Sport, matematika, počítač
Fakulta sportovních studií Masarykovy univerzity
Ing. Josef Kopřiva

Kliknutím na šedou plochu pod nápisem se vrátíte zpět nahoru

E. Fyziologie práce

E01 Změny srdeční frekvence při změně zatížení

1. stoupání srdeční frekvence na začátku zátěže

Člověk s klidovou srdeční frekvencí f₀ začne náhle pracovat s intensitou, které odpovídá ustálená srdeční frekvence f₁. Přechod srdeční frekvence z klidové hodnoty na pracovní není okamžitý, jeho průběh můžeme vyšetřit přibližně matematicky, předpokládáme-li, že rychlost stoupání je úměrná rozdílu mezi okamžitou hodnotou srdeční frekvence f a frekvencí, odpovídající zátěži f₁:

$f'=df/dt=k.(f_1-f)$

Toto je diferenciální rovnice I. řádu, první derivace je funkcí téže proměnné. Řešíme ji separací proměnných:

$df/(f-f_1)=-k.dt$

Integrací obou stran

$ln(f-f_1)=-k.t+c$

Odlogaritmováním

$f-f_1=e^{-k.t}.e^c$

Člen s integrační konstantou určíme z podmínky t = 0, f = f₀,

e – k.t = 1, pak e^c = f₀ – f₁ a dosazením zpět

$f-f_1=(f_0-f_1).e^{-k.t}$

$f=f_1-(f_1-f_0).e^{-k.t}$

Průběh okamžité srdeční frekvence je exponenciální a je na první části obr. E01

Obr. E01: Průběh okamžité srdeční frekvence

2. klesání srdeční frekvence po ukončení zátěže

Zde předpokládáme, že rychlost klesání srdeční frekvence je úměrná rozdílu mezi okamžitou frekvencí a konečnou (klidovou) srdeční frekvencí. Diferenciální rovnice bude podobná:

$f'=df/dt=-k.(f-f_0)$

Separací proměnných

$df/(f-f_1)=-k.dt$

integrací obou stran

$ln(f-f_1)=-k.t+c$

odlogaritmováním

$f-f_1=e^{-k.t}.e^c$

Stanovením e^c podobným způsobem jako v předchozím případě dostaneme průběh frekvence

$f=f_0+(f_1-f_0).e^{-k.t}$

Obě řešení jsou si podobná a byla popsána v [47]. Nahradíme-li k = 1 / t, kde t = časová konstanta, dostaneme tyto dvě rovnice:

pro stoupání $f=f_1-(f_1-f_0).ea^{-t/t_1}$

pro klesání $f=f_0+(f_1-f_0).e^{-t/t_2}$

Časové konstanty t1, t2 nejsou obecně shodné, a s trénovaností sportovce klesají, takže srdeční frekvence se rychleji přizpůsobují změně zátěže. Proto jsou cennou informací o trénovanosti sportovce. V [48] uvádí Suggs tyto rovnice:

pro začátek zátěže $f=144-51,5.e^{-t/1,183} (min)$

pro uklidňování $f=83+49.e^{-t/2,053}(min)$

Literatura

Schilpp R. W.: A mathematical description of the heart rate curve of response to exercise. Research Quarterly 22, 1951, str. 437–445.
Suggs C. W.: An analysis of heart rate response to exercise. Research Quarterly 39, 1968, str. 195–205
Seliger V. – Vinařický R. – Trefný Z.: Fysiologie tělesných cvičení. Avicenum, Praha, 1980, str. 94, obr. 39

Příklad:

v lit. [47] najdeme data, z nichž aproximační metodou dostaneme následující rovnici:

t(min)	f-f0
0	80
2	49
3	35
5	23
6	19
9	13

Aproximací dostaneme
f = 65 + 71,2. e^-t/4,825(min), r = -0,985
Časová konstanta t = 4,825 minuty znamená, že
měřená osoba má nízkou trénovanost.

Nahoru

E02 Stanovení laktátového prahu při stupňované zátěži

Křivka koncentrace laktátů v krvi při stupňované zátěži má dvě části: ze začátku pomalu stoupající, pak rychleji stoupající. Budeme-li považovat tyto dvě části za přímky, pak v jejich průsečíku leží bod, zvaný laktátový práh, od něhož roste rychleji koncentrace laktátů v krvi a který je cennou informací o trénovanosti sportovce.

Matematicky nalezneme práh lineární aproximací obou části křivky regresními přímkami (např. metodou nejmenších čtverců) a pak vyřešením společného kořene obou rovnic přímek. Tím dostaneme souřadnice bodu, určujícího laktátový práh

Dvě rovnice regresních přímek jsou

$y_1=a_1+b_1.x_1$

$y_2=a_2+b_2.x_2$

Řešíme-li tuto soustavu determinanty, bude determinant soustavy

$D=b_2-b_1$

a kořeny

$x=\frac{Dx}{D}=\frac{(a_1-a_2)}{D}$

$y=\frac{Dy}{D}=\frac{(a_1.b_2-a_2.b_1)}{D}$

jsou souřadnicemi laktátového prahu.

Literatura

Placheta Z.: Submaximal exercise testing. 1988, Brno, J. E. Purkyně University, str. 116, obr. II – 22.

Příklad:

data pro pomalu stoupající část křivky v grafu II-22 a regresní rovnice:
LA = 0,4686 + 6,2143.10-3. N

N(W)	LA(mmol/l)
80	1
160	1,4
200	1,7
240	2

Pro rychleji stoupající část:
LA = -14,833 + 0,0625. N

N(W)	LA(mmol/l)
280	3
320	4,5
350	8

Řešením soustavy dostaneme souřadnice laktátového prahu:
N = 271,8 W, LA = 2,158 mmol/l.
Tento bod můžeme zakreslit do původního grafu.

Nahoru

E03 Kriterium síly svalové skupiny

Změříme-li sílu některé svalové skupiny dynamometrem, výsledek bude záviset na velikosti měřené osoby. Svalová síla roste s průřezem svalu, který je úměrný druhé mocnině rozměrů těla, na příklad výšky:

$F_m=k_1.H^2$

Hmotnost těla je úměrná třetí mocnině výšky:

$m=k_2.H^3$

Pak

$H=k_3.m^{1/3}$

$F_m=k.m^{2/3}$

Tento vztah poprvé uvedl Lietzke v [51].

Kriteriem síly svalové skupiny, dovolujícím srovnávat jednotlivce různých tělesných hmotností je konstanta úměrnosti

$k=\frac{F_m}{m^{2/3}}$

Literatura

Lietzke M. H.: Science 124, 1956, č. 3213, str. 486


INPUT "svalová skupina "; m$

b:

INPUT "jméno, hmotnost, síla ";n$,m,f

k=f/m^(2/3)

PRINT "m=";m;" f=";f;" k=";k

PRINT: GOTO b

Příklad:

m=70 kg, F=120 N, k= 7,065 N/kg^2/3

Nahoru

E04 Opakovací maximum síly

U silových cviků klesá počet možných opakování s rostoucím procentem zatížení. Za 100 % považujeme takové zatížení, při němž je možné jen jediné provedení cviku.

V [53] se uvádí tabulka závislosti procent zatížení na počtu opakování:

opakování	% zatížení
1	100
3	94
5	86
10	70

Budeme-li tuto závislost aproximovat, musíme některé funkce vyloučit, protože pro velký počet opakování dají negativní %.

Vhodná se ukázala hyperbolická funkce

p_% = 2053,7 / (19,15 + n), r = -0,996

Pro velký počet opakování uvedeme jiný soubor dat a funkci.

Příklad:

při shybech zanedbáme setrvačnou sílu (poměrně velká chyba). Procento tíhy z maximální síly je p_% = G / F_max · 100, a položíme-li tento výraz jako rovný předchozímu, dostaneme počet opakování n = 20,537 · F_max / G – 19,15. Roste tedy počet opakování shybů s maximální silou cvičence. Naopak z počtu shybů můžeme stanovit maximální sílu jako násobek tíhy:

F_max = G · (n + 19,15) / 20,537

Platí tabulka:

shyby	F_max / G	p_%
1	0,98	98
2	1,03	103
3	1,08	108
5	1,18	118
10	1,42	142
20	1,90	190
30	2,39	239

Vzorce by bylo možno využít ve vzpěračském tréninku ke stanovení počtu opakování při různém naložení činky.

Zaciorskij uveřejnil v [51] data pro velký počet opakování.

opakování	% z F_max
1	100
10	80
17	70
27	60
36	50
58	40
110	25
666	15
1507	7

Pro n → 10 bude vhodná aproximace
p_% = 264,13 · A^-0,47455 r = -0,989
Tohoto vzorce lze použít k výpočtu přibližné teoretické síly pro posilování v disciplinách s velkým počtem pohybů (plavání, veslování apod.)

Příklad:

plavec-krauler na 100 m potřebuje 48 temp, t j. 96 záběrů paží. Ze vzorce vyjde p_% = 30,3 z F_max, kterou musíme změřit pro paži v poloze záběrové. Krauler potřebuje na 1500 m kraul 700 temp, 1400 záběrů a měl by tedy posilovat silou 8,5 % z F_max. Podobně počítáme v jiných sportech, problém je jen ve stanovení F_max bez poškození svalů, kloubů nebo šlach.

Literatura

Měkota K. – Blahuš P.: Motorické testy v tělesné výchově. 1983, Praha, SPN, str. 122
Berger R. A.: Determination of method to predict 1-RM chin and dip from repetitive chins and dips. Research Quarterly, 8, 1967, str. 330–335
Beránková, L. Možnosti objektivizace diagnostiky úrovně svalové síly při posuzování funkčního stavu svalového systému pohybového aparátu. Ternčianské teplice: Slovenská společnosť telovýchovného lekárstva, 2004. s. 16–17. 11.9.2004, Trenčianské Teplice, Slovesnká republika.
Zaciorskij V. M. – Godik N. G. – Smirnov J. I.: Issledovanije vzaimo svjazi meždu fizičeskimi kačestvami. TPFK 1969, č.1, str. 2, obr. 12
Feser R.: Die Entwicklung der motorischen Kraft qualifizierter Gewichtheber. Leistungssport 7, 1977, č. 4, str. 251–256.

Nahoru

E05 Závislost mechanického výkonu člověka na trvání zatížení

Největší mechanický výkon může člověk podat v explosivních činnostech jako jsou skoky, vrhy a hody. S rostoucím trváním práce klesá průměrný výkon, kterého je člověk schopen. Následující data byla naměřena na různě zdatných osobách za různých okolností různými metodami, přístroji nebo ergometry. Tím lze vysvětlit velké rozdíly mezi autory dat.

Jedno z nejstarších měření provedl Blix, kterého cituje Boruttau (1916), Bělehrádek (1942) a Černoch (1947):

t(sek)	N(W)	N(W) = 1730 · t(sek)-0,3564
3	1569
4	992,4	= 402 · t(min) – 0,3564
30	598,2
48	294,2	= 93,45 · t(hod) – 0,3564
420	183,4
1080	133,4	r = -0,982
36000	49

Nověji (1939) byla při výstavě v Zurychu naměřena na netrénované veřejnosti tato data (E. O. 1941):

t(sek)	N(W)	N(W) = 953,9 · t(sek) – 0,2435
60	350
120	300	= 351,98 · t(min) – 0,2435 r = -0,9998
600	200
1200	170	= 129,88 · t(hod) – 0,2435

Nejnižší výkonnost měla skupina, kterou měřil Williams (1956)

t(sek)	N(W)	N(W) = 314,85 · t(sek) – 0,17905
600	116
3600	65	= 151,26 · t(min) – 0,17905 r = -0,944
36000	40
360000	37	= 72,67 · t(hod) – 0,17905

Nejvyšší výkonnost měla skupina, jejíž data uvedl Scientific American 1985:

t(sek)	N(W)	N = 1332 · t(sek) – 0,18033
12	1060
30	720	= 636,6 · t(min) – 0,18033
60	575
120	495	= 304 · t(hod) – 0,18033
300	420
600	390	r = -0,939
1800	370
3600	350

Zde byl uveden také výkon belgického cyklisty Eddy Merckxe na ergometru po dobu 1 hodiny: 430 W.

Literatura

Boruttau H.: Die Arbeitsleistungen des Meschen. 1916, B. G. Teubner, Leipzig-Berlin
Bělehrádek J.: Člověk v číslech. 1942, Borový, Praha
Černoch S.: Strojně technická příručka I. 1947, Práce, Praha
Elektrotechnický Obzor 1941, str. 145
Williams: Man powered flight. Science Journal (GB), 2, 1966, č. 3, str. 74–79
Scientific American 253, 1985, č. 5, str. 122–129

autor: Ing. Josef Kopřiva, recenzent: Mgr. Martin Sebera, Ph.D. |
Fakulta sportovních studií, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |

| Technická spolupráce:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2011

Technické řešení této výukové pomůcky je spolufinancováno Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Nahoru

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ