Sport, matematika, počítač
Fakulta sportovních studií Masarykovy univerzity
Ing. Josef Kopřiva

Kliknutím na šedou plochu pod nápisem se vrátíte zpět nahoru

K. Gymnastika

K01 Výdej energie, srdeční frekvence a účinnost
při základních gymnastických cvicích

Výdej energie a srdeční frekvenci měřili Zajkin a kol. [82] při těchto cvicích: shyby, dřepy, kliky, zvedání nohou leže, leh/sed a skákání přes švihadlo. Vypočítán byl výdej energie a počet tepů na 1 cvik (cyklus), a údaje byly korigovány na basální metabolismus a klidovou srdeční frekvenci. Výsledky:

cvik	frekvenční cvičení	kJ / cvik	tepů / cvik
shyb	16,5	2,68	4,48
dřep	30	1,34	2,2
klik	30,9	1,19	1,58
zvedání nohou	28	0,82	1,30
leh/sed	30,4	0,77	1,20
skákání švihadlo	117,1	0,37	1,58

Nejdříve jsme nalezli korelaci mezi kJ/cvik a tepy/cvik – byla r = 0,996 (p = 1 %). Z frekvence cviků a výdeje na 1 cvik lze vypočítat

výkon ve W:

$P_w=\frac{1000.E_1.f}{60}$

Vykonanou mechanickou práci můžeme vypočítat přibližně ze zvedané hmotnosti m a zdvihu h:

$A=m.g.h=G.H$

A konečně účinnost je poměr vykonané práce a výdeje energie (v %)

$\eta=\frac{A}{E.100}$

cvik	výkon (W)	výdej (kJ)	G (N)	h (m)	A (kJ)	η (%)
shyby	737	2,68	700	0,63	0,455	17
dřepy	670	1,34	600	0,67	0,402	30
kliky	603	1,19	500	0,35	0,175	14,7
zvedání noh	383	0,82	234	0,60	0,140	17
leh/sed	390	0,77	466	0,45	0,210	27
švihadlo	722	0,37	700	0,1	0,07	19

Literatura

Zajkin V., Utkin V., Zimina O. Eněrgetičeskaja i pulsovaja stojimosti obščerazvivajuščich gimnastičeskich upražněnij Těor. prakt. fiz. kult. 1987, č. 9, str. 45–47

Nahoru

K02 Maximální síla při odrazu na pružném nářadí

Gymnasté a skokani do vody používají pružné můstky nebo prkna (1 a 3 m), které umožňují získat velkou výšku po odrazu a tím i dostatek času pro složité skoky. Pružnost těchto zařízení se uvažuje jako lineární vztah mezi působící silou a odpovídající deformací (průhybem)

$F=k.y$ (1)

Konstanta pružnosti

$k=\frac{F}{y}$ (2)

se dá vypočítat ze známého zatížení (např. tíhy osoby F = m · g) a jemu odpovídajícího průhybu.

Protože maximální síla při odrazu zatěžuje klouby dolních končetin a páteř sportovce, snažíme se zjistit její velikost. To je možné

1. přímo změřením konstanty pružnosti k podle (2) a průhybu y_max. Pak

$F_m=k.y_m$ (2)

2. nepřímo z výšky h, o kterou klesne těžiště sportovce před dopadem. Potenciální energie polohy E₁ = m · g · h se přemění v kinetickou energii a ta zase v pružnou energii nářadí:

$m.g.h=\frac{1}{2}.F_m^2.y_m$

odtud

$F_m=\sqrt{2.m.g.h_m.k}=4,43.\sqrt{m.h_m.k}$

Příklad:

gymnasta s m = 60 kg dopadne z výšky h_m= 0,4 m, na můstek se změřenou konstantou pružnosti k = 700 N / 0,1 m = 7000 N/m.
Maximální síla F_m = 4,43 · √(60 · 0,4 · 7000) = 1815,5 N

Pozn.: síla 1 N odpovídá 0,102 kp, staré jednotky síly.

Nahoru

K03 Kývání a otáčení tělesa

Kyvadlu podobné pohyby provádí gymnasta na hrazdě, kruzích či koni na šíř nebo skokan o tyči. Společné pro ně je přeměna polohové energie v krajních polohách ve směs pohybové a polohové energie mezi těmito polohami. V nejnižším bodě je pak celá energie pohybová.

Polohová energie v krajní (nejvyšší) poloze

$E=m.g.h_0=m.g.r.(1-\cos\alpha_0)$

α₀ … úhel mezi svislicí a spojnicí těžiště tělesa se středem otáčení.

V nejnižší poloze se celá polohová energie změní v pohybovou a platí

$m.g.r.(1-\cos\alpha_0)=\frac{1}{2}.m.v_m^2$

Maximální rychlost v nejnižší poloze bude

$v_m=\sqrt{2.g.r.(1-\cos\alpha_0)}=4,429.\sqrt{r.(1-\cos\alpha_0)}$

Pro r = 1 m a různé hodnoty výchylky α₀ dostaneme tabulku:

α₀(°)	v_m(m/s)
10	0,546
20	1,088
30	1,621
40	2,142
50	2,647
60	3,132
70	3,592
80	4,026
90	4,429
100	4,798
110	5,130
120	5,424
130	5,676
140	5,885
150	6,050
160	6,168
170	6,239
180	6,263

Pro jiné poloměry násobíme tabulkovou hodnotu odmocninou √r.

Nahoru

K04 Rychlost gymnasty při veletoči na hrazdě

Začíná-li gymnasta veletoč ve stoji s nulovou rychlostí, pak začne-li se otáčet, bude se jeho potenciální energie polohy měnit v kinetickou podle vztahu

$m.g.h=\frac{m.v_2}{2}$

kde h … pokles těžiště z nejvyšší polohy

Bude-li počáteční rychlost těžiště v nejvyšší poloze v₀, platí

$m.g.h+\frac{m.v_0^2}{2}=\frac{m.v_2}{2}$

Při otáčení těžiště těla kolem hrazdy na poloměru r bude pokles těžiště

$h=r.(1-\cos\alpha)$

a rychlost těžiště

$v=\sqrt{2.g.r.(1-\cos\alpha)+v_0^2}$

Následující program dovoluje nakreslit polární diagram rychlosti gymnasty pro různé počáteční rychlosti v₀.


SCREEN 10: CLS: KEY OFF: p = 1.5708

LINE (150, 120)-(490, 120)

LINE (320, 0)-(320, 350)

FOR v0 = 0 TO 4

FOR a = -p TO 3 * p STEP.01

v = 24 * SQR(24 * (1 – COS(a + p)) + v0 * v0)

x = 320 + v * COS(a)

y = 120 + v * SIN(a)

PSET (x, y)

NEXT a: NEXT v0

END

Nahoru

K05 Síly při veletoči na hrazdě

Potenciální energie, uvolněná pootočením těžiště gymnasty z nejvyššího bodu veletoče o úhel a je

$E_p=m.g.r.(1-\cos{a})$

m … hmotnost těla

g … zrychlení tíže 9,807 m/s²

r … poloměr otáčení těžiště těla

Měl-li gymnasta v nejvyšší poloze rychlost v₀, bude celková jeho kinetická energie

$\frac{m.v^2}{2}=\frac{m.v_0^2}{2}+m.g.r.(1-\cos{a})$

Rychlost

$v^2=v_0^2+2.g.r.(q-\cos{a})$

Odstředivá síla při této rychlosti je

$F_o=\frac{m.v^2}{r}=\frac{m.v_0^2}{r}+2.m.g.(1-\cos{a})$

Tíhu gymnasty G = m · g můžeme rozložit na tečnou složku, způsobující rotaci těla kolem hrazdy

$F_t=G.\sin{a}$

a radiální složku,ve směru poloměru

$F_r=G.\cos{a}$

která se skládá se silou odstředivou, takže výsledná radiální síla, působící na hrazdu je

$F=\frac{m.v_0^2}{r}+2.G.(1-\cos{a})-G.\cos{a}=\frac{m.v_0^2}{r}+G.(2-3.\cos{a})$

Polární diagram této výslednice v závislosti na úhlu a nakreslí následující program (Qbasic)


INPUT "m,r,v0="; m, r, v0

pi = 3.14159: g = 9.807 * m

SCREEN 9: CLS: KEY OFF

PRINT "m="; m: PRINT "r="; r: PRINT "v0="; v0

LINE (0, 90)-(640, 90)

LINE (320, 0)-(320, 350)

FOR a = -pi / 2 TO 3 * pi / 2 STEP.1

f = m * v0 * v0 / r + g * (2 – 3 * COS(a + pi / 2))

fx = f * COS(a): fy = f * SIN(a) + g

xs = 320 + 50 * r * COS(a)

ys = 90 + 50 * r * SIN(a)

LINE (xs, ys)-(xs + fx / 20, ys + fy / 20)

NEXT a

END

Nahoru

K06 Svislé síly při veletoči na hrazdě

V kapitole o silách při veletoči jsme odvodili pro radiální sílu, působící na hrazdu, vzorec

$F=\frac{m.v_0^2}{r}+G.(2-3.\cos{a})$

Její svislá složka je pak

$F_y=F.\cos{a}=(\frac{m.v_0^2}{r}+G.(2-3.\cos{a})).\cos{a}$

K výpočtu použijeme program, v němž nejdříve vypočítáme z doby veletoče T a poloměru dráhy těžiště r rychlost v nejvyšším bodě v₀ (viz předchozí kapitola) a pak průběh svislé síly:


INPUT "m,r="; m,r: G = 9.807 * m

INPUT "T=";T

v0 = (22.42 + 12.905 * LOG(r)) * EXP(-1.5214 * r^(-0.4876) * T)

SCREEN 9: CLS: KEY OFF

LINE(),100) – (640,100): LINE (190,30) – (190,350)

FOR i = 500 TO 3000 STEP 500

LINE (186,100 + i/12) – (194,100 + i/12): NEXT i

PRINT "m=";m, "r=";r, "T=";T: PSET (0,100)

FOR a = -0.8 TO 7.2 STEP.1

fy = (m*v0^2/r + G*(2 – 3 * COS(a)) * COS(a)

LINE -(a*40 + 64, 100 + fy / 19.5)

NEXT a

END

Nahoru

K07 Trvání veletoče na hrazdě

je dáno rychlostí těžiště těla v₀ nejvyšším bodě veletoče a poloměrem otáčení těžiště r kolem hrazdy. V kapitole o rychlosti jsme odvodili vzorec

$v=(v_0^2+2.g.r.(1-\cos{a})^{\frac{1}{2}}=\frac{ds}{dt}$

pak diferenciál času

$dt=\frac{ds}{(v_0^2+2.g.r.(1-\cos{a}))^{\frac{1}{2}}}$

a celkový čas pro půl veletoče (a od 0 do p radiánu) bude po dosazení ds = r · da

$t=\int_0^\pi\frac{r.da}{\sqrt{v_0^2+2.g.r.(1-\cos{a})}}$

Pro celý veletoč je hodnota dvojnásobná. Tento určitý integrál jsme počítali na počítači Rombergovou metodou, na kalkulátorech

HP-49 a Casio CFX-9970. Pro r od 1 m do 1.3 m, (krok 0,05 m), v₀ od 0.5 m/s do 3 m/s (krok 0,5 m/s) jsme dostali tabulku:

			v₀ (m/s)
r(m)	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0
1.00	2.497	2.048	1.782	1.591	1.441	1.318
1.05	2.574	2.115	1.842	1.647	1.493	1.368
1.10	2.651	2.180	1.902	1.702	1.545	1.416
1.15	2.725	2.245	1.960	1.756	1.596	1.464
1.20	2.799	2.308	2.018	1.809	1.646	1.511
1.25	2.871	2.371	2.074	1.862	1.695	1.558
1.30	2.943	2.432	2.130	1.913	1.743	1.604

Program pro výpočet tabulky Rombergovou integrací:

                          
REM "trvani veletoce"

k = 7: DIM t(17): CLS

FOR r = 1 TO 1.3 STEP.05: LPRINT USING "##.##"; r;

FOR v0 =.5 TO 3 STEP.5

a = 0: b = 3.1416: d = b – a

x = a: GOSUB fun: f = y

x = b: GOSUB f: t(1) = (f + y] / 2: n = 1

FOR i = 1 TO 6

s = 0: n = 2 * n: h = d / n

FOR j = 1 TO n STEP 2

x = a + j * h: GOSUB fun: s = s + y

NEXT j

t(i + 1) = (2 * s / n + t(i)) / 2: m = 1

FOR j = i TO 1 STEP -1

m = 4 * m: t(j) = t(j + 1) + (t(j + 1) – t(j)) / (m – 1)

NEXT j: NEXT i: IN = t(1) * d * 2 * r

LOCATE r * 20 – 19, v0 * 18: LPRINT USING "####.###"; IN;

NEXT v0: LPRINT: NEXT r

END

fun:

y – 1 / SQR(19.62 * r * (1 – COS(x)) + v0 ^ 2)

RETURN

Aproximací závislosti rychlosti nad hrazdou v₀ na trvání veletoče dostaneme s velmi vysokou korelací (-0.99997) funkci

$v_0=a.exp(-b.t)$

Pro jednotlivé poloměry r dostaneme řadu těchto funkcí:

r = 1,00 m	v₀ = 22,3880 · exp(-1,5202 · T)
r = 1,05 m	v₀ = 23,1337 · exp(-1,4876 · T)
r = 1,10 m	v₀ = 23,5807 · exp(-1,4516 · T)
r = 1,15 m	v₀ = 24,1937 · exp(-1,4214 · T)
r = 1,20 m	v₀ = 24,7378 · exp(-1,3919 · T)
r = 1,25 m	v₀ = 25,3169 · exp(-1,3650 · T)
r = 1,30 m	v₀ = 25,8089 · exp(-1,3383 · T)

Najdeme-li závislost obou faktorů a, b těchto funkcí na poloměru r, dostaneme aproximační funkci pro výpočet rychlosti nad hrazdou jako funkci dvou proměnných: r, T.

$v_0=(22,42+12,905.ln(r)).exp(-1,5214.r^{-0,4876}).T)$

Stanovíme-li z fotografie nebo kinogramu poloměr otáčení r a změříme-li dobu trvání veletoče T, můžeme tímto vzorcem počítat rychlost těžiště gymnasty v₀v nejvyšším bodě veletoče a kontrolovat tak, zda se při opakovaných veletočích zvyšuje.

autor: Ing. Josef Kopřiva, recenzent: Mgr. Martin Sebera, Ph.D. |
Fakulta sportovních studií, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |

| Technická spolupráce:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2011

Technické řešení této výukové pomůcky je spolufinancováno Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Nahoru

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

K. Gymnastika

K01 Výdej energie, srdeční frekvence a účinnostpři základních gymnastických cvicích

Literatura

K02 Maximální síla při odrazu na pružném nářadí

K03 Kývání a otáčení tělesa

K04 Rychlost gymnasty při veletoči na hrazdě

K05 Síly při veletoči na hrazdě

K06 Svislé síly při veletoči na hrazdě

K07 Trvání veletoče na hrazdě

K01 Výdej energie, srdeční frekvence a účinnost
při základních gymnastických cvicích