozsahu 2,8 to 4,6 m
koncový bod – střed koše x₃= 3,225 m, y₃= 3,05 m.

y₂	rovnice paraboly y =	a °	v (m/s)	b ^o	g msrad
2,8	-.10733x²+.6717x+2	33,89	8,14	-1,18	0,275
3,0	-.18426x²+.9198x+2	42,61	7,01	-15,04	3,272
3,2	-.26118x²+1.1679x+2	49,43	6,69	-27,38	5,323
3,4	-.3381x² +1,416x +2	54,77	6,60	-37,41	6,362
3,8	-.49195x²+1,91212x+2	62,39	6,81	-51,58	6,502
4,0	-.56887x²+2,1602y+2	65,16	7,00	-56,47	6,123
4,6	-.7996x² +2,9044x+2	71,00	7,61	-66,07	4,684

V tabulce jsou dva extrémy: maximální prostorový úhel 6,502 msrad pro y₂ = 3,8 m, minimální počáteční rychlost 6,6 m/s pro y₂ = 3,4 m. Kruh koše má vnitřní průměr d₁ = 0,45 m, míč má průměr d₂ = 0,78 / p = 0,248 m. Mezní úhel pro čistý hod je b = arccos(d2 / d1) = 56,56⁰. Tento úhel je možný pro y₂ > 3,8 m.

Resumé

nejčetnější trestné hody budou v rozsahu y₂ = 3,4–3,8 m, protože s prostorovým úhlem roste pravděpodobnost zásahu, s minimální rychlostí roste přesnost hodu a pro y₂ > 3,8 m roste možnost čistého hodu (bez dotyku koše).

Nahoru

I05 Půdorys fotbalového hřiště

K záznamu pohybu jednotlivých hráčů během zápasu lze použít půdorys fotbalového hřiště, nakreslený podle pravidel. Tento půdorys nakreslí následující program v Qbasicu. Velikost obrázku je možné změnit při xerografickém kopírování.


SCREEN 10: CLS: KEY OFF

LINE (20, 45)-(620, 405),, B

LINE (320, 45)-(320, 405)

CIRCLE (320, 225), 55

LINE (15, 203)-(20, 247),, B

LINE (620, 203)-(625, 247),, B

LINE (29, 269)-(53, 181),, B

LINE (620, 269)-(587, 181),, B

LINE (20, 345)-(120, 105),, B

LINE (620, 105)-(520, 345),, B

CIRCLE (86, 225), 55,, 5.4,.9

CIRCLE (554, 225), 55,, 2.25, 4

END

autor: Ing. Josef Kopřiva, recenzent: Mgr. Martin Sebera, Ph.D. |
Fakulta sportovních studií, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |

| Technická spolupráce:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2011

Technické řešení této výukové pomůcky je spolufinancováno Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Nahoru

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ