Kolmogorova axiomatická definice pravděpodobnosti

Důkaz.

1. V definici jevového pole z vlastností $(i)$ a $(ii)$ dostáváme: $\Omega\in\mathcal{A}\Rightarrow\overline{\Omega}=\emptyset\in\mathcal{A}$.
2. Nechť $A_1,A_2\in\mathcal{A}$.
   Sjednocení: pro $n\geq 3$ položíme $A_n=\emptyset$, takže pro $n=1,2,\ldots$ platí $A_n\in\mathcal{A}$. Z definice jevového pole z vlastnosti $(iii)$ dostáváme: $A_1\cup A_2=\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{A}$.
   Průnik: $A_1\cap A_2=\overline{\overline{A_1\cap A_2}}=\overline{\underbrace{\overline{A_1}}_{\in\mathcal{A}}\cup\underbrace{\overline{A_2}}_{\in\mathcal{A}}}\in\mathcal{A}$.
   Rozdíl: $A_1- A_2=\underbrace{A_1}_{\in\mathcal{A}}\cap\underbrace{\overline{A_2}}_{\in\mathcal{A}} \in\mathcal{A}$.
3. Nechť $A_1,\dots,A_n,\ldots\in\mathcal{A}$, pak s využitím de Morg. pravidel dostaneme: $$\bigcap\limits_{n=1}^\infty A_n=\overline{\bigcup\limits_{n=1}^\infty\underbrace{\overline{A_n}}_{\in\mathcal{A}}}\in\mathcal{A}$$

Důkaz.

1. Jestliže $\omega\in\liminf\limits_{n\to\infty} A_n$, pak patří do každé $A_n$ s vyjímkou konečného počtu $A_n$ $\Leftrightarrow$ $\exists\; n\;$ takové, že $\omega\in\bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k$ $\Leftrightarrow$ $\omega\in\bigcup\limits_{n=1}^\infty\bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k$.
2. Jestliže $\omega\in\limsup\limits_{n\to\infty} A_n$, pak patří do nekonečně mnoha $A_n$ $\Leftrightarrow$ pro $\forall\; n\;\exists\;k\geq n$ takové, že $\omega\in A_k$ $\Leftrightarrow$ pro $\forall\; n$ platí $\omega\in\bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k$ $\Leftrightarrow$ $\omega\in\bigcap\limits_{n=1}^\infty\bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k$.
3. $\omega\in\overline{\limsup\limits_{n\to\infty} A_n}$ $\Leftrightarrow$ neplatí, že $\omega$ patří do nekonečně mnoha $A_n$ $\Leftrightarrow$ neplatí, že pro $\forall\; n\;\exists\;k\geq n$ takové, že $\omega\in A_k$ $\Leftrightarrow$ $\exists\; n\ \forall k\geq n$ $\omega\notin A_k$$\Leftrightarrow$ $\exists\; n\ \forall k\geq n$ $\omega\in \overline{A_k}$ $\Leftrightarrow$ $\exists\; n$ $\omega\in\bigcap\limits_{k=n}^\infty \overline{A_k}$$\Leftrightarrow$ $\omega\in\bigcup\limits_{n=1}^\infty\bigcap\limits_{k=n}^\infty \overline{A_k}=\liminf\limits_{n\to\infty} \overline{A_n}$.

Důkaz. Předpokládejme, že limita existuje, pak $A=\lim\limits_{n\to\infty}A_n=\bigcup\limits_{n=1}^\infty \underbrace{\bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k}_{\in\mathcal{A}}\in\mathcal{A}$.

Důkaz. Chceme-li dokázat, že existuje příslušná limita, musíme prokázat, že horní i dolní limita se rovná.

1. Nechť $A_n\subseteq A_{n+1}$.
   1. Horní limita: $\limsup\limits_{n\to\infty} A_n=\bigcap\limits_{n=1}^\infty \bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k$. Označme $B_n=\bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k$. S využitím vztahu $B_1=B_2=\cdots=B_{n}=B_{n+1}=\cdots$ upravujme $\limsup\limits_{n\to\infty} A_n=\bigcap\limits_{n=1}^\infty \underbrace{\bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k}_{B_n=B_1}= \bigcap\limits_{n=1}^\infty B_1=B_1= \bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k$.
   2. Dolní limita: $\liminf\limits_{n\to\infty} A_n=\bigcup\limits_{n=1}^\infty \bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k$. Označme $C_n=\bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k$. S využitím vztahu $C_n=A_n$ upravujme $\liminf\limits_{n\to\infty} A_n=\bigcup\limits_{n=1}^\infty \underbrace{\bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k}_{C_n=A_n}= \bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n$.
   Protože horní i dolní limity jsou shodné, platí první tvrzení věty.
2. Nechť $A_n\supseteq A_{n+1}$.
   1. Horní limita: $\limsup\limits_{n\to\infty} A_n=\bigcap\limits_{n=1}^\infty \bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k$. Označme $B_n=\bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k$. S využitím vztahů $B_1=A_1,B_2=A_2,\ldots,B_n=A_n,B_{n+1}=A_{n+1},\ldots$ upravujme $\limsup\limits_{n\to\infty} A_n=\bigcap\limits_{n=1}^\infty \underbrace{\bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k}_{B_n=A_n}= \bigcap\limits_{n=1}^\infty A_n.$
   2. Dolní limita: $\liminf\limits_{n\to\infty} A_n=\bigcup\limits_{n=1}^\infty \bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k$. Označme $C_n=\bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k$. S využitím vztahu $C_1=C_2=\cdots=C_{n}=C_{n+1}=\cdots$ upravujme $\liminf\limits_{n\to\infty} A_n=\bigcup\limits_{n=1}^\infty \underbrace{\bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k}_{C_n=C_1}= \bigcup\limits_{n=1}^\infty C_1=C_1=\bigcap\limits_{k=1}^\infty A_k.$
   Protože i v tomto případě horní i dolní limity jsou shodné, platí i druhé tvrzení věty.

Důkaz. Položme $\sigma(\mathcal{S})$ jako průnik množinových $\sigma$-algeber obsahujících $\mathcal{S}$. Pak samozřejmě $\mathcal{S}\subseteq \sigma(\mathcal{S})$ a $\sigma(\mathcal{S})$ je $\sigma$-algebra, neboť axiomy platí pro každý prvek průniku, tedy i pro průnik.

Důkaz.

1. Protože jevy jistý $\Omega$ a nemožný $\emptyset$ jsou neslučitelné, můžeme upravovat $$\underbrace{1=P(\Omega)}_{axiom\;(1)\;def.psti}= \underbrace{P(\Omega\cup\emptyset\cup\emptyset\dots)=\overbrace{P(\Omega)}^{=1}+P(\emptyset)+P(\emptyset)+\dots}_{ \textit{axiom (3) definice pravděpodobnosti}} \quad\Rightarrow\quad P(\emptyset)=0.$$
2. Předpokládejme, že $A,B\in\mathcal{A},\;A\cap B=\emptyset$. Uvažujme posloupnost po dvou neslučitelných jevů: $A,B,\emptyset,\emptyset,\ldots$. Pak s využitím axiomů $(3)$ definice pravděpodobnosti můžeme upravovat $$P(A\cup B)=P(A\cup B\cup\emptyset\cup\emptyset\cup\cdots)= P(A)+P(B)+\underbrace{P(\emptyset)}_{=0}+\underbrace{P(\emptyset)}_{=0}+\cdots=\\= P(A)+P(B).$$

3. Předpokládejme, že {$A,B\in\mathcal{A},\;A\subseteq B$}. Pak můžeme psát:

   $B=\underbrace{A\cup(B-A)}_{\textit{neslučitelné jevy}}$, takže s využitím předchozí vlastnosti $(2)$ dostaneme

   $$P(B)=P(A\cup(B-A))=P(A)+P(B-A) \quad\Rightarrow\quad {P(B-A)=P(B)-P(A)}.$$
4. Analogicky jako v předchozím případě dostaneme $$P(B)=P(A)+P(B-A) \quad\Rightarrow\quad P(A)=P(B)-\underbrace{P(B-A)}_{\geq 0} \quad\Rightarrow\quad {P(A)\leq P(B)}.$$

5. Předpokládejme, že $A\in\mathcal{A}$. Pokud $A=\emptyset$ nebo $A=\Omega$, tvrzení zřejmě platí.

   Proto uvažujme

   $$\emptyset\subset A\subset\Omega.$$

   S využitím předchozí vlastnosti $(4)$ dostaneme

   $0=P(\emptyset)\leq P(A)\leq P(\Omega)=1$

6. Jestliže $A\in\mathcal{A}$, pak také $\overline{A}=\Omega-A\in\mathcal{A}$. Pokud $A=\emptyset$ nebo $A=\Omega$, tvrzení zřejmě platí.

   Proto uvažujme

   $$\emptyset\subset A\subset\Omega.$$

   Díky tomu, že $ A\subset\Omega$ a vlastnosti $(3)$, dostaneme

   ${P(\overline{A})}=P(\Omega-A) \stackrel{vl.(3)}{=}P(\Omega)-P(A)={1-P(A)}$.

7. Jestliže $A,B\in\mathcal{A}$, pak jejich sjednocení lze vyjádřit jako sjednocení tří neslučitelných jevů, tj.

   $A\cup B=\underbrace{\left(A-(A\cap B)\right)}_{1.jev}\cup \underbrace{(A\cap B)}_{2.jev}\cup\underbrace{\left(B-(A\cap B)\right)}_{3.jev}$,

   takže pravděpodobnost

   $ \begin{array}{lcl} {P(A\cup B)}&=&P\left(\left(A-(A\cap B)\right)\cup (A\cap B)\cup \left(B-(A\cap B)\right)\right)\\[1ex] &=& P\left(A-(A\cap B)\right)+P\left(A\cap B\right)+P\left(B-(A\cap B)\right)\\[1ex] &=& \underbrace{P(A)-P(A\cap B)}_{\scriptsize\textit{1. člen}} +\underbrace{P(A\cap B)}_{\scriptsize\textit{2. člen}} +\underbrace{P(B)-P(A\cap B)}_{\scriptsize\textit{3. člen}}\\[5ex] &=& {P(A)+P(B)-P(A\cap B)} \end{array} $
8. Dokážeme matematickou indukcí z předchozí vlastnosti.

9. Jestliže $A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{A}$, pak díky vlastnosti $(7)$ postupně dostaneme

   $\begin{array}{@{}lcl} P\left(\bigcup\limits_{i=1}^n A_i \right) &=& {P\left(\bigcup\limits_{i=1}^{n-1} A_i \right)} +P(A_n)- \underbrace{P\left(A_n\cap\bigcup\limits_{i=1}^{n-1} A_i \right)}_{\geq 0}\\[1ex] &=& {P\left(\bigcup\limits_{i=1}^{n-2} A_i \right) +P(A_{n-1})- \underbrace{P\left(A_{n-1}\cap\bigcup\limits_{i=1}^{n-2} A_i \right)}_{\geq 0}} +P(A_n)- \underbrace{P\left(A_n\cap\bigcup\limits_{i=1}^{n-1} A_i \right)}_{\geq 0}\\ &\vdots&\\ &=& { P(A_1)+\cdots+P(A_n)} {-P(A_1\cap A_2)-\cdots- P\left(A_n\cap\bigcup\limits_{i=1}^{n-1} A_i \right)} \end{array}$

   a odtud již dostáváme tvrzení věty, že $P\left(\bigcup\limits_{i=1}^n A_i\right)\leq \sum\limits_{i=1}^n P(A_i)$.

Důkaz.

$(1)\!\!\Rightarrow\!\! (2)$	Nejprve dokážeme, že pravděpodobnost $P$ je spojitá zdola. Předpokládejme, že $P$ je pravděpodobnost a mějme posloupnost náhodných jevů $\left\{A_n \right\}_{n=1}^\infty$ takovou, že $A_n\subseteq A_{n+1}$. Položme $B_1=A_1,\ B_n=A_n-A_{n-1}$ pro $n\geq 2$, takže $\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n= \bigcup\limits_{n=1}^\infty B_n$ a přitom $B_i\cap B_j=\emptyset$ pro $i\neq j$. S využitím vztahu $A_n=\bigcup\limits_{i=1}^n B_i$ postupně upravujme: $\begin{array}{lcl} P\left(\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n\right) & = & P\left(\bigcup\limits_{n=1}^\infty B_n\right) \stackrel{ax(3)}{=} \sum\limits_{n=1}^\infty P(B_n) =\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^n P(B_i) \\[3ex] & = & \lim\limits_{n\to\infty}\underbrace{[P(A_1)+P(A_2-A_1)+\cdots+P(A_n-A_{n-1})].}_{=P(A_n)} \end{array}$
$(2)\!\!\Rightarrow\!\!(3)$	Předpokládejme, že $P$ je spojitá zdola. Dokážeme, že je spojitá i shora. Nechť pro posloupnost náhodných jevů $\left\{A_n \right\}_{n=1}^\infty$ platí $A_n\supseteq A_{n+1}$. Protože $\overline{A}_n\in\mathcal{A}$, pak pro posloupnost opačných náhodných jevů $\{\overline{A}_n\}_{n=1}^\infty$ platí {$\overline{A}_n\subseteq \overline{A}_{n+1}$}. Díky předpokladu a de Morg. pravidlům $\begin{array}{lcl} \lim\limits_{n\to\infty} P(\overline{A}_n) &=& P\left(\bigcup\limits_{n=1}^\infty \overline{A}_n\right) =P\left(\overline{\bigcap\limits_{n=1}^\infty {A}_n}\right) =1-P\left(\bigcap\limits_{n=1}^\infty {A}_n\right) \end{array}$, takže $\lim\limits_{n\to\infty} P({A}_n)$} $=\lim\limits_{n\to\infty} \left[1- P(\overline{A}_n)\right] =1-\left[1-P\left(\bigcap\limits_{n=1}^\infty {A}_n\right)\right]=$ {$P\left(\bigcap\limits_{n=1}^\infty {A}_n\right)$
$(3)\!\!\Rightarrow\!\!(4)$	Předpokládejme, že $P$ je spojitá shora. Dokážeme pak, že je spojitá shora i v nule. Nechť pro posloupnost náhodných jevů $\left\{A_n \right\}_{n=1}^\infty$ platí $A_n\supseteq A_{n+1}$ a $\bigcap\limits_{n=1}^\infty A_n=\emptyset$, pak podle předchozí implikace $\lim\limits_{n\to\infty} P({A}_n)=P\left(\bigcap\limits_{n=1}^\infty {A}_n\right)=0$, neboť $\bigcap\limits_{n=1}^\infty A_n=\emptyset$.
$(4)\!\!\Rightarrow\!\!(1)$	Předpokládejme, že $P$ je spojitá shora v nule. Ukážeme, že $P$ splňující vlastnosti $(i)$, $(ii)$ a $(iii)$ je pravděpodobnost. Jediná vlastnost, která v tomto výčtu vlastností chybí, je $\sigma$-aditivita: $$P\left(\bigcup\limits_{i=1}^\infty {B}_i\right)\stackrel{?}{=} \sum\limits_{i=1}^\infty P(B_i), \hspace{3ex}\text{kde}\hspace{3ex} B_i\cap B_j=\emptyset\ \text{pro}\ i\neq j.$$ Mějme $n$ lib., pevně. Ozn. $Z_{n+1}=\bigcup\limits_{i=n+1}^\infty {B}_i$. Pak $Z_n\supseteq Z_{n+1}$ a $\bigcap\limits_{n=1}^\infty Z_n=\emptyset$, neboť $\bigcap\limits_{n=1}^\infty Z_n= \bigcap\limits_{n=1}^\infty \bigcup\limits_{i=n}^\infty {B}_i =\limsup\limits_{n\to\infty}B_n =\{\omega\in\Omega:\omega\ patří\ do\ nekonečně\ mnoha\ B_i\}=\emptyset$, protože $B_i$ jsou po dvou disjunktní. Protože podle předpokladu je $P$ spojitá shora v nule, tak platí $\lim\limits_{n\to\infty}P(Z_n)=0$. Nyní využijeme aditivitu množinové funkce $P$ a pro $n\geq 2$ počítejme $P\left(\bigcup\limits_{i=1}^\infty {B}_i\right)$ $=\lim\limits_{n\to\infty} P(B_1\cup \cdots\cup B_{n}\cup Z_{n+1}) =\lim\limits_{n\to\infty}\left[ \sum\limits_{i=1}^{n} P({B}_i)+P(Z_{n+1})\right]$ $=\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{i=1}^{n} P({B}_i)+ \underbrace{\lim\limits_{n\to\infty}P(Z_{n+1})}_{=0}=$ {$\sum\limits_{i=1}^\infty P(B_i)$

Důkaz.

Připomeňme, že limita existuje, pokud existuje horní i dolní limita a rovnají se, tj.

$$A=\lim\limits_{n\to\infty} A_n =\liminf\limits_{n\to\infty} A_n=\bigcup\limits_{n=1}^\infty\underbrace{\bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k}_{ozn.B_n} =\limsup\limits_{n\to\infty} A_n=\bigcap\limits_{n=1}^\infty \underbrace{\bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k}_{ozn.C_n}$$

Díky vztahům $\bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k\!=\!{B_{n}\subseteq B_{n+1}}\!=\!\bigcap\limits_{k=n+1}^\infty A_k$ a $\bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k\!=\!C_{n}\supseteq C_{n+1}\!=\!\bigcup\limits_{k=n+1}^\infty A_k$ dostaneme

$P\left(\liminf\limits_{n\to\infty} A_n\right)$	$=P\!\left(\!\bigcup\limits_{n=1}^\infty\bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k\!\right) \!=\!P\!\left(\bigcup\limits_{n=1}^\infty B_n\right) \!\stackrel{V7.2,(2)}{=}\!\lim\limits_{n\to\infty} P(B_n)\!=\!\liminf\limits_{n\to\infty}P(B_n) \!\stackrel{B_n\subseteq A_n}{\leq}\!$
	$\leq {\liminf\limits_{n\to\infty}P(A_n)} \leq {\limsup\limits_{n\to\infty}P(A_n)} \stackrel{A_n\subseteq C_n}{\leq} \limsup\limits_{n\to\infty}P(C_n) =\lim\limits_{n\to\infty}P(C_n) \!\stackrel{V7.2,(3)}{=}\!$
	$=P\!\left(\!\bigcap\limits_{n=1}^\infty C_n\!\right) =P\!\left(\!\bigcap\limits_{n=1}^\infty \bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k\!\right)=P\left(\limsup\limits_{n\to\infty} A_n\right)$

Protože první a poslední člen se rovnají, všude platí rovnost, takže i $$\liminf\limits_{n\to\infty}P(A_n)=\limsup\limits_{n\to\infty}P(A_n) =\lim\limits_{n\to\infty}P(A_n)$$ a díky tomu i tvrzení věty.

Důkaz. Nejprve vyjádřeme $$ P(\limsup\limits_{n=\to\infty} A_n)= P\!\left(\!\bigcap\limits_{n=1}^\infty \bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k\!\right) $$ S využitím faktu, že $$\bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k\!=\!{C_{n}\supseteq C_{n+1}}\!=\!\bigcup\limits_{k=n+1}^\infty A_k$$ je klesající posloupnost náhodných jevů, můžeme upravovat $$\begin{array}{lcl} {0} &\leq& P(\limsup\limits_{n=\to\infty} A_n)= P\!\left(\!\bigcap\limits_{n=1}^\infty \bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k\!\right) =P\!\left(\!\bigcap\limits_{n=1}^\infty C_{n}\!\right)\\ &=& \lim\limits_{n\to\infty} P\!\left(C_{n}\!\right)= \lim\limits_{n\to\infty} \underbrace{P\!\left(\!\bigcup\limits_{k=n}^\infty A_{k}\!\right)}_{\stackrel{V.7.1,vl(9)}{\leq} \sum\limits_{k=n}^\infty P(A_k)}\\ & {\leq} & {\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=n}^\infty P(A_k)} \end{array}$$ Protože $$Z_n=\sum\limits_{k=n}^\infty P(A_k)$$ je zbytek konvergentní řady, neboť předpokládáme, že $$\sum\limits_{n=1}^\infty P(A_n)\lt\infty,$$ pak musí platit $$ {P(\limsup\limits_{n\to\infty}A_n)=0}. $$