Sport, matematika, počítač
Fakulta sportovních studií Masarykovy univerzity
Ing. Josef Kopřiva

Kliknutím na šedou plochu pod nápisem se vrátíte zpět nahoru

M. Plavání

část M01–M05

M01 Měření odporu vody vlekem plavce

V hydrodynamickém kanále můžeme změřit odpor vody při různých rychlostech vleku plavce. Dostáváme minimální odpor, protože všechny pohyby plavce tento odpor značně zvětší. Rychlost vleku musí být konstantní, protože se zrychlováním nebo zpomalováním souvisí setrvačné síly.

Odpor vody má dvě složky:

lineární odpor je třecí, povrchová nebo laminární složka, převažující při malých rychlostech:

$F_1=c.\eta.s.v=a.v$

c … drsnost povrchu

η … dynamická viskosita vody

s … povrch těla

v … rychlost plavce

Kvadratický odpor – turbulentní složka, převažující při velkých rychlostech:

$F_2=0,5.c_x.h.P.v^2=b.v^2$

c_x… tvarový součinitel těla plavce

h … hustota vody

P … průřez těla (plocha)

v … rychlost plavce

Celkový odpor je součet

$F=F_1+F_2=a.v+b.v^2$

Abychom mohli z naměřených dat stanovit činitele a, b, použijeme aproximační metodu nejmenších čtverců, obsaženou v následujícím programu.

Literatura

Juřina K. K teorii a metodice plaveckého tréninku. 1972, Praha, Fak. těl. vých. a sportů, Karlova Universita.


DATA v1,f1,v2,f2,…,vn,fn

a:

READ x,y: ON ERROR GOTO b

k=x*x: s2=s2+k: s3=s3+x*k

s4=s4+k*k: xy=xy+x*y: yk=yk+y*k

GOTO a

b:

ds=s2*yk-s3*s3

da=s4*xy-s3*yk

db=s2*yk-s3*xy

a=da/ds: b=db/ds: PRINT "a,b=";a,b

c:

INPUT "v=";v

f=(a+b*v)*v

PRINT "odpor=";f

GOTO c

END

Příklad:

Juřina naměřil a publikoval následující data o rychlosti vleku (m/s), průřezu těla (dm²) a odporu vody (v newtonech):

v	P(dm²)
(m/s)	5	6	7	8	9	10
1,0	24,5	26,5	28,4	30,2	32,4	34,3
1,2	32,3	34,3	36,3	39,3	41,2	44,1
1,4	42,2	45,1	47,1	51,0	53,0	56,9
1,6	54,9	58,8	61,8	65,7	68,6	72,6
1,8	69,6	73,5	77,5	82,4	86,3	90,2
2,0	84,3	89,2	95,1	100	104,9	110,8

Programem vypočítáme součinitele a,b a dostaneme tyto rovnice:
pro P=5 dm²: F = 4,696 · v + 18,696 · ²
pro P=6 dm²: F = 5,857 · v + 19,334 · v²
pro P=7 dm²: F = 6,665 · v + 20,771 · v²
pro P=8 dm²: F = 7,851 · v + 20,974 · v²
pro P=9 dm²: F = 8,425 · v + 21,850 · v²
pro P=10 dm²: F = 10,059 · v + 22,40 · v²

Dále můžeme aproximovat závislost a,b na průřezu P:
a = 1,05 · P – 1,77
b = 0,75 · P + 15

Výsledné rovnice pro odpor vody, je-li dána rychlost v a průřez těla P:
F = (1,05 · P – 1,77) · v + (0,75 · P + 15) · v²

Průřez těla plavce lze stanovit fotograficky.

Nahoru

M02 Odpor vody vlečeného plavce a hnací síla upoutaného plavce

Safarjan publikoval data o odporu plavce, vlečeného různými rychlostmi:

v (m/s)	F (kp)	F (N)
0,35	1,76	17,26
1,35	4,41	43,25
1,65	6,43	62,06
1,8	8,07	79,14
1,95	9,39	92,08
2,1	10,94	107,28

Z těchto dat dostaneme aproximací

$F(N)=23,93.v^{2,0258}\hspace{15 mm}r=0,99982$

Hnací síla při plavání na závěsu dynamometru byla měřena na místě (v = 0 m/s) a při rychlosti vypouštění závěsu v = 0,85 m/s:

čas	v = 0	v = 0,85
na 50 m	(m/s)	(m/s)
	F(N)	F(N)
23	26	13,7
24	23,7	12,8
25	21,4	11,9
26	19,8	11,1
27	18,3	10.3
28	17,3	9,5
29	16,2	8,2
30	15,2	7,9
31	14,2	7,1
32	13,3	6,3
33	12,5	5,7

Nejlepší aproximace:

$v=0:F(N)=\frac{245,316}{(t-13,649)}\hspace{15 mm}r=0,9989$

$v=0,85\hspace{1 mm}m/s\hspace{1 mm}F(N)=83,821-22,303.ln(t)\hspace{15 mm}r=0,9996$

Pokles síly v závěsu při plavání s omezenou rychlostí je způsoben odporem vody. Rychlost klesání hnací síly s rychlostí vypouštění je mírou plavecké schopnosti vytvářet velkou hnací sílu i při vyšší rychlosti, což je schopnost velmi důležitá.

Literatura

Safarjan I. G. Faktory, určujcí rychlost plavání kraulem. (rusky) Těor. prakt. fiz. kult. 1969, č. 4, str. 11–16

Nahoru

M03 Fyziologický výkon při plavání

Rychlost výdeje energie (fyziologický výkon) při plavání v cal/min, kcal/hod nebo Wattech lze změřit analýzou vydýchaných plynů, které se říká nepřímá kalorimetrie. Takové měření je poměrně obtížné, a přesto jej provedla v případě plavání celá řada autorů. U některých zpracujeme jejich data aproximacemi závislosti výkonu na průměrné rychlosti plavání jednoduchou mocninnou funkcí, která svým exponentem ukazuje strmost této závislosti. Teoreticky podle mechaniky by exponent měl být n = 3. Fyziologicky je tato závislost ovlivněna odváděním tepla do vody. Protože autoři neuvádějí teplotu vody, ve které měřili, mohou být mezi jejich výsledky systematické rozdíly kromě individuálních.

Literatura

Karpovich P. V. – Millman N. Energy expenditure in swimming. Amer. Jour. of Physiology 142, 1944, s. 140–.

Po převodu ft/s na 0,3048 m/s a cal/min na 0,06978 W dostaneme:

Kraul:
m/s	N / kW
0,671	0,84	N(kW) = 1,7645 · v^2,315
1,22	0,96	r = 0,958
1,341	2,8
1,524	5,075
1,585	5,32
1,768	8,68

Znak:
0,61	0,7	N(kW) = 2,306 · v^2,546
0,914	1,75	r = 0,991
1,22	3,36
1,524	6,16
1,585	9,1

Prsa:
0,655	0,84	N(kW) = 2,952 · v^2,972
0,704	1,05	r = 0,998
1,067	3,36
1,183	5,25
1,250	5,6

Pozn.: data byla vyvzorkována z grafů v knize

Literatura

Krůta – Hornof – Seliger, Úvod do fyziologie tělesných cvičení, 1954, Praha, SZN, str. 350–351 a 423.
Klissouras V. Energy metabolism in swimming the doplhin stroke Internat. Zeit. angew. Physiologie, 25,1968, č. 2, s. 142–150

m/s	N(kW)
0,61	0,35	N(kW) = 1,485 · v^3,077
0,91	1,05	r = 0,997
1,22	2,45
1,514	5,25
1,707	8,75

Literatura

Yancher R. – Larsen O. – Lubaer C. Power and velocity relationship in swimming. Swimming Technique 19, 1983, č. 4, s.16–18:

0,8	0,057	N(kW) = 0,183 · v^5,218
1,0	0,183	r = 0,999999
1,2	0,474
1,4	1,059	Pozn.: velmi vysoká hodnota
1,6	2,125	exponentu i korelačního
1,8	3,928	součinitele vyvolávají dojem,
2,0	6,807	že data byla upravena.
2,2	11,191

Literatura

Vinařický R. Výdej energie při sportovní činnosti. Tělovýchovný sborník 10, 1967, s. 77–

Kraul:

1	0,698	N(kW) = 0,674 · v^3,542
1,5	2,617	r = 0,994
1,75	5,7

Prsa:

0,333	0,266	N(kW) = 2,013 · v^2,042
0,5	0,419	r = 0,982
0,833	1,047

Literatura

Seliger V. – Trefný Z. Základy fysiologie tělesných cvičení 1967, Praha, SZN, s. 89–

0,333	0,2763	N(kW) = 2,172 · v^2,086
0,5	0,4438	r = 0,99
0,833	1,1304
1,5	5,024
1,75	8,457

Literatura

Sobolová Z. – Zelenka V. Fysiologie tělesných cvičení a sportu 1973, Praha, Olympia, tab. 33

0,333	0,276	N(kW) = 2,172 · v^2,056
0,5	0,46	r = 0,987
0,6	0,787
0,833	1,164
1,5	4,296
1,75	9,203

Literatura

Seliger V. – Vinařický R. – Trefný Z. Fysiologie tělesných cvičení. 1980, Praha, Avicenum, s.20–21

V grafech jsou data pro plavce na úrovni 370 a 650 bodů, a pro světové rekordmany. Poslední dvě skupiny jsme porovnali:

KRAUL:
Plavci 650 b.
	1,44	1,4	N(kW) = 0,471 · v^3,021
	1,63	2,1	r = 0,99993
	1,8	2,8
	1,95	3,5
Plavci SR
	1,662	2,141	N(kW) = 0,510 · v^2,8306
	1,727	2,409	r = 0,9998
	1,813	2,743
	2,023	3,747
ZNAK:
Plavci 650 b.
	1,10	0,86	N(kW) = 0,564 · v^4,365
	1,35	2,07	r = 0,9999
	1,59	4,3
Plavci SR
	1,385	1,4	N(kW) = 0,364 · v^4,158
	1,52	2,1	r = 0,9996
	1,63	2,8
	1,725	3,48
MOTÝL:
Plavci 650 b.
	1,0	1,24	N(kW) = 1,183 · v^2,162
	1,16	1,56	r = 0,9896
	1,33	2,24
	1,53	3,01
Plavci SR
	1,22	1,4	N(kW) = 0,884 · v^2,286
	1,465	2,1	r = 0,9998
	1,66	2,8
	1,815	3,48
PRSA:
Plavci 650 b.
	0,57	0,84	N(kW) = 1,49 · v^2,156
	1,0	1,45	r = 0,992
	1,19	2,04
	1,28	2,69
Plavci SR:
	1,085	1,4	N(kW) = 1,17 · v^2,1296
	1,325	2,1	r = 0,9993
	1,5	2,8

Na str. 289 v tab. 83 téže knihy najdeme data, která dají tyto závislosti:

Kraul N(kW) = 0,658 · v^3,018
Znak N(kW) = 0,919 · v^3,138
Motýl N(kW) = 1,049 · v^2,548
Prsa N(kW) = 1,615 · v^1,980

Ze všech uvedených dat plyne:

energetický metabolismus při plování vysokou rychlostí je 50–90× větší, nežli klidový metabolismus (80–100 W).
ekonomičtější způsoby mají větší součinitel a menší exponent. Neekonomické způsoby (prsa a motýl) mají totiž velký výdej již při malých rychlostech, překvapuje, že roste pomaleji.
Najdeme-li průsečíky aproximačních funkcí, dostaneme několik zajímavých výsledků:
kraul je ekonomičtější, než znak pro rychlost v > 1,24 m/s
znak je ekonomičtější, nežli motýl pro rychlost v < 1,61 m/s

Ostatní průsečíky křivek leží v oblasti rychlostí, které plavci nedosahují.

Nahoru

M04 Účinnost plavání kolísavou rychlostí

Plavec vytváří hnací sílu záběry svých paží a nohou. Protože má jen dvě paže a dvě nohy, bude hnací síla kolísat a s ní i okamžitá rychlost mezi maximem a minimem. Při tom střední (průměrná) rychlost je dána poměrem dráhy a času (pro celý závod, jeden bazén nebo jedno tempo):

$v=\frac{L}{t}$

Okamžitá rychlost kolísá a proto ji musíme stanovit pro velmi krátký okamžik dt:

$v_0=\frac{L}{dt}$

Průběh okamžité rychlosti měřila řada autorů různými metodami (viz následující seznam literatury). Máme-li změřenu okamžitou rychlost, bude výsledek měření buď

ve formě číslicové, tj. vzorků rychlosti v pravidelných dostatečně krátkých intervalech, nebo
ve formě grafu, z něhož musíme předchozí formu získat tzv. vzorkováním, převodem křivky na čísla. To je samozřejmě zatíženo chybami, křivka má ale výhodu, že je ihned vidět pravidelnost křivky a tedy správná funkce měřicích přístrojů.

K následující analýze potřebujeme data o jednom typickém cyklu, tj. jednom tempu, který u kraulových způsobů zahrnuje dva úplné záběry, u motýlka a na prsa jedno úplné tempo. Nejdříve můžeme vypočítat střední (průměrnou) rychlost pro jedno tempo

$V_s=\sum_{i=1}^n\frac{v_i}{n}$

ze které lze počítat čas pro celou závodní trať.

Odpor vody, plavcem překonávaný je úměrný druhé mocnině okamžité rychlosti:

$F_o=k.v_i^2$

a výkon proti tomuto odporu

$N_o=F_o.v_i=k.v_i^3$

Elementární práce je

$dA=N_o.dt$

a práce pro celé tempo

$A=k.dt.\sum{v_i^3}$

Práce při rovnoměrné rychlosti, rovné střední je

$A_s=k.T.v_s^3$

a tato práce je vždy menší, nežli za tutéž dobu při kolísavé rychlosti. Proto je poměr obou prací roven účinnosti

$\eta=\frac{A_s}{A}=\frac{n.v_s^3}{\sum{v_1^3}}$

která je vždy menší nežli jednička. Jedničce se blíží tím více, čím menší je kolísání rychlosti. Platí tedy pravidlo:

Plavecká technika je dokonalejší, klesne-li kolísání okamžité rychlosti.

K výpočtu střední rychlosti a účinnosti plavecké techniky můžeme použít následující program.


DATA 1.2,1.4,1.65,1.85,1.88, 1.85, 1.86, 1.84

DATA 1.72,1.57,1.53,1.54,1.52,1.45,1.36

a:

READ v: ON ERROR GOTO b

s=s+v: k=k+v*v*v: n=n+1

GOTO a

b:

c=s/n: e=n*c*c*c/k

PRINT "prum.rychlost,účinnost=";c,e

END

Příklad:

do řádků data jsou vepsána data od amerického znakaře Templetona, naměřená 17.12.1973 v Brně. Program dá v_s = 1,6147 m/s, což dává na 100 m čas 1:01,93. Účinnost byla h = 0,9538, což je daleko více, nežli u tehdejších našich plavců.

Literatura

Karpovich P. V. Swimming speed analyzed. Scientific American 146, 1930, March, str. 224–225
Karpovich P. V. An Analysis of Propelling Force in the Crawl Stroke. Research Quarterly 6, 1935, č. 2, s. 49–58
Karpovich P. V. – Pestrecov K. Mechanical Work und Efficiency in Swimming Crawl Stroke and Back Stroke. Arbeitsphysiologie, 10, 1938, s. 504–514
Karpovich P. V. – Karpovich G. P. Magnetic Tape Natograph. Research Quarterly, 41, 1970, č.1, str. 119–
Myiashita M. An Analysis of Fluctuation of Swimming Speed. In: Levillie L. – Clarys J. P. First International Symposium on Biomechanics of Swimming. 1970, Proceedings, Bruxelles, 1971, str. 54–
Zschorlich V. – Heeren K. – Wolf H. Der Einsatz der Technik-analyse im Training des Brustschwimmens. Schwimmtrainer (BRD) 1988, Heft 56/57, str. 13–21
Motyčka J. Kinematická a dynamická analýza plování a veslování. Disertační práce, Brno 1959.
Kent M.R. The physics of Swimming. Physics Education 15, 1980, č. 5 (Sept), s. 275–279
Zschorlich V. – Heeren K. – Wolf H. Der Einsatz der Technikanalyse im Techniktraining des Brustschwimmens. Der Schwimmtrainer (BRD), 1988, No. 56/57, s. 14–21

Nahoru

M05 Startovní skok

má tyto části:

reakční doba
pohyby na bloku
let vzduchem
dopad na vodu a splývání před plaváním

reakční dobu můžeme změřit přímo časoměrným zařízením, spuštěným elektrickou pistolí startéra a zastaveným dynamometrickou plošinou na startovním bloku, nepřímo počítáním jednotlivých obrázků na filmu nebo videozáznamu a výpočtem pomocí známé frekvence snímání
pohyby na bloku analyzujeme pomocí filmu nebo videozáznamu. S těmito pohyby souvisí změny vodorovných a svislých sil, kterými plavec působí na blok. Protože tyto síly souvisí s rychlostí, kterou plavec opouští blok, je cenné měření těchto sil pomocí 2 dynamometrů, protože musíme měřit obě složky, abychom mohli určit směr odrazu. Z okamžitých hodnot těchto dvou sil je možno kreslit hodogram výsledné odrazové síly.
$F_0=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$
Z průběhu obou složek můžeme stanovit impulsy obou sil
$I_x=\int_0^T{F_x}dt$

$I_y=\int_0^T{(F_y-G)}dt$

Tíhu G musíme odečíst, protože potřebujeme jen zrychlující sílu. Při odlepení nohou od bloků má pak plavec výslednou (šikmou) rychlost

$v=\frac{I_v}{m}=\frac{\sqrt{I_x^2+I_y^2}}{m}$

Tato rychlost bývá 4–5 m/s. Její směr je dán úhlem

$\beta=\arctan{\frac{I_y}{I_x}}$

let vzduchem je určen parabolickou drahou těžiště, protože odpor vzduchu můžeme zanedbat. Dráha je totiž krátká a rychlost poměrně malá. Na videozáznamu s vhodným pozadím (souřadnicová mříž) lze stanovit 3 polohy těžiště: na začátku letu, ve střední části letu a při dopadu na vodu. Těmito třemi páry souřadnic proložíme parabolu y = a · x² + b · x + c tím, že součinitele a, b, c najdeme metodou nejmenších čtverců (kap. C04, G01). Počáteční bod dráhy je určen vodorovnou vzdáleností těžiště od hrany bloku x_o, a svislá poloha je určena výškou bloku (podle FINA 0,5–0,75 m) a šikmou polohou těla.

Příklad:

počáteční bod	x₀ = 1,3 m, y₀ = 0,75 + 0,5 = 1,25 m
střední bod	x₁ = 2 m, y₀ = 1 m
bod dopadu	x₂ = 3,12 m, y₀ = 0 m
Programem dostaneme
	y = -0,29435 · x² + 0,6142 · x + 0,949
počáteční úhel	α₀ = 31,56°
počáteční rychlost	V₀ = 4,79 m/s
vrchol dráhy	X_max= 1,043 m
	Y_max = 1,269 m
doba letu	T = 0,764 s
úhel dopadu	β = -50,72°

splývání pod vodou bez plavání začíná rychlostí dopadovou, tedy vyšší nežli je průměrná rychlost plavání. Plavec proto má začít plavat, až jeho rychlost klesne na tuto průměrnou rychlost. Ověřit, zda to dělá můžeme výpočtem doby, za jakou má začít plavat, a to je možné dvěma metodami:

přímou integrací pohybové rovnice: setrvačná síla je rovna právě odporu vody, tedy
$F_s=F_0$

$\frac{m.dv}{dt}=k.v^2$
separací proměnných
$\frac{dv}{v^2}=\frac{m}{k.dt}$
integrací
$\int_{v_{st}}^{v_p}\frac{dv}{v^2}=\frac{k}{m}.\int_0^T{dt}$

$[-\frac{1}{v}]_{v_{st}}^{v_{pl}}=\frac{k}{m}.T$
Potom čas splývání z rychlosti v_st na rychlost v_pl bude
$T=\frac{m}{k(\frac{1}{v_pl}-\frac{1}{v_st})}$
Dosazením
$\frac{75}{34,6.(\frac{1}{1,7}-\frac{1}{4})}=0,733\hspace{1 mm}s$
Po této době splývání by měl plavec začít plavat.

číselnou integrací diferenciální rovnice II. řádu

$m.a=k.v^2$

$a=y''=\frac{k}{m.y'^2}=0,4613.y'^2$

Rovnice

$y''=0,4613.y'^2$

dá pro počáteční podmínky t = 0, s = 1,3 m, v = 4 m/s, dt = 0,1 sek
tyto hodnoty pro čas t (sek), dráhu s (m), rychlost v (m/s) a zrychlení a (m/s²):

t	s	v	a
0	1,3	4	-7,38
0,1	1,67	3,38	-5,26
0,2	1,98	2,92	-3,94
0,3	2,25	2,58	-3,06
0,4	2,50	2,30	-2,44
0,5	2,72	2,08	-2,00
0,6	2,92	1,90	-1,66
0,7	3,10	1,75	-1,41
0,8	3,27	1,62	-1,20

Lineární interpolací rychlostí v posledních dvou řádcích (1,746 a 1,6154 m/s) na hodnotu v_pl = 1,7 m/s dostaneme čas 0,735 sek, což je v dobré shodě s předchozím výpočtem (0,733 sek).

autor: Ing. Josef Kopřiva, recenzent: Mgr. Martin Sebera, Ph.D. |
Fakulta sportovních studií, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |

| Technická spolupráce:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2011

Technické řešení této výukové pomůcky je spolufinancováno Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Nahoru

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ