Sport, matematika, počítač
Fakulta sportovních studií Masarykovy univerzity
Ing. Josef Kopřiva

Kliknutím na šedou plochu pod nápisem se vrátíte zpět nahoru

G. Mechanika

část G05–G09

G05 Záznam časového průběhu svalové síly

V řadě explosivních sportovních disciplin urychluje sportovec buď své tělo (skoky) nebo nářadí (vrhy a hody). Používá k tomu výbušné síly, která v krátkém okamžiku vzroste z nuly na maximum a pak klesá zpět na nulu. Bude-li impuls síly

$I=F(t).dt$

konstantní, pak při jakémkoliv časovém průběhu síly bude konečná rychlost stejná, protože je v = I / m. Časový průběh má ale vliv na jinou významnou veličinu – dráhu. Průběh může být

časově souměrný
s časným maximem
s pozdním maximem

Z grafů G05 vyplývá tento závěr:

čím později dosáhne urychlující síla svého maxima (při stejném impulsu), tím kratší je dráha, potřebná k dosažení stejné maximální rychlosti. Protože v praxi je tato dráha vždy omezená, je pro sportovce výhodné používat sílu tak, aby její maximum bylo dosaženo co nejpozději, tedy explosivně vystupňované. K tomu musí být zaměřen také posilovací trénink.

Obr. G05: Podkladové grafy

Nahoru

G06 Moment setrvačnosti

Tento moment, významný pro mechaniku otáčivého pohybu si vysvětlíme analogií mezi pohybem posuvným a otáčivým (translačním a rotačním).

Při posuvném pohybu jsou dráhy všech bodů tělesa stejné, ať přímkové nebo křivkové. Příklady: jízda na saních po přímé dráze, sjezd lyžaře ve stálé poloze.

Při otáčivém pohybu jsou dráhy všech bodů tělesa kružnice se středy na ose otáčení. Příklady: pirueta krasobruslaře ve stálé poloze těla, veletoč gymnasty při stálém držení těla.

Naprostá většina sportovních pohybů jsou pohyby složené z posuvných a otáčivých. Příklady: noha cyklisty se otáčí okolo osy pedálů a posouvá s bicyklem, (výsledná dráha je zkrácená cykloida), tělo skokana do vody se může otáčet okolo podélné osy (vruty) i příčné osy (překoty) a při tom posuvným pohybem padá po parabolické dráze, diskař nebo kladivář provádí otočky kolem své osy a při tom se posouvá k bodu odhodu.

Moment setrvačnosti při otáčivém zrychlování nebo zpomalování má obdobný vliv jako hmotnost při pohybu posuvném:

Posuv		Otáčení
Síla	F = m · a	moment síly	M = I · ε
Zrychlení	a = F / m	úhlové zrychlení	ε = M / I

Při posuvném pohybu brání zrychlování hmotnost tělesa m,

při otáčivém pohybu brání zrychlování moment setrvačnosti I.

Pro těleso, skládající se z jednoduchých částí o hmotě m_i, které mají těžiště na poloměru r_i od osy otáčení je moment setrvačnosti dán součtem

$I=\sum{m_i}.r_i^2$

Při tvaru daném nějakou závislostí musíme integrovat:

$I=\int{r^2}.dm$

Momenty setrvačnosti lidského těla pro průměrnou velikost těla jsou v tabulce:

Poloha těla	osa	prochází	moment setrvačnosti (kg · m²)
vzpřímená připažená	svislá	těžištěm	1 – 1,5
vzpřímená upažená	svislá	těžištěm	2 – 2,5
dřep	svislá	těžištěm	2,3
dřep	příčná	těžištěm	4,5 – 6
vzpřímená připažená	příčná	těžištěm	10,5 – 13
vzpřímená připažená	předozad.	těžištěm	12 – 15
vzpřímená vzpažená	příčná	těžištěm	15 – 18
vzpřímená vzpažená	příčná	dlaněmi	85 – 90

Známe-li moment setrvačnosti v nějaké poloze, pak k ose posunuté o vzdálenost d bude moment setrvačnosti I_d = I + m · d². Tento vzorec vyjadřuje tzv. Steinerovu větu. Tento vztah platí pro poslední dva případy v tabulce, kdy osa byla přemístěna z těžiště do dlaní.

Zatím co hmotnost těla sportovec změnit nemůže, moment setrvačnosti změnit lze, jak vidíme z tabulky. Protože platí zákon o zachování energie E_kin= 0,5 · m · v² pro pohyb posuvný, pro pohyb otáčivý platí E_kin = 0,5 · I · ω²

Změní-li se moment setrvačnosti z I₁ na I₂, změní se úhlová rychlost z w₁ na w₂a protože energie zůstane nezměněna, bude poměr úhlových rychlostí ω₁/ ω₂ = (I₂ / I₁)^0,5.

Tak si lze vysvětlit zrychlení piruety krasobruslaře, který přitáhne paže k tělu a zmenší tak moment setrvačnosti. Podobně může měnit rychlost otáčení skokan do vody: připažením zrychlí vruty, polohou skrčeně pak překoty.

Moment setrvačnosti tedy potřebujeme k vysvětlení některých změn otáčivých pohybů v krasobruslení, gymnastice, skocích do vody a podobných sportech.

Nahoru

G07 Analogie mezi translačním a rotačním pohybem

translace	rotace
a) ustálený stav (d / dt=0)
dráha s = v · t	otočení (úhel) a = w · t
rychlost v = s / t	úhlová rychlost w = a / t
zrychlení a = v / t	úhlové zrychlení e = w / t
setrvačná hmota m	moment setrvačnosti I= r₂ · dm
II. Newtonův zákon
síla setrvačnosti F = m · a	moment síly M = I · e = F · r
zrychlení a = F / m	úhlové zrychlení e = M / I
hybnost H = m · v	rotační hybnost H = I · w
impuls síly I = F · t	rotační impuls R = M · t
rovnost impulsu a změny hybnosti
I = H₂ – H₁ = m · (v₂– v₁)	R = H₂ – H₁ = I · (w₂ – w₁)
práce síly A = F · s	práce momentu A = M · a
pohybová (kinetická) energie
E = m · v₂ / 2	E = I · w₂ / 2
rovnost práce síly a změny kinetické energie
A = E₂ – E₁ = m · (v₂₂ – v₁₂)	A = I · (w₂₂ – w₁₂)
výkon síly N = A / t = F · v	N = A / t = M · w
b) neustálený stav (d / dt <> 0)
dráha ds = v(t) · dt	otočení da = w(t) · dt
rychlost v(t) = ds / dt	úhlová rychlost w(t) = da / dt
zrychlení a(t) = dv / dt	úhlové zrychlení e(t) = dw / dt
impuls proměnlivé síly dI = F(t) · dt	proměnlivého momentu dI = M(t) · dt
práce proměnlivé síly dA = F(t) · ds = F(t) · v(t) · dt	proměnlivého momentu dA = M(t) · da = M(t) · w(t) · dt
výkon N(t) = dA / dt = F(t) · v(t)	N(t) = dA / dt = M(t) · w(t)

Pozn: d / dt je symbol derivace podle času, d diferenciál, veličiny se závorkou (t) jsou veličiny časově proměnlivé, a proto je nutno jejich součin s jinou veličinou, také proměnlivou integrovat v čase. Součin těchto veličin dává okamžitou hodnotu, také proměnlivou v čase.

Nahoru

G08 Vztah mezi hmotností a svalovou silou sportovce

Tělesná hmotnost při stálé průměrné hustotě těla je úměrná objemu těla

${m}\texttt{\char`\~}{V}$

Objem těla je při stálém tvaru těla úměrný třetí mocnině tělesné výšky

${V}\texttt{\char`\~}{h^3}$

a tedy i hmotnost

${m}\texttt{\char`\~}{h^3}$

Inversně

${h}\texttt{\char`\~}{m^{\frac{1}{3}}}$

Svalová síla při stálém svalovém napětí je úměrná průřezu svalu

${F}\texttt{\char`\~}{A}$

Průřez svalu jako plocha je úměrný druhé mocnině tělesné výšky

${A}\texttt{\char`\~}{h}$

a tedy i síla

${F}\texttt{\char`\~}{h^2}$

dosazením

${F}\texttt{\char`\~}{m^{\frac{2}{3}}}=m^{0,666666}$

Úměrnost můžeme nahradit konstantou úměrnosti

$F=c.m^{0,666666}$

Konstanta úměrnosti

$c=\frac{F}{m^{0,666666}}$

závisí na kvalitě a trénovanosti svalu, věku, pohlaví, teplotě atd. Platnost tohoto vztahu můžeme ověřit na světových rekordech ve vzpírání pro různé váhové kategorie. Použít k tomu můžeme dvě tabulky světových rekordů: jednu k 31.12.1992, uzavřenou před změnami váhových kategorií, a druhou k 1.8.1998 s novými váhovými kategoriemi. Dostaneme tabulky, v nichž c1 je konstanta úměrnosti pro trh, c2 pro nadhoz a c3 pro dvojboj.

Ke dni 31. 12. 1992:

m(kg)	trh	c1	nadhoz	c2	dvojboj	c3
52	121	8,685	155	11,126	272,5	19,560
56	135	9,223	171	11,682	300	20,496
60	152,5	9,950	190	12,397	342,5	22,347
67,5	162,5	9,802	200,5	12,094	355	21,414
75	170	9,559	215,5	12,117	382,5	21,507
82,5	183	9,656	225	11,873	405	21,371
90	192,5	9,585	235	11,701	422,5	21,038
100	200,5	9,306	242,5	11,256	440	20,423
110	210	9,147	250,5	10,911	455	19,819
(135)	216	8,208	266	10,108	475	18,050

Ke dni 1.8.1998:

m(kg)	trh	c1	nadhoz	c2	dvojboj	c3
54	132,5	9,274	162,5	11,374	290	20,300
59	147,5	9,732	170	11,217	307,5	20,290
64	151,5	9,469	187,5	11,719	335	20,937
70	163	9,597	200,5	11,804	360	21,195
76	170	9,475	208	11,593	372,5	20,761
83	180	9,460	214	11,247	392,5	20,628
91	187,5	9,268	228,5	11,294	414	20,463
99	192,5	8,995	235	10,981	420	19,626
108	200	8,819	235,5	10,384	435	19,181
(135)	205,5	7,809	262	9,956	465	17,670

Pozn.: nejtěžší váhy nad 110 a 108 kg byly odhadnuty číslem (135).

Z obou tabulek plyne, že:

staré a dnes neplatné rekordy k 31.12.1992 byly vyrovnanější, protože průběh hodnot c1, c2, c3 je plynulý. Ukazuje totiž delší historický vývoj, nežli nové rekordy, vyvíjející se teprve n2kolik let (od 1.1.1993).
nejlepší ukazatele mají střední váhové kategorie mezi 60–70 kg, protože u nižších vah je konkurence (počet vzpěračů) statisticky menší, u nejtěžších vah má vliv tělesný tuk, který u středních kategorií neexistuje. Tento závěr potvrzuje i mocninná aproximace závislosti rekordu na hmotnosti. I zde je exponent menší, nežli očekávané 2/3, protože nejtěžší kategorie mají relativně nižší výkony. To platí i v říši zvířat: zatím co mravenec zvedne mnohonásobek své hmotnosti, slon jen zlomek. I tento jev souvisí s mocninnou závislostí

$F=c.m^{\frac{2}{3}}$

kterou jako první popsal Lietzke.

Literatura:

Lietzke T. H.: Science 124, 1956, č. 3220

Nahoru

G09 Výdej energie při kolísavé rychlosti v lokomočních sportech

V lokomočních sportech (běh, chůze, plavání, lyžování, rychlobruslení, cyklistika, vodní sporty) je výsledkem čas T pro danou trať L, závisející na průměrné rychlosti v

$T=\frac{L}{v}$

Zvyšování rychlosti brání kromě vnitřních sil v těle také odpor prostředí, rostoucí s druhou mocninou rychlosti

$R=k.v^2$

Práce pro celý závod o délce L je pak

$A=R.L=\frac{k.L^3}{T^2}$

Jestliže na příklad plavec z závodě na 100 m za 50 s uplave obě půlky stejně rychle (25 + 25 s) nebo s rostoucím rozdílem, musí při tom vykonat práci, úměrnou výrazu

$A=50^3.(\frac{1}{t1^2}+\frac{1}{t2^2})$

t1+t2(s)	A	účinnost %
25+25	400	100
24+26	401,925	99,5
23+27	407,76	98,1
22+28	417,7	95,8

Z tabulky vyplývá pravidlo:

Čím větší jsou změny rychlosti, tím větší je výdej energie a tím nižší je účinnost lokomoce.

Důvodem je nelineární závislost odporu prostředí na rychlosti, která má za následek zvětšení výdeje při zvýšení rychlosti větší nežli je snížení výdeje při poklesu rychlosti.

Kolísání rychlosti během každého cyklu lokomoce (kroku, tempa, záběru vesla či pádla) bývá často mnohem větší nežli mezi jednotlivými úseky závodu. Změříme-li tachografem průběh okamžité rychlosti, můžeme vyvzorkovat časově ekvidistantní rychlosti a pomocí nich vypočítat výdej energie při této kolísavé rychlosti.

Výkon N při okamžité rychlosti v_i je

$N=R_i.v_i=k.v_i^3$

Element práce

$dA=N.dt=k.v_i^3.dt$

a pro celý cyklus, trvající dobu T je to součet

$\sum_0^T{An}=k.dt.\sum{v_i^3}$

Účinnost je pak poměr práce při rovnoměrné rychlosti a nerovnoměrné rychlosti

$e=\frac{A}{An}=\frac{k.T.v^3}{l.dt.\sum{v_i^3}}=\frac{n.v^3}{\sum{v_i^3}}$

kde n = T / dt je počet vzorků okamžité rychlosti v_i.

Příklad:

americký znakař Templeton s nejlepším výkonem na 100 m 57,60 s (1976) zaplaval na tachografu 11.12.1976 trať 100 m za 1:01,4 s následujícím průběhem okamžité rychlosti:

t(s)	v(m/s)
0,0	1,2
0,05	1,4
0,10	1,65
0,15	1,85
0,20	1,88
0,25	1,85
0,30	1,86
0,35	1,84
0,40	1,72
0,45	1,57
0,50	1,53
0,55	1,54
0,60	1,52
0,65	1,45
0,70	1,36

průměrná rychlost v = 24,22 / 15 = = 1,6147 m/s
účinnost e = 15 · 1,614733 / 66,204 = = 0,9536 = 95,36 %

$n=15,\hspace{4 mm}\sum{v_i}=24,22\hspace{1 mm}m/s$

$\sum{v_i^3}=66,204\hspace{1 mm}(m/s)^3$

Všechny potřebné sumace a výpočty provedeme snadno a rychle programem:


DATA 1.2,1.4,1.65,1.85,1.88,1.85,1.86,1.84,1.72,1.57,1.53

DATA 1.54,1.52,1.45,1.36

a:

READ v: ON ERROR GOTO b

s=s+v:k=k+v*v*v

n=n+1:GOTO a

b:

vs=s/n

e=n*vs^3/k

PRINT "prům.rychlost,účinnost=";vs,e

END

Z dat v řádcích data dostaneme:

prům. rychlost, účinnost = 1,614, 0,9534

autor: Ing. Josef Kopřiva, recenzent: Mgr. Martin Sebera, Ph.D. |
Fakulta sportovních studií, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |

| Technická spolupráce:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2011

Technické řešení této výukové pomůcky je spolufinancováno Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Nahoru

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ