3.2 Lineární obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu
3.2.1 Rovnice s konstantními koeficienty
Lineární obyčejnou diferenciální rovnici 2. řádu (tj. obsahující 2. derivaci závisle proměnné $y(x)$)
s konstantními koeficienty $p,q$, řešíme v prvním kroku jako rovnici homogenní, kdy rovnici ve tvaru
$$ y^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy=0, $$
3.21
řešíme pomocí tzv. charakteristické rovnice
$\lambda^2+p\lambda+q=0$. Pro kořeny charakteristické rovnice $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}$
bude mít rovnice (3.21) řešení ve tvaru
$ y =\text{C}_1\,\text{e}^{\lambda_1x}+\text{C}_2\,\text{e}^{\lambda_2x} $
Pro kořeny charakteristické rovnice $\lambda_1,\lambda_2=\alpha\pm\beta\,\ii\,\in\mathbb{C}$
bude mít rovnice (3.21) řešení ve tvaru
$$ y =C_1\ee^{(\alpha-\beta\ii)\,x}+C_2\ee^{(\alpha+\beta\ii)\,x}=
A\ee^{\alpha x}\cos\beta x+B\ee^{\alpha x}\sin\beta x.
$$
3.24
Uvedené řešení lze zobecnit i pro diferenciální rovnice vyšších řádů: pro každý kořen charakteristické rovnice $n$-tého řádu
$\lambda_1,\lambda_2,\,\dotsc\,,\lambda_n\in\mathbb{R}$ s násobností $\Pi$ bude mít rovnice (3.21) $\Pi$ řešení ve tvaru
a pro každou dvojici kořenů charakteristické rovnice $n$-tého řádu $\lambda_1,\lambda_2=\alpha\pm\beta\,\ii\,\in\mathbb{C}$
s násobností $\Pi$ bude mít rovnice (3.21) $\Pi$ řešení ve tvaru
Funkce $C_1(x),\,C_2(x),\ee^{\lambda_1x},\ee^{\lambda_2x}$, které pro jednoduchost budeme dále psát jako
${C}_1,\,{C}_2,\,u_1,\,u_2$,
opět nalezneme dosazením rovnice (3.28) do rovnice (3.27). Dostaneme tak jednu
rovnici pro dvě neznámé funkce $C_1,\,C_2$,
kde první dva závorkované členy (násobené nederivovanými funkcemi $C_1,\,C_2$) představují homogenní rovnice (3.21).
Druhou rovnici vytvoříme tak, že stanovíme např. tuto podmínku:
$$ C_1^\prime u_1+C_2^\prime u_2=0. $$
3.30
Protože derivace rovnice (3.30) musí být také nulová, dosazením do rovnice (3.29) dostáváme výsledný systém dvou rovnic pro dvě neznámé funkce ${C}_1,\,{C}_2$,
Dosazením rovnice (3.33) do obecného řešení (3.28) dostaneme partikulární řešení obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu.
V případě obyčejné diferenciální rovnice obecného ($n$-tého) řádu přejde rovnice (3.32) do podoby:
kde $P_n$ a $Q_n$ jsou polynomy nejvýše $n$-tého stupně ($n$ je rovno vyššímu stupni obou polynomů $P,\,Q$),
bývá často jednodušší nalézt řešení diferenciální rovnice tzv. metodou neurčitých koeficientů. Při hledání partikulárního řešení vyjdeme (bez ohledu
na hodnoty koeficientů $\alpha$ a $\beta$, které mohou být i nulové, případně bez ohledu na to, jestli jeden z polynomů $P_n$, $Q_n$ je nulový) z rovnice
kde $\Pi$ je násobnost kořene $\lambda=\alpha+\beta\,\ii$ charakteristické rovnice (kde opět $\alpha$, $\beta$ mohou být nulové).
Rovnici (3.35) dosadíme do rovnice (3.27) a obecné koeficienty
$A_p,\ldots,C_p,\,A_q,\ldots,C_q$ porovnáme s koeficienty funkce $R(x)$, danými rovnicí (3.35).
Obecná řešení diferenciálních rovnic 2. řádu obsahují vždy dvě nezávislé konstanty.
Jejich hodnoty získáme řešením tzv. okrajové
úlohy, zadané formou okrajových podmínek, kdy pro dvě různá $x_1,x_2$ platí $y(x_1)=y_1,\,y(x_2)=y_2$ (Dirichletovy okrajové podmínky)
nebo $y^\prime(x_1)=y_1,\,y^\prime(x_2)=y_2$ (Neumannovy okrajové podmínky), případně
$y(x_1)=y_1,\,y^\prime(x_2)=y_2$, v tomto případě $x_1,x_2$ mohou být různá nebo stejná,
jejich různé kombinace, například $y(x_1)=y_1,\,y^\prime(x_1)=\alpha y_1$ nebo $y(x_1)=y_1,\,y^\prime(x_2)=y_2$, kde $\alpha\ne 0$
je konstanta, atd. Podrobný výčet typů okrajových podmínek a jejich klasifikaci uvádí například Arfken & Weber (2005); Franců (2011); Pospíšil (2006).
Na nehmotné pružině je zavěšeno těleso o hmotnosti $3\,\kg$. Působení síly $5,\!4\,\N$ na těleso prodlouží pružinu o $0,\!2\,\m$. Poté je pružina i s tělesem uvolněna a ponechána volnému kmitání s nulovou počáteční rychlostí. Najděte (jednorozměrné) rovnice závislosti polohy a rychlosti kmitajícího tělesa na čase, kdy souřadnici rovnovážné polohy označíme jako $x_0=0$ (vyjdeme z Hookova zákona $\vec{F}=-k\vec{x}$, kde $F=ma=m\ddot{x}$, rychlost kmitání $\vec{v}$ můžeme vyjádřit jako $v=\dot{x}$).
kde $\theta$ je úhel jeho výchylky z rovnovážné (svislé) polohy, $L$ je jeho délka (délka závěsu) a $g$ je velikost gravitačního zrychlení.
Pro malé výchylky můžeme použít lineární aproximaci $\sin\theta\approx \theta$ a diferenciální rovnice tak bude lineární.
Uvažujte matematické kyvadlo s délkou závěsu $2,\!5\,\m$, které je v čase $t=0$ vychýleno o (rostoucí) úhel $\theta=0,\!1\text{ rad}$ a
velikost jeho počáteční úhlové rychlosti je $\dot\theta=0,\!25\,\text{rad s}^{-1}$ (uvažujte pro jednoduchost $g=10\,\m \s^{-2}$):
Najděte rovnice závislosti polohy $\theta$ a úhlové rychlosti $\omega$ kyvadla na čase, kdy souřadnici rovnovážné polohy označíme jako $\theta_0=0$.
Předpokládejme, že kmity pružiny z příkladu 3.94 jsou tlumené, kdy tlumící síla je přímo úměrná rychlosti (velikost) a působí proti směru pohybu, s konstantou úměrnosti $c=1\,\kg\,\s^{-1}$ (dostáváme tak rovnici $m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$). Najděte rovnici závislosti polohy $x(t)$ na čase v tomto případě.
Jaké omezení platí pro konstantu úměrnosti $c$ útlumu, aby se vůbec jednalo o kmitání (viz obrázek 3.1)?
Obrázek 3.1 Levý obrázek: Graf tlumených kmitů podle výsledku příkladu 3.96 s konstantou úměrnosti tlumící síly $c=1$ (podkritické tlumení, $c^2<4km$), vykreslený v časovém intervalu od $t=0$ do $t=20$. Přerušovaná čára, obalující graf tlumených kmitů (vyznačený silnou zelenou čarou), představuje funkci $x(t)=\frac{1}{5}\ee^{-ct/2m}=\frac{1}{5}\ee^{-t/6}$. Pravý obrázek: Výseč stejného grafu podle příkladu 3.96, vykreslená v časovém intervalu od $t=0$ do $t=2$. Modrá čára zobrazuje tzv. kritické tlumení ($c^2=4km$), dané v tomto případě funkcí $x(t)=\frac{1}{5}\ee^{-3t}$, kdy oscilátor již nevykonává kmity, nýbrž se za nejkratší možnou dobu ustálí v rovnovážné poloze. Červená čára zobrazuje tzv. nadkritické tlumení ($c^2>4km$), dané v tomto případě funkcí $x(t)=\e^{-t}(9-\e^{-8t})/40$, kdy se opět jedná o neperiodický pohyb, při kterém se oscilátor vrací do své rovnovážné polohy pomaleji.}
3.97
Předpokládejme, že netlumené kmity pružiny s parametry z příkladu 3.94
jsou buzené harmonickou budící silou $F_b=F_0\sin(2t)$, kde amplituda budící síly $F_0=21\N$.
Dostáváme tak rovnici $m\ddot{x}+kx=F_0\sin(2t)$. Najděte rovnice závislosti polohy a rychlosti kmitajícího tělesa na čase v tomto případě.
Předpokládejme, že tlumené kmity pružiny s tuhostí $k$, se zavěšeným tělesem o hmotnosti $m$ a s konstantou útlumu $c$,
jsou buzené harmonickou budící silou $F_b=F_0\sin(2t)$.
Najděte obecnou rovnici závislosti polohy kmitajícího tělesa na čase s podmínkou pro konstantu úměrnosti útlumu.
Obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu typu rovnice (3.25), kde koeficient $p=p(x)$ a kde koeficient $q=q(x)=0$,
můžeme řešit jejich převedením na rovnice 1. řádu závisle proměnné $z=y^\prime$.
Rovnice typu
$$ y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=R(x), $$
3.35
řešíme tak, že hledáme nějakou funkci $I(x)$ (integrační faktor) takovou, že pro $z=I(x)y$ rovnice (3.58) přejde do podoby rovnice s konstantními koeficienty
