Číselné charakteristiky rozdělení pravděpodobností

Příklad 1.7. Motivační příklad

Jak bylo uvedeno v definici, střední hodnotu náhodné veličiny označujeme písmenem $E$. Toto označení pochází z anglického „expected value“ (očekávaná hodnota). V tomto příkladu bychom chtěli demonstrovat význam slova „očekávaný“.

Uvažujme hru „kolo štěstí“, kde účastník hry roztočí kolo znázorněné na obr. 1. Každé pole tohoto kola definuje výhru (v Kč), která bude vyplacena hráči v případě, že na toto pole ukazuje šipka po zastavení kola. Za každou hru zaplatí hráč provozovateli 1 Kč. Zajímá nás, z pohledu hráče, jestli se nám vyplatí takovou hru hrát, tj. jaká je „očekávaná“ hodnota našeho zisku.

Řešení:

Označme $Y$ náhodnou veličinu, která udává náš zisk z jedné hry a dále označme $X$ náhodnou veličinu udávající částku, kterou si vytočíme na kole v jedné hře. Zřejmě platí $Y=X-1$. Hodnoty náhodné veličiny $X$ a její pravděpodobnostní funkce jsou uvedeny v následující tabulce:

Střední hodnota (tj. očekávaná hodnota) našeho zisku z jedné hry je tedy

\[ \begin{split} EY & = EX - 1\\ &=0\cdot\frac{1}{2}+1\cdot\frac{1}{8}+2\cdot\frac{1}{4}+4\cdot\frac{1}{8} - 1\\ &= \frac{1}{8}=0,125. \end{split} \]

To znamená, že se nám hru vyplatí hrát, neboť např. při 1 000 opakováních je očekávaný zisk 125 Kč.

Příklad 1.8. Střední hodnota Poissonova rozdělení. Mějme náhodnou veličinu $X\sim Po(\lambda)$ s pravděpodobnostní funkcí $$ p(x)= \begin{cases} e^{-\lambda}\frac{\lambda^{x}}{x!} & x\in M=\{0,1,\ldots,\} \\[1ex] 0 & \text{jinak}. \end{cases} $$ Počítejme střední hodnotu $$\begin{align*} {{EX}} & = \sum\limits_{x=0}^\infty xp(x)= \sum\limits_{x=0}^\infty x e^{-\lambda}\frac{\lambda^{x}}{x!} =e^{-\lambda}\sum\limits_{x=1}^\infty\frac{\lambda^{x}}{(x-1)!} =\lambda e^{-\lambda}\sum\limits_{x=1}^\infty\frac{\lambda^{x-1}}{(x-1)!}\\ & =\begin{vmatrix} subst.\; y=x-1 \end{vmatrix}= \lambda \underbrace{e^{-\lambda}\sum\limits_{y=0}^\infty\frac{\lambda^{y}}{y!}}_{1=\sum\limits_{y\in M}p(y)} ={{\lambda}}. \end{align*}$$

Příklad 1.9. Střední hodnota normálního (Gaussova) rozdělení. Mějme náhodnou veličinu s normálním rozdělením $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ s hustotou $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left\{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right\}.$$ Počítejme $$ EX = \int_{-\infty}^\infty x f(x) dx = \int_{-\infty}^\infty \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} x e^{-\tfrac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}dx. $$ Položíme-li $y=\tfrac{x-\mu}{\sigma}$, tj. $x=\sigma y+\mu$ a $dx=\sigma dy$, pak $$\begin{align*} {{EX}} & = \int_{-\infty}^\infty \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} x e^{-\frac{1}{2}\left(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}dx= \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty (\sigma y+\mu) e^{-\frac{1}{2}y^2}dy\\ & = \tfrac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} \underbrace{\int_{-\infty}^\infty ye^{-\frac{1}{2}y^2}dy}_{=0\;({\scriptsize{\text{lichá funkce}}})} + \mu \underbrace{\int_{-\infty}^\infty \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}y^2}dy}_% {=1\;({\scriptsize{\text{hustota }}} Y\sim N(0,1))} = {{\mu}}. \end{align*}$$

Příklad 2.6. Rozptyl Poissonova rozdělení. Mějme náhodnou veličinu $X\sim Po(\lambda)$ s pravděpodobnostní funkcí $$ p(x)= \begin{cases} e^{-\lambda}\frac{\lambda^{x}}{x!} & x\in M=\{0,1,\ldots,\} \\[1ex] 0 & \text{jinak}. \end{cases} $$ Abychom mohli vypočítat rozptyl $$DX=EX^2-(EX)^2$$ potřebujeme znát střední hodnotu, a ta je rovna $EX=\lambda$ (viz příklad 1.8). Dále počítejme $$\begin{align*} {EX^2} & = \sum\limits_{x=0}^\infty x^2p(x)= \sum\limits_{x=0}^\infty x^2 e^{-\lambda}\frac{\lambda^{x}}{x!} =e^{-\lambda}\sum\limits_{x=0}^\infty \left[x(x-1)+x\right]\frac{\lambda^{x}}{x!}\\[1ex] & =e^{-\lambda}\sum\limits_{x=0}^\infty x(x-1) \frac{\lambda^{x}}{x(x-1)(x-2)!} +\underbrace{e^{-\lambda}\sum\limits_{x=0}^\infty x \frac{\lambda^{x}}{x!}}_{=EX=\lambda}\\[1ex] &=e^{-\lambda}\sum\limits_{x=2}^\infty \frac{\lambda^{x}}{(x-2)!}+\lambda =e^{-\lambda}\lambda^2\sum\limits_{x=2}^\infty \frac{\lambda^{x-2}}{(x-2)!}+\lambda\\[1ex] &=\lambda^2\sum\limits_{y=0}^\infty \underbrace{e^{-\lambda}\frac{\lambda^{y}}{(y)!}}_{=1=\sum\limits_{y\in M}p(y)} +\lambda = {{\lambda^2+\lambda}}, \end{align*}$$ takže $$ {{DX}} =\lambda^2+\lambda-\lambda^2={{\lambda}}. $$

Příklad 2.7. Rozptyl normálního (Gaussova) rozdělení. Mějme náhodnou veličinu s normálním rozdělením $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ s hustotou $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left\{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right\}.$$ Počítejme rozptyl přímo podle definice $$ DX = E(X-EX)^2= \int_{-\infty}^\infty (x-EX)^2 f(x) dx = \int_{-\infty}^\infty \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} (x-\mu)^2 e^{-\tfrac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}dx. $$

Položíme-li $y=\tfrac{x-\mu}{\sigma}$, tj. $x-\mu=\sigma y$ a $dx=\sigma dy$, potom

$$\begin{align*} \boxed{DX} & = \int_{-\infty}^\infty \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} (x-\mu)^2 e^{-\frac{1}{2}\left(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}dx\\ &= \tfrac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \underbrace{y^2 e^{-\frac{1}{2}y^2}}_{\scriptsize{\text{sudá funkce}}}dy \\ & =2\int_{0}^\infty \tfrac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi}} y^2 e^{-\frac{1}{2}y^2} dy. \end{align*}$$

Položme $\frac{1}{2}y^2=t$, tj. $y=\sqrt{2t}$ a $y dy = dt$. Potom dostaneme

$$ \boxed{DX}=\sigma^2\int_{0}^\infty \tfrac{2}{\sqrt{2\pi}} \sqrt{2t}e^{-t} dt= \sigma^2\tfrac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^\infty t^{\frac{3}{2}-1}e^{-t} dt=\boxed{\sigma^2},$$ protože $$\int_{0}^\infty t^{\tfrac{3}{2}-1}e^{-t}=\Gamma\left(\tfrac{3}{2}\right)= \Gamma\left(1+\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{2}\Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right)= \tfrac{1}{2}\sqrt{\pi}.$$

Příklad 3.3. Kovariance a korelace normálního (Gaussova) rozdělení. Nechť náhodný vektor $\;\mathbf{X}=(X,Y)'\sim N_2(\boldsymbol\mu,\boldsymbol\Sigma)\;$ má dvourozměrné normální rozdělení s parametry $\boldsymbol\mu=$ $\begin{pmatrix} \mu_{1} \\ \mu_{2} \end{pmatrix}$ a $\boldsymbol\Sigma=$ $\begin{pmatrix} \sigma_{1}^2 & \rho\sigma_{1}\sigma_{2} \\ \rho\sigma_{1}\sigma_{2} & \sigma_{2}^2 \end{pmatrix}$, tj. má hustotu tvaru $$f_{(X,Y)}(x,y)=\tfrac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left\{ -\tfrac{1}{2(1-\rho^2)} \left[\left(\tfrac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2 -2\rho \tfrac{x-\mu_1}{\sigma_1}\tfrac{y-\mu_2}{\sigma_2} +\left(\tfrac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right)^2\right]\right\}.$$

Naším úkolem bude vypočítat korelační koeficient.

Z příkladů 1.9 a 2.7 víme, že pro marginální náhodné veličiny platí $$ \begin{array}{lcl@{\qquad\qquad}lcl} EX&=&\mu_1 & EY&=&\mu_2\\[1ex] DX&=&\sigma_1^2 & DY&=&\sigma_2^2 \end{array} $$

Dále víme, že standardizovaná náhodná veličina $U=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$ má nulovou střední hodnotu a jednotkový rozptyl, tj.

$$ EU = \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty ue^{-\frac{1}{2}u^2}dy =0 \qquad\text{a}\qquad DU = \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty u^2 e^{-\frac{1}{2}u^2}dy =1. $$ Protože $R(X,Y)=\frac{C(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}$, počítejme nejprve kovarianci Položíme-li nejprve $u=\tfrac{x-\mu_1}{\sigma_1}$, $v=\tfrac{y-\mu_2}{\sigma_2}$, (tj. $x-\mu_1=\sigma_1 u$, $y-\mu_2=\sigma_2 v$ a $dx=\sigma_1 du$, $dy=\sigma_2 dv$), dostaneme $$\begin{align*} C(X,Y) & =\tfrac{\sigma_1\sigma_2}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty uv\; e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)} [u^2-2\rho uv +v^2]} du dv\\ & =\tfrac{\sigma_1\sigma_2}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}} \int_{-\infty}^\infty u\;e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)} u^2}\left[\int_{-\infty}^\infty v\; e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)} (v^2-2\rho u v) } dv \right] du. \end{align*}$$ Protože platí $v^2-2\rho u v = (v-\rho u)^2-\rho^2 u^2$, pokračujme $$ C(X,Y)=\tfrac{\sigma_1\sigma_2}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty u e^{-\frac{u^2(1-\rho^2)}{2(1-\rho^2)}} \underbrace{\left[ \tfrac{1}{\sqrt{2\pi(1-\rho^2)}}\int_{-\infty}^\infty v\; e^{-\frac{(v-\rho v)^2}{2(1-\rho^2)}} dv \right]}_{\scriptsize{\text{ označme }} I_1} du. $$ Zavedeme-li substituci $\frac{v-\rho u}{\sqrt{1-\rho^2}}=t$, pak $v=\sqrt{1-\rho^2}\; t+\rho u$ a $ dv=\sqrt{1-\rho^2}\; dt$, takže $$\begin{align*} \boxed{I_1} & = \tfrac{1}{\sqrt{2\pi(1-\rho^2)}}\int_{-\infty}^\infty(\sqrt{1-\rho^2}\; t+\rho u) e^{-\frac{1}{2}t^2}\sqrt{1-\rho^2}\;dt\\ & =\sqrt{1-\rho^2} \underbrace{\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty t e^{-\frac{1}{2}t^2}dt}_% {=0=EU,\;{\scriptsize{\text{ kde }}}U\sim N(0,1)} + \rho u \underbrace{\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{1}{2}t^2}dt}_% {=1\;({\scriptsize{\text{ hustota }}}U\sim N(0,1))}=\boxed{\rho u} \end{align*}$$ Pokračujme $$ \boxed{C(X,Y)}=\tfrac{\sigma_1\sigma_2}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty \rho u^2 e^{-\frac{u^2}{2}}du =\rho\sigma_1\sigma_2 \underbrace{\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty u^2 e^{-\frac{u^2}{2}}du}_% {=1=DU,\;{\scriptsize{\text{ kde }}}U\sim N(0,1)}= \boxed{\rho\sigma_1\sigma_2}$$ a korelační koeficient je tedy roven $$\boxed{R(X,Y)}=\frac{C(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}= \frac{\rho\sigma_1\sigma_2}{\sigma_1\sigma_2}=\boxed{\rho}.$$

Příklad 3.7. Mějme dvourozměrný diskrétní náhodný vektor $\displaystyle (X,Y)'\;\sim\;(M,p)$, kde $$ M=M_X\times M_Y=\{0,1\}\times\{-1,0,1\} \text{ a } p(x,y)= \begin{cases} \frac{1}{3} & (x,y)\in\{(0,0),(1,-1),(1,1)\}, \\ 0 & jinak. \end{cases} $$

Vypočítáme korelační koeficient a marginální pravděpodobnostní funkce. Na základě toho pak určíme, zda případná nekorelovanost implikuje i nezávislost.

$$ \begin{array}{@{}l@{\;}c@{\;}l@{\;}l@{}} {EX} &=& \sum\limits_{x\in M_X}x\;p_X(x)&=0\cdot\frac{1}{3} +1\cdot\frac{2}{3}={\frac{2}{3}}\\[1.5em] {EY} &=& \sum\limits_{y\in M_Y}y\;p_Y(y)&=(-1)\cdot\frac{1}{3}+0\cdot\frac{1}{3} +1\cdot\frac{1}{3}={0}\\[1.5em] {E(XY)} & = & \sum\limits_{(x,y)\in M}xy\;p(x,y)&= 0\cdot0\cdot\frac{1}{3}+1\cdot(-1)\cdot\frac{1}{3} +1\cdot 1\cdot\frac{1}{3}\\[1ex] &&&=-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}={0} \end{array} $$

Nyní dopočítáme kovarianci

Avšak nejsou nezávislé, neboť například

Pokud bychom si ihned všimli, že platí s pravděpodobností 1 vztah

lze ihned počítat

takže vidíme, i přes funkční vztah $X=Y^2$dostáváme, že $X$ a $Y$ jsou nekorelované. Je třeba si neustále uvědomovat, že

• korelace je mírou lineárního vztahu;
• nulová korelace neimplikuje nezávislost, ale značí pouze, že mezi náhodnými veličinami neexistuje lineární vztah, což nevylučuje možnost jiného funkčního vztahu.