Základní poznatky z matematiky
Obsah oddílu
Množiny
Stručný přehled teorie
Množina = skupina (soubor) objektů, tzv. prvků množiny, s danou vlastností.
Zadání množiny:
| 1. výčtem prvků | $A=\{1,2,3\}$ |
| 2. charakteristickou vlastností | $B=\{x\in \mathbf{R}; 2 < x \le 5\}$ |
| 3. graficky | (číselná osa, Vennovy diagramy, ...) |
Množina M je zadána, lze-li o libovolném prvku x říct, zda je $(x\in M)$ či není $(x\notin M)$, jejím prvkem.
Vztahy mezi množinami
Množinové operace: (ukázky se dvěma množinami A, B)
| Sjednocení | $x\in A \cup B$ | $x\in A \cup B \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B$ | x je prvkem alespoň jedné z množin A, B |
| Průnik | $x\in A \cap B$ | $x\in A \cap B \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in B$ | x je prvkem obou množin A, B současně |
| Rozdíl | $x\in A - B$ | $x\in A - B \Leftrightarrow x \in A \wedge x \notin B$ | x je prvkem množiny A, ale není prvkem množiny B |
| Symetrický rozdíl |  |
 |
x je prvkem právě jedné z množin A, B |
| Doplněk |  |
 |
x je prvkem množiny B a není prvkem množiny $A$ (pro $A \subseteq B$) |
| Kartézský součin | $A \times B $ | $A \times B = \{[x,y]; x \in A \wedge y \in B\}$ | Množina všech uspořádaných dvojic [x,y], kde x je prvkem A a y je prvkem B |
Grafické znázornění: Vennovy diagramy
Za tvůrce teorie množin je považován německý matematik Georg Cantor (1845 – 1918), který v roce 1874 zveřejnil článek nazvaný O jedné vlastnosti souhrnu všech algebraických čísel. Tento článek je uznávanou historicky první prací z teorie množin.
Teorie množin postupně pronikala prakticky do všech oblastí matematiky. O její rozvoj se zasloužilo mnoho jednotlivců i skupin matematiků (např. od šedesátých let 20. století vydávala významná díla moderní matematiky, a speciálně teorie množin, skupina francouzských matematiků pod pseudonymem Nikolas Bourbaki).
Dnes se na středních školách studenti seznamují pouze s intuitivním pojmem množiny, protože precizní definice je zatím nad jejich síly. Množinu jim učitel představuje jako matematický pojem, který vyjadřuje souhrn, soubor, skupinu objektů s nějakou společnou vlastností.
Kromě výše uvedených základních informací může učitel podle okolností (úroveň třídy, čas, který má vymezen na probírání tématu o množinách, …) zařadit ještě stručné pojednání a konečných a nekonečných množinách a jejich mohutnosti vyjádřené tzv. kardinálním číslem, o počtu prvků množin, které vzniknou jako výsledek operací s konečnými množinami, apod.
Konečné množiny – počet jejich prvků je vyjádřen přirozeným číslem:
| $A = \{1;4;9 \}$ | $|A|=3$ |
| $B = \{x;y;z \}$ | $|B|=3$ |
Nekonečné množiny – jejich prvky nelze spočítat. Při posuzování a srovnávání nekonečných množin (za pomoci existence vzájemně jednoznačných přiřazení) můžeme dospět k neuvěřitelným závěrům:
- část se může rovnat celku;
- sudých čísel je tolik, jako přirozených (neboť každému přirozenému číslu lze přiřadit jeho dvojnásobek, či naopak každému sudému číslu lze přiřadit jeho polovinu)
- celých čísel je tolik, jako přirozených (neboť každému nezápornému celému číslu lze přiřadit třeba liché přirozené číslo, každému zápornému celému číslu pak sudé přirozené číslo)
Celá čísla ... -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ... Přirozená čísla ... 12 10 8 6 4 2 1 3 5 7 9 11 ... - ...
Úloha 1.2.1
Zapište všechny podmnožiny množiny:
- $M=\{1\}$
- $M=\{1;4\}$
- $M=\{1;4;9\}$
[$2^1$ podmnožin, $2^2$ podmnožin, $2^3$ podmnožin – Proč je počet podmnožin vždy mocninou čísla 2?]
- $M_1=\{1\}; M_2 = \varnothing$
- $M_1=\{1;4\}; M_2 = \{1\}; M_3=\{4\}; M_4 = \varnothing$
- $M_1=\{1;4;9\};$$ M_2 = \{1;4\};$$ M_3=\{1;9\};$$ M_4 = \{4;9\};$$ M_5 = \{1\};$$ M_6 = \{4\};$$ M_7 = \{9\};$$ M_8 = \varnothing$
Pozn.:
- výpis podmnožin – důsledně, systematicky, nezapomenout na prázdnou podmnožinu;
- počet podmnožin množiny s $n$ prvky $ \dots K(0, n) + K(1, n) + K(2, n) + … + K(n, n) =$ $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \dots + \binom{n}{n} = (1 + 1)^n = 2^n $
Důkaz tvrzení, že množina o $n$ prvcích má $2^n$ podmnožin, je samozřejmě možné provádět až v maturitním semináři (případně v době, kdy se probírá kombinatorika)
Úloha 1.2.2
Do kruhu $K$ je vepsán rovnostranný trojúhelník $T$. Určete graficky:
Pozn.: Zdůraznit jasné a jednoznačné vyznačení výsledných rovinných útvarů včetně hraničních čar a vrcholů (plná čára patří výslednému útvaru, čárkovaná nikoliv, plné kolečko zobrazující vrchol patří výslednému útvaru, prázdné nikoliv)!
Úloha 1.2.3
Jsou dány množiny $A=\{4,5\}$, $B=\{5,6,7\}$ a základní množina $Ν$. Zakreslete prvky zadaných množin do Vennova diagramu a určete:
- $C = A \cup B $
- $D = A \cap B $
- $E = A - B $
- $F = B - A $
- $I = A \times B $
- $J = B \times A $
$[C = \{4; 5; 6; 7\}, D = \{5\}, E = \{4\}, F = \{6; 7\}, G = \{ 1; 2; 3\}$ $ \cup \{6; 7; …\}, H = \{4; 6; 7\}, $ $ I = \{[4; 5], [4; 6], [4; 7], [5; 5], [5; 6], [5; 7]\}, J = \{[5; 4], [5; 5], [6; 4], [6; 5], [7; 4], [7; 5]\}]$
Pozn.: Doporučit ve výsledku uvedený způsob zápisu množiny $G = \{1; 2; 3\} \cup \{6; 7; …\}$, a upřednostnit jej před $G = \{1; 2; 3; 6; 7; …\}$!
Úloha 1.2.4
Jsou dány množiny $A=\{x \in R:|-5-4x|>13\}$, $B=\{x \in R:|1-x|\le 2\}$. Určete:
- $ A \cap B $
- $ A \cup B $
- $ B - A $
-
úprava, grafické znázornění a intervalový zápis množin:
A: $|-5-4x|>13$
$|4x+5|> 13/: 4 $
$\left|x- \left(-\frac{5}{4}\right) \right|>\frac{13}{4}$B: $\left|1-x\right|\le 2$
$\left|x-1\right|\le 2$$A=\left(-\infty ;-\frac{9}{2}\right)\cup (2;\infty )$ $B=\langle -1;3 \rangle$ 
-
výsledky operací s množinami:
- $A\cap B = (2;3\rangle$;
- $A\cup B = \left( -\infty;-\frac{9}{2}\right) \cup \langle -1;\infty)$;
- $B - A = \langle -1;2 \rangle $;
- není definován, neboť $A\nsubseteq B$;
Pozn.:
- využít úlohy k zopakování řešení jednoduchých nerovnic s absolutní hodnotou za pomoci geometrického významu absolutní hodnoty rozdílu;
- využívat grafické (barevné) znázornění jednotlivých množin:
- je-li zadáno více množin, je nejlepší pro každé „podzadání“ kreslit samostatný obrázek a do něj případně zakreslit i výslednou množinu;
- náčrty stačí rychle od ruky, ale pro každou množinu jiná barva;
- měřítko není důležité, ale pozor na pořadí obrazů čísel na ose, chyb se studenti často dopouštějí hlavně u znázornění obrazů záporných čísel;
- zdůraznit jasné a jednoznačné vyznačení krajních bodů množin, s nimiž se provádějí jednotlivé operace, a rovněž krajních bodů výsledných množin
Úloha 1.2.5
Pomocí Vennových diagramů rozhodněte, zda pro všechny podmnožiny A, B, C základní množiny U platí: 
Ano.
Rady:
- nakreslit (od ruky) Vennův diagram pro tři podmnožiny A, B, C základní množiny U;
- očíslovat všech osm polí v diagramu čísly 1–8;
- NEVYUŽÍVAT ŠRAFOVÁNÍ (ztrácí se tím přehlednost)!
- pracovat s očíslovanými poli zvlášť pro každou stranu ověřované rovnosti, pak porovnat výsledky;
- obdobně pracovat s očíslovanými poli při úlohách na zjednodušení zápisu operací s množinami
Rady a doporučení pro řešení dvou následujících úloh (úlohy 1.2.6 a 1.2.7)
- prvním krokem řešení je rozhodně důkladné a v plném soustředění provedené pročtení zadání;
- dále nakreslit Vennův diagram pro počet podmnožin odpovídající zadání;
- následují dvě možnosti postupu
- možnost je na první pohled jednoduchá, vede však k řešení několika rovnic o několika neznámých – osadit jednotlivá pole Vennova diagramu neznámými a při druhém čtení sestavovat rovnice odpovídající informacím v zadání. Tento postup může vést např. u uvedené úlohy v krajním případě až k nutnosti řešit osm rovnic o osmi neznámých;
- možnost předpokládá několikanásobné opakované čtení celého zadání a postupné osazování jednotlivých polí diagramu konkrétními čísly tak, jak se je řešitel postupně ze zadání dozvídá. Tento postup je zpočátku časově trochu náročnější, ale jeho důsledkem je zpravidla výrazné zmenšení počtu neznámých a tím i potřeba menšího počtu rovnic k dořešení úlohy. Např. úloha 1.2.7) umožňuje při pozorné práci osadit čísly všechna potřebná pole, a nakonec není třeba řešit nejen soustavu rovnic, ale ani jedinou rovnici;
- pro mnohé studenty bývají často velkým problémem odpovědi na otázky vztahující se k řešení podobných slovních úloh – např.:
- kolik prvků splňuje aspoň dvě z požadovaných vlastností?
- kolik prvků splňuje nejvýš jednu z požadovaných vlastností?
- kolik prvků splňuje právě dvě z požadovaných vlastností?
Úloha 1.2.6
Ze 60 dotázaných studentů navštívilo o prázdninách Rakousko nebo Slovensko 40 z nich. Právě jeden z těchto dvou států navštívilo 30 studentů. Studentů, kteří navštívili pouze Slovensko, bylo 4 krát víc než těch, kteří navštívili jen Rakousko. Kolik studentů bylo o prázdninách v Rakousku a kolik na Slovensku?
Úloha 1.2.7
Ve škole byl proveden průzkum, který měl zjistit, kolik studentů hraje na některý ze tří hudebních nástrojů: klavír, flétna, housle. Ze 142 dotázaných 10 studentů na žádný z těchto nástrojů nehraje. Všechny tři nástroje ovládá 8 studentů, právě dva 37 studentů. Na klavír hraje 70 studentů, na flétnu 65 studentů. Na flétnu a přitom na žádný jiný nástroj hraje 30 studentů. Klavír a flétnu ovládá 20 studentů.
- Kolik studentů hraje nejvýš na jeden z uvedených nástrojů?
- Kolik studentů hraje na housle?
- Kolik studentů hraje na housle nebo na flétnu?
- Kolik studentů hraje aspoň na dva hudební nástroje?
Odpovědi
- Nejvýš jeden nástroj: pole 1, 5, 7, 8: $ 40+17+30+10=97$ ;
- Housle: pole 3, 4, 5, 6: $10+8+17+15=50$ ;
- Housle nebo flétna: pole 2, 3, 4, 5, 6, 7: $12+10+8+17+15+30=92$;
Jiná možnost výpočtu: $|\text{všichni}|-|\text{pole} 1|-|\text{pole} 8|=142-40-10=92$; - Aspoň dva nástroje: pole 2, 3, 4, 6: $12+10+8+15=45$ ;
Jiná možnost výpočtu: $|\text{všichni}|-$ $|\text{ti,kdo hrají nejvýš na jeden nástroj – viz a)}|= $ $=142-97=45$;
Sjednocení konečných množin – počet prvků:
Nechť A,B jsou konečné množiny. $|A\cup B|$ – ?
Nechť A,B,C jsou konečné množiny. $|A\cup B \cup C|$ – ?
Úloha 1.2.8
Kolik je mezi přirozenými čísly od 1 do 1000 takových, která nejsou dělitelná ani dvěma, ani třemi, ani pěti?
- Označme $M = \{ 1;2;\dots;1000\}$;
$D_2 = \{ x \in M;2|x \}$; $D_3 = \{ x \in M;3|x \}$; $D_5 = \{ x \in M;5|x \}$ - Máme určit
- Využijeme
- Závěr:
Další úlohy k procvičování
Základní poznatky
Úloha 1.2.9
Zapište všechny podmnožiny množiny:
- $L=\{a\}$
- $L=\{a,b\}$
- $L=\{a,b,c\}$
$2^1$ podmnožin, $2^2$ podmnožin, $2^3$ podmnožin – Proč je počet podmnožin vždy mocninou čísla 2?
Úloha 1.2.10
Do kruhu K je vepsán čtverec C. Určete graficky:
Úloha 1.2.11
Zakreslete Vennův diagram a určete, kolik disjunktních oblastí obsahuje pro:
- 1 množinu
- 2 množiny
- 3 množiny
- 4 množiny
$2^1$, $2^2$, $2^3$, $2^4$ – Proč je počet oblastí vždy mocninou čísla 2?
Úloha 1.2.12
Jsou dány množiny $A=\{2,3\}$, $B=\{3,4,5\}$ a základní množina $Ν$.
Zakreslete prvky zadaných množin do Vennova diagramu a určete:
Typové příklady standardní náročnosti
Úloha 1.2.13
Jsou dány tři množiny:
$A = \{x \in R:|x+2|\ge 4\}$, $B=\{x \in R:|1-x|<3\}$, $C=\{x\in R: -7< x \le -5\}$Určete
Úloha 1.2.14
Pomocí Vennových diagramů rozhodněte, zda pro všechny podmnožiny A, B, C základní množiny U platí:
$A \cap (B - C) = (A - C) \cap (B - C)$Úloha 1.2.15
Úloha 1.2.16
Při čtvrtletní práci byly zadány 3 příklady. Třetí příklad vyřešilo 21 žáků, a každý ze zbývajících příkladů vyřešilo 23 žáků. Dva žáci nevyřešili žádný příklad, všechny tři příklady vyřešilo 7 žáků. První a druhý příklad vyřešilo 15 žáků, první a třetí příklad 12 žáků. Druhý nebo třetí příklad vyřešilo 31 žáků.
Vypočtěte:
- Kolik žáků vyřešilo druhý i třetí příklad?
- Kolik žáků vyřešilo první nebo druhý příklad?
- Kolik žáků psalo čtvrtletní práci?
- 13
- 31
- 36
Rozšiřující cvičení
Úloha 1.2.17
Na obrázku je Vennův diagram pro čtyři množiny A, B, C, D. Víme, že číslo oblasti, v níž se prvek $x$ nachází, není prvočíslem, je menší než 15 a je dělitelné třemi. Dále víme, že $x \in E$ přičemž platí:
Ve které oblasti diagramu prvek $x$ leží?
