Pravděpodobnost a statistika I
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity
RNDr. Marie Forbelská, Ph.D., Mgr. Jan Koláček, Ph.D.
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity
RNDr. Marie Forbelská, Ph.D., Mgr. Jan Koláček, Ph.D.
Konvergence náhodných veličin a centrální limitní věta
1. Konvergence podle pravděpodobnosti a slabý zákon velkých čísel
Poznámka 1.1.
V matematické statistice se často pracuje s aritmetickými průměry, které se počítají z pozorování náhodných veličin $X_1,\ldots,X_n$,
takže jde
vlastně o lineární kombinaci původních náhodných veličin
$$
\bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_i.
$$
V dalším nás budou zajímat vlastnosti této transformované náhodné veličiny při $n\to\infty$.
Definice 1.2. Konvergence podle pravděpodobnosti.
Řekneme, že
posloupnost náhodných veličin $\{X_n\}_{n=1}^\infty$ konverguje podle pravděpodobnosti k číslu $\theta\in\mathbb{R}$, jestliže
pro libovolné $\varepsilon\gt 0$ platí
$$
\lim\limits_{n\to\infty}P(|X_n-\theta|\gt \varepsilon)=0
\qquad\text{ a píšeme }\qquad
X_n \xrightarrow [n\to\infty]{P} \theta.
$$
Poznámka 1.3.
V teorii míry se uvedené konvergenci říká slabá
konvergence nebo též konvergence podle míry, a to
pravděpodobnostní míry $P$. Pokud $X_n\!-\!X\xrightarrow [n\to\infty]{P} 0$, řekneme,
že posloupnost náhodných veličin
konverguje podle pravděpodobnosti k náhodné veličině $X$.
Definice 1.4. Slabý zákon velkých čísel.
Řekneme, že posloupnost
náhodných veličin $\{X_n\}_{n=1}^\infty$ splňuje slabý zákon velkých
čísel, jestliže posloupnost náhodných veličin
$$
Y_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-EX_i) \xrightarrow [n\to\infty]{P} 0.
$$
Věta 1.5. Čebyševova věta.
Nechť $\{X_n\}_{n=1}^\infty$ je posloupnost po dvou
nezávislých náhodných veličin, které mají konečné druhé momenty a
platí
$$
\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^n DX_i=0.
$$
Pak posloupnost $\{X_n\}_{n=1}^\infty \kern 1ex$ splňuje slabý zákon velkých čísel.
Důkaz.
Položme $Y_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-EX_i)$.
Podle Čebyševovy nerovnosti pro libovolné $\varepsilon\gt 0$ platí
$$
P(|Y_n-EY_n|\gt \varepsilon)\leq \frac{DY_n}{\varepsilon^2}.
$$
Proto počítejme
$ \begin{array}[t]{@{}lcl@{}} {EY_n} &=& E\left[\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-EX_i) \right] =\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\underbrace{E(X_i-EX_i)}_{=0}={0}\\[1ex] {DY_n} &=& D\left[\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-EX_i) \right] =\frac{1}{n^2} D\left[\sum\limits_{i=1}^n(X_i-EX_i) \right]\\& \stackrel{nez.}{=}& \frac{1}{n^2} \sum\limits_{i=1}^nD(X_i-EX_i)=\frac{1}{n^2} \sum\limits_{i=1}^nDX_i \end{array} $a dosadíme–li do Čebyševovy nerovnosti, dostaneme
$$ P\left(\left|\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-EX_i)-0\right|\gt \varepsilon\right) \leq \frac{DY_n}{\varepsilon^2} =\frac{1}{\varepsilon^2}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^nDX_i \xrightarrow [n\to\infty]{\text{podle předp.}} 0, $$takže $\{X_n\}_{n=1}^\infty \kern 1ex$ splňuje slabý zákon velkých čísel.
\(\Box\)
Důsledek 1.6.
Nechť $\{X_n\}_{n=1}^\infty$ je posloupnost po dvou nezávislých náhodných
veličin. Jestliže pro $\forall\; n$ platí
$$DX_n\leq c,\text{ kde }
c\in\mathbb{R},c\gt 0,$$
pak $\{X_n\}_{n=1}^\infty \kern 1ex$ splňuje slabý zákon velkých čísel.
Důkaz.
Protože platí
$$0\leq \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \underbrace{DX_i}_{\leq c}
\leq \frac{1}{n^2} nc=\frac{c}{n}
\xrightarrow [n\to\infty]{} 0,$$
jsou splněny předpoklady předchozí věty a $\{X_n\}_{n=1}^\infty \kern 1ex$ splňuje slabý zákon velkých čísel.
\(\Box\)
Důsledek 1.7. Bernoulliova věta.
Nechť náhodná veličina $Y_n$ je rovna
počtu úspěchů v posloupnosti nezávislých alternativních pokusů
délky $n$, ve které je pravděpodobnost úspěchu rovna číslu
$\theta\in(0,1)$.
Potom posloupnost
$Z_n=\frac{1}{n}Y_n$ relativních četností úspěchů
konverguje podle pravděpodobnosti k $\theta$, tj.
$$ Z_n=\frac{1}{n}Y_n \;\;\xrightarrow [n\to\infty]{P}\;\; \theta. $$Důkaz.
Označme náhodnou veličinu
$X_i=\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \text{úspěch}\\
1 & \text{neúspěch}
\end{array}
\right.$ s pravděpodobností úspěchu $\theta$. Dostáváme
posloupnost nezávislých alternativních náhodných veličin
$\{X_i\sim A(\theta)\}_{i=1}^\infty$, ve které platí
$EX_i=\theta$ a $DX_i=\theta(1-\theta)\leq \frac{1}{4}$, tedy
podle předchozího důsledku posloupnost $\{X_n\}_{n=1}^\infty$
splňuje slabý zákon velkých čísel, což značí, že
$$
\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-EX_i) \xrightarrow [n\to\infty]{P} 0
\;\;\Leftrightarrow\;\;
\overbrace{\frac{1}{n}\underbrace{\sum\limits_{i=1}^n X_i}_{=Y_n}}^{=Z_n}-\theta
\xrightarrow [n\to\infty]{P} 0
\;\;\Leftrightarrow\;\;
Z_n \xrightarrow [n\to\infty]{P} \theta.
$$
\(\Box\)
Důsledek 1.8.
Nechť $\{X_n\}_{n=1}^\infty \kern 1ex$ je posloupnost nezávislých
náhodných veličin, které mají všechny stejné rozdělení
pravděpodobností se střední hodnotou $\mu$ a rozptylem $\sigma^2$.
Potom $\{X_n\}_{n=1}^\infty \kern 1ex$ splňuje slabý zákon velkých čísel a
posloupnost průměrů konverguje podle pravděpodobnosti
k $\mu$, tj.
$$
\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_i \xrightarrow [n\to\infty]{P} \mu.
$$
Důkaz.
Je zřejmý, neboť $DX_n\leq c=\sigma^2$.
\(\Box\)
Věta 1.9. Markovova věta.
Nechť posloupnost náhodných veličin $\{X_n\}_{n=1}^\infty \kern 1ex$ splňuje podmínku
$$
\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}D\sum\limits_{i=1}^n
X_i=0.
$$
Pak $\{X_n\}_{n=1}^\infty$ splňuje slabý zákon velkých čísel.
Věta 1.10. Chinčinova věta.
Nechť $\{X_n\}_{n=1}^\infty \kern 1ex$ je posloupnost
nezávislých náhodných veličin, které mají stejné
rozdělení pravděpodobností s konečnou střední hodnotou $EX_i=\mu$.
Potom $\{X_n\}_{n=1}^\infty$ splňuje slabý zákon
velkých čísel, tj. posloupnost průměrů
$$
\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_i=Y_n\xrightarrow [n\to\infty]{P} \mu
.
$$
Důkaz.
Nebudeme provádět, lze ho najít například v knize
Rényi, A., Teorie pravděpodobnosti, ACADEMIA, Praha 1972,
str. 322.
\(\Box\)
2. Konvergence skoro jistě a silný zákon velkých čísel
Definice 2.1. Konvergence skoro jistě.
Řekneme, že posloupnost
náhodných veličin $\{X_n\}_{n=1}^\infty \kern 1ex$ konverguje skoro jistě
k náhodné veličině
$X$ (vzhledem k pravděpdobnosti), jestliže
$$
P\left(\lim\limits_{n\to\infty}X_n=X\right)=1
\qquad\text{ a píšeme }\qquad
X_n \xrightarrow [n\to\infty]{s.v.} X.
$$
Poznámka 2.2.
Konvergenci skoro jistě se v teorii míry říká
silná konvergence nebo také
konvergence skoro všude vzhledem k míře $P$.
Definice 2.3. Silný zákon velkých čísel.
Řekneme, že posloupnost
náhodných veličin $\{X_n\}_{n=1}^\infty \kern 1ex$ splňuje silný zákon
velkých čísel, jestliže posloupnost náhodných veličin
$Y_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-EX_i)$
konverguje skoro jistě k nule, tj.
$$P\left(\lim\limits_{n\to\infty}
\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-EX_i)=0\right)=1.$$
Poznámka 2.4.
K tomu, aby posloupnost náhodných veličin $\{X_n\}_{n=1}^\infty \kern 1ex$
splňovala silný zákon velkých čísel stačí splnění
podmínek Chinčinovy větu. Toto tvrzení se nazývá II.
Kolmogorova věta a její důkaz lze najít například v knize Dupač,
V., Hušková, M. Pravděpodobnost a matematická statistika.
Karolinum. Praha 1999.
3. Konvergence posloupnosti distribučních funkcí
Označme $\{F_n\}_{n=1}^\infty \kern 1ex$ posloupnost distribučních funkcí náhodných veličin $\{X_n\}_{n=1}^\infty.$ Definujme další typ konvergence náhodných veličin.
Definice 3.1.
Řekneme, že posloupnost náhodných veličin $\{X_n\}_{n=1}^\infty \kern 1ex$
konverguje v distribuci (nebo podle zákona rozdělení)
k náhodné veličině $X$ s distribuční funkcí $F$, jestliže
platí
$\lim\limits_{n\to\infty}F_n(x)=F(x) \kern 1ex$
ve všech bodech spojitosti $F(x)$.
Tuto skutečnost značíme
$$X_n\xrightarrow [n\to\infty]{\mathcal{L}} X.$$Distribuční funkce $F$ se nazývá limitní nebo asymptotická distribuční funkce.
4. Centrální limitní věty
| Mějme posloupnost náhodných veličin $\{X_n\}_{n=1}^\infty$, které jsou | – | definované na ($\Omega,\mathcal{A},P$), |
| – | nezávislé, | |
| – | $EX_i=\mu_i$, | |
| – | $DX_i=\sigma_i^2$. |
Řekneme, že náhodná veličina
| $C_i=X_i-\mu_i$ | je | centrovaná | $\Rightarrow$ | $EC_i=0$ a $DC_i=\sigma_i^2$ |
| $U_i=\frac{C_i}{\sigma_i}=\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}$ | je | standardizovaná | $\Rightarrow$ | $EU_i=0$ a $DU_i=1$ |
Označme náhodnou veličinu
$$\begin{array}{lclclcl} {\overline{X}_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i} & \Rightarrow & {E\overline{X}_n}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n EX_i= {\frac{1}{n}(\mu_1+\cdots+\mu_n)}\\[1ex] & & {D\overline{X}_n}\stackrel{nez.}{=}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^n DX_i= {\frac{1}{n^2}(\sigma_1^2+\cdots+\sigma_n^2)} \end{array}$$| Standardizujme průměr $\overline{X}_n:$ | $U_{\overline{X}_n}$ $=\frac{\overline{X}_n-E\overline{X}_n}{\sqrt{D\overline{X}_n}}= \frac{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i-\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\mu_i} {\sqrt{\frac{\sigma_1^2+\cdots+\sigma_n^2}{n^2}}}=$ $\frac{\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\mu_i)} {\sqrt{\sigma_1^2+\cdots+\sigma_n^2}}$ |
| Pokud $EX_i=\mu$ a $DX_i=\sigma^2$ | $U_{\overline{X}_n}$ $=\frac{\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\mu_i)} {\sqrt{n\sigma^2}}=$ $\frac{\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\mu_i)} {\sigma\sqrt{n}}$. |
Nyní vyslovíme několik modifikací centrálních limitních vět (CLV). Jejich význam spočívá v tom, že za velmi všeobecných podmínek ukazují, že standardizované průměry $U_{\overline{X}_n}$ z nezávislých náhodných veličin konvergují k normálnímu rozdělení.
Věta 4.1. Lindebergova–Lévyho CLV.
Nechť $\{X_n\}_{n=1}^\infty \kern 1ex$ je
posloupnost nezávislých náhodných veličin se stejným
rozdělením se střední hodnotou $\mu$ a
nenulovým rozptylem $\sigma^2$. Potom náhodné veličiny
$$U_{\overline{X}_n}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\mu_i)}
{\sigma\sqrt{n}}$$
mají asymptoticky standardizované normální rozdělení $N(0,1)$, což budeme značit
$$U_{\overline{X}_n}\;\stackrel{A}{\sim}\; N(0,1).$$Důkaz.
Označme pro $k=1,2,\ldots$
$$C_k=X_k-\mu \text{ a } \psi_{C_k}(t)=Ee^{itC_k}.$$
V tomto případě platí
$$EC_k=0 \text{ a } DC_k=EC_k^2=\sigma^2.$$Rozviňme charakteristickou funkci $\psi_{C_k}(t)$ pomocí Taylorova rozvoje
$
\psi_{C_k}(t)=\sum\limits_{j=0}^n\frac{(it)^jEC_k^j}{j!}+R_n(t),\qquad$
kde $\qquad R_n(t)=o(t^n),\qquad$ tj. $\qquad\lim\limits_{t\to 0}\frac{R_n(t)}{t^n}=0$.
Protože máme zaručenu existenci prvních dvou momentů, pak pro $n=2$
$\psi_{C_k}(t)=
1+\frac{itEC_k}{1!}+\frac{(it)^2EC_k^2}{2!}+R_2(t)
=1-\frac{\sigma^2t^2}{2}+R_2(t),\qquad$
kde
$\qquad\lim\limits_{t\to 0}\frac{R_2(t)}{t^2}=0$.
Položme
$$Z_k=\frac{C_k}{\sigma\sqrt{n}}=\frac{X_k-\mu}{\sigma\sqrt{n}}.$$Protože
$$\psi_{a+bX}(t)=e^{ita}\psi_X(tb),$$pak položíme–li $a=0$ a $b=\frac{1}{\sigma\sqrt{n}}$, můžeme psát:
$$\psi_{Z_k}(t)=\psi_{C_k}\left(\frac{t}{\sigma\sqrt{n}}\right) =1-\frac{\sigma^2t^2}{2\sigma^2n} +R_2\left(\frac{t}{\sigma\sqrt{n}}\right) =1-\frac{t^2}{2n} +R_2\left(\frac{t}{\sigma\sqrt{n}}\right)$$a přitom
$$\lim\limits_{t\to 0} \frac{R_2\left(\frac{t}{\sigma\sqrt{n}}\right)}{\frac{t^2}{\sigma^2 n}}=0 \quad\Leftrightarrow\quad \text{ pro pevné } t\in\mathbb{R}\quad\frac{\sigma^2}{t^2}\lim\limits_{n\to \infty} n R_2\left(\frac{t}{\sigma\sqrt{n}}\right)=0.$$Nakonec položme
$$U_{\overline{X}_n}=Z_1+\cdots+Z_n=\frac{C_1}{\sigma\sqrt{n}} +\cdots+\frac{C_n}{\sigma\sqrt{n}}.$$Protože jde o součet nezávislých náhodných veličin, pak pro jejich charakteristické funkce platí
$$\begin{array}{@{}l@{\;}c@{\;}l@{}} \psi_{U_{\overline{X}_n}}(t)=\psi_{Z_1+\cdots+Z_n}(t) &\stackrel{nez.}{=}&\prod\limits_{k=1}^n\psi_{Z_k}(t)= \prod\limits_{k=1}^n\psi_{C_k}\left(\frac{t}{\sigma\sqrt{n}}\right) =\left[\psi_{C_k}\left(\frac{t}{\sigma\sqrt{n}}\right)\right]^n\\[1em] &=& \left[1-\frac{t^2}{2n} +R_2\left(\frac{t}{\sigma\sqrt{n}}\right) \right]^n \end{array}$$Počítejme limitu
$$\begin{array}{@{}l@{\;}c@{\;}l@{}} {\lim\limits_{n\to\infty} \psi_{U_{\overline{X}_n}}(t)}&=&\lim\limits_{n\to\infty} \left[1-\frac{t^2}{2n} +R_2\left(\frac{t}{\sigma\sqrt{n}}\right) \right]^n =\lim\limits_{n\to\infty}\left[1-\frac{\frac{t^2}{2} +nR_2\left(\tfrac{t}{\sigma\sqrt{n}}\right)}{n} \right]^n\\[1ex] &=&\lim\limits_{n\to\infty}\left[1-\frac{\frac{t^2}{2}}{n}\right]^n ={e^{-\frac{t^2}{2}}} \end{array}$$což je charakteristická funkce $N(0,1)$ a platí tvrzení věty.
\(\Box\)
Příklad 4.2.
Zaměstnanec pravidelně cestuje do zaměstnání i ze
zaměstnání tramvají, která jezdí každých pět minut. Jeho příchod
na zastávku vzhledem k odjezdu tramvaje je zcela náhodný. S jakou
pravděpodobností pročeká na cestě tam i zpět během 20 pracovních
dnů méně než 120 minut?
Řešení: Označme
| $X_i$ | $\ldots$ | doba čekání na $i$-té cestě (i=1,$\ldots$,40) |
| $B$ | $\ldots$ | náhodný jev, že během 20 pracovních dnů, tj. během 40 cest pročeká zaměstnanec méně než 120 minut |
Naším úkolem bude spočítat přibližnou pravděpodobnost
$$ P(X_1+\cdots +X_{40}\in B)=P(n\overline{X}_n\leq 120),\text{ kde } n=40.$$s využitím Lindebergovy–Lévyho CLV věty, která tvrdí, že při velkém počtu nezávislých pokusů konverguje standardizovaný průměr k rozdělení normálnímu.
Náhodná veličina $X_i\sim Ro\left(0,5\right)$ s hustotou $f(x)= \begin{cases} \frac{1}{5} & x\in\langle 0,5\rangle, \\ 0 & \text{jinak}. \end{cases} $
Nejprve spočítejme střední hodnotu a rozptyl:
$$\begin{array}[t]{@{}l@{\;}c@{\;}l@{}} {EX_i}&=&\int\limits_0^5\frac{1}{5}xdx= \frac{1}{5}\left[\frac{x^2}{2} \right]_0^5=\frac{25}{10} =\frac{5}{2}={2.5}\\[1ex] {EX_i^2}&=&\int\limits_0^5\frac{1}{5}x^2dx= \frac{1}{5}\left[\frac{x^3}{3} \right]_0^5=\frac{125}{15} ={\frac{25}{3}}\\[1ex] {DX_i}&=&EX^2-(EX)^2=\frac{25}{3}-\frac{25}{4}= {\frac{25}{12}} \end{array}$$Nyní můžeme již po několika úpravách vypočítat žádanou pravděpodobnost:
$$\begin{array}{@{}l@{\;}c@{\;}l@{}} {P(X_1+\cdots +X_{40}\in B)}&=&P(40\overline{X}_n\leq 120)=P(\overline{X}_n\leq 3)\\[1ex] &=&P\left(\frac{\overline{X}_n-E\overline{X}_n}{\sqrt{D\overline{X}_n}}\leq \frac{3-E\overline{X}_n}{\sqrt{D\overline{X}_n}}\right) =P\left(U_{\overline{X}_n}\leq \frac{1}{2\sqrt{\frac{5}{96}}} \right)\\[1.5em] &=& P(U_{\overline{X}_n}\leq 2.1909)\approx \Phi(2.1909)={\boxed{0.9858}}. \end{array}$$Tedy náhodný jev, že během 20 pracovních dnů, tj. během 40 cest, pročeká méně než 120 minut nastane přibližně s pravděpodobností 0.9858.
Další verze centrální limitní věty, tzv. věta Ljapunovova, je nejobecnějším vyjádřením této věty pro součet nezávislých náhodných veličin a říká, že rozdělení součtu vzájemně nezávislých veličin konverguje k normálnímu rozdělení i v případě, že veličiny nemají stejné rozdělení pravděpodobnosti.
Věta 4.3. Ljapunovova CLV.
Mějme posloupnost nezávislých náhodných veličin $\{X_n\}_{n=1}^\infty$,
pro které existují pro $i=1,2,\ldots$ následující momenty
$$\begin{array}[t]{@{}l@{\;}c@{\;}l@{}}
EX_i &=& \mu_i\\
DX_i &=& E(X_i-\mu_i)^2=\sigma_i^2\gt 0\;.\\
H_i^3 &=& E|X_i-\mu_i|^3
\end{array}$$
Položme
$$\begin{array}[t]{@{}l@{\;}c@{\;}l@{}} S_n&=&\sqrt{\sigma_1^2+\cdots+\sigma_n^2}\\[1ex] K_n&=&\sqrt[3]{H_1^3+\cdots+H_n^3} \end{array}.$$Potom Ljapunovova podmínka
$$ \lim\limits_{n\to \infty}\frac{K_n}{S_n}=0 $$je postačující k tomu, aby
$$U_{\overline{X}_n}\;\stackrel{A}{\sim}\; N(0,1).$$Důkaz.
Nebudeme provádět, lze ho najít například v knize
Rényi, A., Teorie pravděpodobnosti, ACADEMIA, Praha 1972.
\(\Box\)
Věta 4.4. Integrální věta Moivre–Laplaceova.
Nechť náhodná
veličina $Y_n$ udává počet úspěchů v posloupnosti délky
n nezávislých alternativních pokusů s pravděpodobností
úspěchu $\theta$. Pak náhodné veličiny
$\frac{Y_n-n\theta}{\sqrt{n\theta(1-\theta)}}\;\stackrel{A}{\sim}\;
N(0,1)$.
Důkaz.
Označme $X_n\sim A(\theta)$. Pak posloupnost náhodných veličin
$\{X_n\}_{n=1}^\infty$ s konečnou střední hodnotou $EX_n=\theta$ a konečným
rozptylem $DX_n=\theta(1-\theta)$ splňuje Lindebergovu–Lévyho
CLV,
takže
$$U_{\overline{X}_n}\stackrel{A}{\sim} N(0,1)$$
Protože binomická náhodná veličina je součtem nezávislých alternativních náhodných veličin
$Y_n=\sum\limits_{k=1}^n X_k=n\overline{X}_n \sim
Bi(n,\theta)$ se střední hodnotou $EX_n=n\theta$ a rozptylem
$DX_n=n\theta(1-\theta)$,
nejprve vyjádřeme
$$\begin{array}[t]{@{}l@{\;}c@{\;}l@{}} E\overline{X}_n &=& E\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nEX_i =\frac{1}{n} n\theta=\theta\\[1ex] D\overline{X}_n &=& D\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)\stackrel{nez.}{=} \frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^nDX_i=\frac{1}{n^2} n\theta(1-\theta) =\frac{\theta(1-\theta)}{n} \end{array}$$a pak upravujme
$$U_{\overline{X}_n}=\frac{\overline{X}_n-E\overline{X}_n}{\sqrt{D\overline{X}_n}}= \frac{n\overline{X}_n-nE\overline{X}_n}{\sqrt{n^2D\overline{X}_n}} =\frac{Y_n-n\theta}{\sqrt{n^2\frac{\theta(1-\theta)}{n}}}= \frac{Y_n-n\theta}{\sqrt{n\theta(1-\theta)}}\stackrel{A}{\sim} N(0,1).$$Tím je věta dokázána.
\(\Box\)
Příklad 4.5.
Nalezněte přibližnou hodnotu pravděpodobnosti toho, že
počet šestek, které padnou ve 12 000 hodech homogenní hrací
kostkou, bude mezi 1 900 a 2 100.
$$\begin{array}{@{}l@{\;}c@{\;}l@{}} P(1\,900\lt Y_n\leq 2\,150)&=&
P(1\,900\!-\!EY_n\!\lt \!Y_n\!-\!EY_n\!\leq\! 2\,100\!-\!EY_n)\\[1ex]
&=& P\left( \frac{1\,900-EY_n}{\sqrt{DY_n}}
\lt \frac{Y_n-EY_n}{\sqrt{DY_n}} \leq\frac{2\,100-EY_n}{\sqrt{DY_n}}
\right)\\[1em]
&=& P\left( \frac{1\,900-2\,000}{\sqrt{\frac{10\,000}{6}}}
\lt U_{\overline{X}_n}\leq \frac{2\,100-2\,000}{\sqrt{\frac{10\,000}{6}}}
\right)\\[1.5em]
&=&
P\left(-2.4495\lt U_{\overline{X}_n}\leq 2.4495
\right)\\[1em]
&\approx&\Phi(2.4495)-\Phi(-2.4495)\\[1em]
&=&2\Phi(2.4495)-1 =0.9857.
\end{array}$$
Řešení: Označme
| $Y_n$ | $\ldots$ | počet šestek, které padnou v $n=12~000$ hodech |
| $B$ | $\ldots$ | náhodný jev, že ve 12 000 hodech homogenní hrací kostkou bude počet padnutých šestek mezi 1 900 a 2 100 |
Náhodná veličina $Y_n\sim Bi\left(n,\frac{1}{6}\right)$, přičemž $n=12~000$.
Naším úkolem bude spočítat přibližnou pravděpodobnost
$$ P(Y_n\in B)=P(1\,900\lt Y_n\leq 2\,100) $$s využitím Moivreovy-Laplaceovy (čti: moávr laplasovy) věty, která tvrdí, že při velkém počtu nezávislých pokusů konverguje binomické rozdělení k rozdělení normálnímu.
Nejprve spočítejme střední hodnotu a rozptyl:
$$\begin{array}[t]{@{}l@{\;}c@{\;}l@{}} {EY_n}&=&n\theta=12\,000\frac{1}{6}= {2\,000}\\[1ex] {DY_n}&=&n\theta(1-\theta)= 12\,000\frac{1}{6}\frac{5}{6}=2\,000\frac{5}{6}= {\frac{10\,000}{6}}. \end{array}$$Nyní můžeme již upravovat:
Tedy náhodný jev, že ve 12 000 hodech homogenní hrací kostkou bude počet padnutých šestek mezi 1 900 a 2 100, nastane přibližně s pravděpodobností 0.9857.
RNDr. Marie Forbelská, Ph.D., Mgr. Jan Koláček, Ph.D. |
ÚMS, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |
ÚMS, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |
| Technická spolupráce:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2013
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2013
Centrum interaktivních a multimediálních studijních opor pro inovaci výuky a efektivní učení | CZ.1.07/2.2.00/28.0041
