Sport, matematika, počítač
Fakulta sportovních studií Masarykovy univerzity
Ing. Josef Kopřiva

H. Sporty obecně

Část H07–H12

H07 Zpracování mezičasů

V běhu, plavání, cyklistice, rychlobruslení a jiných sportech se měří mezičasy pro úseky stejné délky (kola, bazény, 100 m nebo 1 km). Protože rovnoměrná rychlost je velmi důležitá pro dosažení nejlepšího výkonu, můžeme ji kontrolovat pomocí

• nejlepšího, průměrného a nejhoršího času úseku
• výpočtem variačního součinitele časů úseků v %

Potřebné výpočty a operace provede následující program

DATA.553,1.5364,2.5261,3.5159,4.5059,5.4967,6.49,7.4827,8.4743
DATA 9.4691,10.4628,11.4586,12.4623,13.4597,14.4348
INPUT "jmeno,datum "; j$, d$
INPUT "trat(m), cas(m.s),počet mezicasu "; l, t, n
CLS: PRINT j$, d$, l, t: PRINT
mi = 1000000!: p = ma = 0: l1 = l / n
FOR i = 1 TO n: READ t
s = 60 * INT(t) + 100 * (t – INT(t))
d = s – p: a = a + d: k = k + d * d
g = g + 1 / (d * d): r = l1 / d
IF d < mi THEN LET mi = d
IF d > ma THEN LET ma = d
p = s: PRINT t, s, d, r: NEXT i: PRINT
m = a / n: sx = SQR((k – a * a / n) / (n – 1))
v = sx * 100 / m: e = n * n * n / (a * a) / g
PRINT "min,prum,max,sx "; mi, m, ma, sx
PRINT "var.koef.,ucinnost "; v; "%";, e
END

H08 Kvantitativní kriterium vytrvalosti

Vytrvalost je definována jako schopnost pracovat intensivně po dlouhou dobu vzdor únavě. Je to tedy kombinovaná vlastnost fyziologicko – psychologická.

Stroj (automobil, motorový člun, letadlo, …) může udržovat svou rychlost po dlouhou dobu, protože únava nehraje žádnou roli.

Člověk jako fyziologický "stroj" musí překonávat únavu, která roste s intensitou a trváním zátěže. Žádný sportovec není schopen udržet vysokou rychlost po neomezenou dobu, a časy pro delší trati porostou rychleji, nežli délka trati.

Na příklad světový rekordman etiopský běžec Haile Gebreselasie dosáhl těchto nejlepších časů:

trať	čas	čas	rychlost
(km)	(m:s)	(s)	(m/s)
0,8	1:50,39	110,39	7,25
1,5	3:31,76	211,76	7,08
2	4:52,86	292,86	6,83
3	7:25,09	445,09	6,74
5	12:39,36	759,36	6,58
10	26:22,75	1582,75	6,32

Jeho aproximační funkce, vhodná pro vztah mezi délkou trati a časem v sekundách se ukázala

Vypočítáme-li metodou nejmenších čtverců čas t₁ pro jednotkovou trať 1 km a exponent n, dostaneme pro Gebreselasieho vztah

a součinitel korelace této funkce s tabulkou bude r = 0,999974. Součinitel t₁ je čas na 1 km v sekundách, tedy 2:19,54 v minutách a sekundách. To je vynikající ukazatel rychlosti tohoto vytrvalce.

Exponent n = 1,05469 ukazuje, jak rychle se zhoršují časy s délkou trati, a je to tedy ukazatel vytrvalosti. U stroje by bylo n = 1, u sportovců jsme vyhodnocením velkého množství běžců, plavců, cyklistů a rychlobruslařů nalezli tyto hodnoty:

n	vytrvalost
1 – 1,04	velmi vysoká
1,05-1,1	vysoká
1,2 -1,4	střední
1,5 -1,8	nízká
1,9 a více	velmi nízká

Nejvyšší vytrvalost, tedy nejnižší hodnotu exponentu n jsme nalezli v plavání u australského světového rekordmana Stephena Hollanda – n = 1,013. Vysvětlení podává fysiologie práce:

v plavání je lidské tělo vodou chlazený "stroj" a může se snadno zbavovat odpadového tepla, což jiné sporty nedovolují.

V cyklistice, kde závodník dosahuje velmi vysokých rychlostí po podstatně delším zrychlování nežli v jiných sportech, má exponent někdy překvapivě nízkou hodnotu, a také u rychlobruslení jsou časy ne 1 km často lepší, nežli dvojnásobek času na 500m. Musíme tedy exponent interpretovat opatrně a hlavně srovnávat s jinými případy. Program pro výpočet t₁, n pomocí aproximace mocninnou funkcí následuje.

Literatura

73. Kopřiva J. Kvantitativní měřítko vytrvalosti. Teor. praxe. těl.vých., 35, 1987, č. 5, str. 271–274
74. Kopřiva J. Rychlostní a vytrvalostní složka výkonnosti v lokomočních sportech. Teor. praxe těl.vých. 38, 1990, č. 10, str. 603–

DATA.8,1.5039,1.5,3.3176,2,4.5286,3,7.2509,5,12.3936,10,16.2275
a:
READ x, t: ON ERROR GOTO v
y = 60 * INT(t) + 100 * (t – INT(t))
x = LOG(x): y = LOG(y)
sx = sx + x: kx = kx + x * x
sy = sy + y: ky = ky + y * y
xy = xy + x * y: n = n + 1: GOTO a
v:
j = kx – sx * sx / n
k = ky – sy * sy / n
c = xy – sx * sy / n
b = c / j
a = (sy – b * sx) / n: a = EXP(a)
r = c / SQR(j * k)
PRINT "t1,n,r="; a; " "; b; " "; r
b:
INPUT "l="; l
t = a * l ^ b
m = INT(t / 60)
s = t – 60 * m
PRINT "t="; m; ":"; s
GOTO b
END

Z dat, uvedených v řádku DATA dostaneme výsledek, uvedený v textu. Pro některé další světové rekordmany uvádíme data a vyhodnocení:

Plavec Grant Hackett, Australie, světový rekordman na 1500 m kraul s osobními rekordy:
200m	1:46,11	t = 51,72 · L1,048	regresní hodnoty:	1:46,94
400m	3:42,51		r = 0,99993	3:41,11
800m	7:42,51			7:37,18
1500m	14:34,56			14:43,48
Rychlobruslař Jochem Uytdehage, Holandsko
1,5 km	1:44,57	t = 68,10 · L1,05864	regresní hodnoty	1:44,61
5 km	6:14,66		r =0,99999954	6:14,22
10 km	12:58,92			12:59,14
Cyklista Chris Boardman, Velká Britanie
4 km	4:11,114	t = 64,235 · L0,99968	regresní hodnoty	4:16,82
5km	5:27,039		r = 0,99990	5:21,01
10km	10:47,102			10:41,87
20km	21:23,932			21:23,46
56,3759 km	1 hod.			1:00:16,69

V tomto případě jsou časy kromě 4 km z jediného závodu – hodinovky. Proto klesl exponent pod 1,00.

H09 Zlepšování sportovních výsledků v čase

Různé sportovní discipliny se zlepšují různě rychle. Tato rychlost je dána povahou discipliny. Na příklad skok o tyči se může zdokonalovat mnohem rychleji, nežli běh na 100 m. Rychlost zlepšování lze popsat relativním zlepšením v % za určitou dobu, na příklad rok.

Relativní zlepšení výsledku v₁ na v₂ je

Čas mezi dvěma daty v dd.mm.rrrr (den.měsíc.rok) přepočítáme na roky a jejich desetinné zlomky pomocí vzorce

Malé chyby z výpočtu s měsíci stejné délky můžeme zanedbat. Procentní zlepšení za 1 rok je

Tyto výpočty lze provést následujícím programem:

a:
INPUT "dd.mmrrrr 1"; a
INPUT "vysledek 1(sek nebo m) "; b
INPUT "dd.mmrrrrr 2"; c
INPUT "vysledek 2(sek nebo m)"; d
d1 = INT(a): m = 100 * (a – d1)
m1 = INT(m): r1 = 10000 * (m – m1)
d2 = INT(c): m = 100 * (c – d2)
m2 = INT(m): r2 = 10000 * (m – m2)
t = r2 – r1 + (m2 – m1) / 12 + (d2 – d1) / 365
z = (d – b) / b
p = z / t * 100
PRINT "zmena % za rok "; p
PRINT: GOTO a
END

	muži		p	ženy		p
100 m	10,8	17.7.1900		13,4	1.9.1917
	9,78	14.9.2002	-,0913% / r	10,49	16.7.1988	-,306% / r
200 m	21,6	31.8.1904		27,8	28.8.1922
	19,32	2.9.1996	-,115% / r	21,34	29.9.1988	-,351% / r
400 m	50,4	7.6.1867		1:01,9	15.9.1945
	43,18	26.8.1999	-,108% / r	47,60	6.10.1985	-,576% / r
800 m	1:56,0	1.9.1904		2:30,2	20.8.1922
	1:41,11	24.8.1997	-,138% / r	1:53,28	26.7.1983	-,403% / r
1 km	2:32,3	22.6.1913		3:08,2	15. 8. 1926
	2:11,96	5.9.1999	-,154% / r	2:28,98	25.8.1996	-,297% / r
1,5 km	4:16,8	20.5.1845		4:37,8	(1.7).1946
	3:26,00	14.7.1998	-,130% / r	3:50,46	11.9.1993	-,361% / r
1 míle	4:56,0	(1.7).1864		4:59,6	(1.7).1954
	3:43,13	7.7.1999	-,188% / r	4:12,56	14.8.1996	-,372% / r
2 km	5:30,4	16.6.1918		5:43,94	17.4.1976
	4:44,79	7.9.1999	-,170% / r	5:25,36	9.7.1994	-,296% / r
3 km	8:36,8	12.7.1912		9:23,4	(1.7).1971
	7:20,67	1.9.1996	-,175% / r	8:06,11	2.9.1993	-,618% / r
2 míle	9:09,6	11.6.1904
	7:58,62	20.7.1997	-,139% / r
5 km	14:36,7	10.7.1912		15:52,27	(15).4.1977
	12:39,36	13.6.1998	-,155% / r	14:28,09	23.10.1997	-,436% / r
10 km	30:58,8	16.11.1911		34:01,4	(1.7).1975
	26:22,75	1.6.1998	-,173% / r	29:31,78	8.9.1993	-,726% / r
1 hodina	18555	28.7.1884
	21101	30.3.1991	+,128% / r
Maratón	2:58:50	10.4.1896		3:15:22,8	15).5.1967
	2:05:38	14.4.2002	-,281% / r	2:15:25	12.4.2003	-,854% / r
110m př.	14,4	29.5.1920		100m 13,2	(15).6.1965
	12,91	20.8.1993	-,141% / r	12,21	20.8.1988	-,323% / r
400 m př.	55,0	22.7.1908		56,83	(1.7).1973
	46,78	5.8.1992	-,178% / r	52,61	11.8.1994	-,351% / r
3 km př.	10:47,8	22.7.1908		9:48,88	31.7.1999
	7:53,17	16.8.2002	-,287% / r	9:16,51	27.7.2002	-1,445% / r
Skok vysoký	197	(1.7).1895		155	2.8.1926
	245	27.7.1993	+,248% / r	209	30.8.1987	+,570% / r
Skok daleký	761	5.8.1901		516	6.8.1922
	895	30.8.1991	+,195% / r	752	11.6.1988	+,694% / r
Skok o tyči	330	10.4.1896		375	(15).7.1988
	615	21.2.1993	+,891% / r	481	9.6.2001	+2,17% / r
Trojskok	15,39	31.7.1909		13,79	(1.7).1985
	18,29	7.8.1995	+0,219% / r	15,50	10.8.1995	+1,226% / r
Koule	14,81	31.8.1904		10,84	28.5.1927
	23,12	21.5.1990	+,654% / r	22,63	7.6.1987	+1,811% / r
Disk	34,04	12.9.1896		34,15	20.5.1926
	74,08	6.6.1986	+1,310% / r	76,80	9.7.1988	+2,009% / r
Oštěp	54,82	17.7.1908		35,49	11.7.1926
	98,48	25.5.1996	+,906% / r	80,00	9.9.1988	+2,016% / r
Kladivo	49,73	16.7.1900		48,06	27.4.1987
	86,74	30.8.1986	+,864% / r	76,07	29.8.1999	+4.59% / r

H10 Dlouhodobé tabulky sportovních výkonů

Dlouhodobé tabulky deseti (nebo více) nejlepších výkonů všech dob obsahují nejlepší výkony bez ohledu na rok výkonu. Na příklad v roce 1968 skočil na OH v México City Bob Beamon světový rekord ve skoku dalekém výkonem 890 cm. Koncem tohoto roku platila tato dlouhodobá tabulka:

pořadí	invertované pořadí	jméno	výkon (cm)	rok
1	10	Beamon	890	1968
2	9	Boston	835	1965
3	8	Ovanesjan	836	1967
4	7	Davies	825	1968
5	6	Brown	821	1949
6	5	Beer	819	1968
7	4	Steele	818	1948
8	3	Ahey	817	1962
9	2	Hopkins	816	1964
10	1	Robinson	816	1965

Z této tabulky můžeme vypočítat řadu zajímavých ukazatelů:

1. aritmetický průměr m = Sx / 10 = 829,2 cm ukazuje stav disciplíny a při srovnání s jinými roky její vývoj. Mohl by také sloužit jako základní údaj při návrhu bodovacích tabulek pro skok daleký.
   
   
2. směrodatná odchylka sx = 22,55 cm je mírou rozptýlení výkonů, ale nehodí se ke srovnávání, protože má rozměr cm a závisí na zvolených jednotkách.
   
   
3. variační součinitel v % = 100 · sx / m = 2,72 %. Jím můžeme srovná- vat rozptýlení výkonů v různých disciplinách: u nových a mladých disciplin (skok o tyči žen) bývá větší (přes 2 %), u starých a přirozených disciplin (běh 100 m) bývá malý (i pod 0,5 %).
   
   
4. poslední výkon v tabulce je současně limitem dalších výkonů v dalších letech vývoje.
   
   
5. číselný histogram nahrazuje grafický, a říká, kolik výkonů spadá do 10 stejně širokých intervalů mezi nejlepším a nejhorším výkonem. V uvedené tabulce je rozpětí výkonů 890-816 = 74 cm. 10 intervalů po 7,4 cm je pak obsazeno takto: 10000 000216.

   první jednička	světový rekord (890 cm)
   osmá dvojka	výkony 835,835 cm
   devátá jednička	výkon 825 cm
   desátá šestka	výkony 821-816 cm.

   Rovnoměrně rozdělené výkony by měly histogram 11111 11111.
   Největší odstup od ostatních: histogram 10000 00009
   Nejmenší odstup od ostatních 90000 00001.
   Kromě tohoto histogramu musíme vzít v úvahu i variační součinitel.
   Beamon i Griffith-Joynerová (100m běh 10,43 s) mají stejný histogram, ale liší se podstatně variačním součinitelem: Beamonova tabulka má v = 2,72 %, Griffith-Joynerové v = 1,03 %. Proto je Beamonův výkon výjimečnější a byl také nazván "skokem do 21. století".
   
   
6. index výjimečnosti přepočítává histogram na jediné číslo využitím pořadí v tabulce. Číslo pořadí násobíme stejnolehlým číslem histogramu a součiny sečteme:
   Beamon má 1x1 + 2x8 + 1x9 + 6x10 = 86.
   Histogram s rovnoměrným rozdělením 11111 11111 by dal 51, maximální 10000 00009 dá index 91, minimální 90000 00001 dává index 10.
   
   
7. ukazatel historického významu sportovce dostaneme pomocí inverzního pořadí (viz tab.). Sečteme inversní pořadí sportovce za celou dobu, po kterou se vyskytoval v tabulkách. Na příklad Beamon se výkonem 890 cm zařadil na první místo, kde zůstal do roku 1990, tedy 23 let. Součin s 10 body za první místo dává 230 bodů
   V letech 1991–2000 (10 let) byl druhý po 9 bodech, celkem 90 bodů
   Celkový součet k 1. 1. 2001 je 320 bodů a ještě v budoucnosti poroste, dokud Beamon nevypadne z tabulky. Tento ukazatel pomáhá najít nejvýznamnějšího sportovce minulosti, neuvažujeme-li jeho úspěchy na olympijských hrách, mistrovství světa nebo Evropy či počet světových rekordů a jiné skutečnosti.

Literatura

75. Kopřiva J.: Bodování a vývojová tabulka sportovních výsledků Teor. praxe těl. vých. 26, 1978, č.10, str.637–639

Popsané ukazatele snadno vypočítáme programem:

DATA x1,x2,… x10
mi=1E6:ma=0:DIM m(10),c(10)
FOR i=1 TO 10
READ m(i):s=s+m(i)
k=k+m(i)*m(i)
IF m(i)<mi THEN mi=m(i)
IF m(i)>ma THEN ma=m(i)
NEXT i
m=s/10: w=(ma-mi)/9.999
FOR i=1 TO 10
r=INT((m(i)-mi)/w)+1
c(r)=c(r)+1: NEXT i
sx=SQR((k-sx*sx/10)/9): v=100*sx/m
PRINT "prům,sx,v%=";m,sx,v
IF m(1)<m(10) THEN GOTO a
FOR i=10 TO 1 STEP –1
PRINT c(i);:NEXT i:END
a:
FOR i=1 TO 10
PRINT c(i);:NEXT i
END

H11 Zdánlivá velikost branek a terčů

Sportovec, střílející na branku nebo terč v míčových hrách nebo střeleckých disciplinách má větší naději na zásah, jestliže branka nebo terč jsou

1. velké
2. blízko
3. kolmo na směr míče nebo střely či šípu.

Při kolmém pohledu se jeví zdánlivá šířka branky úměrná úhlu a = šířka / vzdálenost. Výška branky se analogicky jeví jako b = výška / vzdálenost. Plocha branky je jeví jako úměrná součinu

Tak je ale definován prostorový úhel, který měříme ve steradiánech (srad). Pro míčové hry můžeme počítat prostorové úhly branek z místa volných nebo trestných kopů či hodů, pro střelecké sporty prostorové úhly terčů ze známých vzdáleností. Zde jsou výsledky:

SPORT	branka	plocha	vzdálenost	prost. úhel (srad)
kopaná	7,32 × 2,44 m	17,84 m2	11 m	0,147416
halový kop.	3 × 2 m	6 m2	7 m	0,12245
házená	3 × 2 m	6 m2	7 m	0,12245
hokej	1,83 × 1,22 m	2,2297 m2	?
pozemní hokej	3,66 × 2,14 m	7,8324 m2	6,4 m	0,19122
kolová	2 × 2 m	4 m2	4 m	0,25
vodní pólo	3 × 0,9 m	2,7 m2	4 m	0,16875

Střelecké sporty:	terč D(m)	desítka d(m)	vzdálenost L(m)	prost. úhel srad (x104)	desítky srad (x107)
lukostřelba	1,22	0,061	90	1,443	3,608
lukostřelba	1,22	0,061	70	2,386	5,964
ženy	1,22	0,061	60	3,247	8,118
krátké vzdál.	0,80	0,05	50	2,011	7,754
			30	5,585	21,82
libovolná pistole	0,5	0,05	50	0,7854	7,854
velkorážní pistole	0,5	0,05	25	3,142	31,42
standardní pistole	0,5	0,05	25	3,142	31,42
vzduchová pistole	0,156	0,012	10	1,911	11,31
malorážka	0,1624	0,0124	50	0,08268	0,4831
standardní puška	1	0,1	300	0,08727	0,8727
vzduchovka	0,046	0,001	10	0,1662	0,0077
skeet	0,11	19,2	0,2578
baterie	0,11	15	0,4224

Při šikmých úhlech je nutné násobit prostorový úhel kosinem úhlu, měřeného od kolmice. Volný hod v košíkové je analyzován v kapitole míčových her.

H12 Vyhodnocení intervalového tréninku v lokomočních sportech

Hledá-li trenér nebo sportovec souvislost mezi tréninkem a závodním výkonem, je na jedné straně poměrně složitý proces tréninkový, který lze popsat řadou parametrů, a na druhé straně poměrně jednoduchý výsledek závodu. Aby se složitost obou srovnávaných informací přiblížila, je nutné popsat tréninkovou jednotku zmenšeným počtem ukazatelů s vysokým informačním obsahem. Ty musí tréninkový proces vyhodnotit kvantitativně i kvalitativně.

Kvantitu intervalového tréninku lze popsat délkou úseků, jejich počtem a celkovou délkou nebo dobou trvání tréninku.

Kvalitu intervalového tréninku popisuje buď vynaložené úsilí nebo rychlost lokomoce. Protože zatím nebylo nalezeno žádné přijatelné stanovení nebo dokonce měření úsilí, zůstává měřítkem kvality nebo intensity tréninku poměr rychlosti tréninkové k závodní. Intensitu závodu položíme rovnu jedničce (100 %). Abychom nemuseli rychlost počítat, použijeme přímo časů nebo průměrů časů v obráceném poměru:

Třetí mocninu lze zdůvodnit fyziologicky, protože se stejnou mocninou rychlosti roste­­­ výdej energie. Plyne to z fyziologických měření, jejichž výsledky uvádějí knihy o fyziologii sportu. Např. [76] uvádí pro různé sporty tabulky dvojic rychlost-výdej, z nichž aproximací metodou nejmenších čtverců dostaneme řadu funkcí, které s vysokou korelací nahrazují experimentální data:

běh	N(kW) = 0,58. exp(0,039.v2)	r=0,996
chůze	N(kW) = 0,105. exp(0,853.v)	r=0,9983
plavání
kraul	N(kW) = 0,439 · v3,02	r=0,9949
znak	N(kW) = 0,385 · v4,02­	r=0,9987
delfín	N(kW) = 0,89 · v2,27­­	r=0,9995
prsa	N(kW) = 1,184 · v2,097	r=0,999
cyklistika	N(kW) = 0,0103 · v1,3557	r=0,996
rychlobruslení	N(kW) = 0,00423 · v1,6777	r=0,994

Práce, vykonaná v n-úsecích, trvajících t sekund je pak

Ze známých osobních rekordů můžeme počítat intensity podle (1) a pomocí intensity roztřídíme práce na úsecích do intensitních pásem 0,5 až 1 (po 0,1). Praxe ukázala, že trénink intensity nižší nežli 0,5 nemá fyziologický účinek. Z tohoto rozdělení práce na různé intensity můžeme počítat váženou průměrnou intensitu

a doplnit celkovou délkou tréninku

Literatura

76. Seliger V., Vinařický R., Trefný Z.: Fysiologie tělesných cvičení 1980, Praha, Avicenum, str. 23, tab.1
77. Vinařický R. Výdej energie při sportovní činnosti. Tělovýchovný sborník 10, 1967, 77
78. Vinařický R., Kubalová S., Frank V., Vodička P. Výdej energie při lehkoatletických bězích, vztah rychlosti běhu a výdeje energie, využití individuálních rozdílů v tréninkové praxi. Teor. praxe těl. vých.19, 1971, 722
79. Kopřiva J. Vyhodnocení tréninkového deníku v lokomočních sportech grafem nebo počítačem. Teor. praxe těl. vých, 37, 1989, 261

DIM V(20), W(20), A(20), I(20), S(20): J = 1: C = 0
LPRINT " rych "; " vykon "; " prace "; " intensita"
A:
INPUT "L,N,T,Tr="; L, N, T, TR
V(J) = L / T: W(J) =.58 * EXP(.039 * V(J) * V(J))
A(J) = W(J) * T * N: I(J) = (TR / T) ^ 3: C = C + L * N
LPRINT L; USING "#####.###"; V(J); W(J); A(J); I(J)
INPUT "dalsi trat? a/n"; x$: IF x$ <> "a" THEN GOTO B
J = J + 1: GOTO A
B:
FOR K = 1 TO J
M = (I(K) –.5) * 10: S(M) = S(M) + A(K): NEXT K
LPRINT "intensita-prace"
FOR M = 1 TO 4: LPRINT M / 10 +.5; S(M)
NEXT M
FOR K = 1 TO J
SI = SI + A(K) * I(K): SA = SA + A(K): NEXT K
IP = SI / SA: LPRINT "prum.intensita="; IP
LPRINT "celk.delka="; C
LPRINT "celk.prace="; SA; "kJ": END