Při určování definičního oboru z rovnice funkce musí studenti prokázat, jak dobře zvládli stanovení podmínek, za kterých mají výrazy smysl, ale také jak ovládají řešení nejrůznějších typů rovnic a nerovnic. Obojí se probíralo zpravidla v předcházejícím školním roce. Učitel má v úvodu tématu o funkcích ideální příležitost věnovat úlohám podobného typu jednu nebo dvě vyučovací hodiny, aby si studenti tuto látku zopakovali. Měl by velmi pečlivě vybírat zadání, aby se nezabředlo do příliš komplikovaných výpočtů, ale aby se upevnily základy, které třeba dříve dělaly studentům potíže. Zároveň může využít této příležitosti, aby poukázal na propojenost různých matematických témat, která už studenti probírali či probírají, a aby upozornil na to, že v budoucnu budou studenti určovat definiční obor při vyšetřování průběhu každé funkce. Je nezbytné, aby dokázali tento základní krok provést bez nejmenší chyby a zaváhání.

1. $D(f)= (-2;8\rangle ; H(f)=\langle -3;4)$
2. ani sudá ani lichá;
3. není monotónní, ale je klesající na $(-2;1\rangle$, rostoucí na $\langle 1;6\rangle$, neklesající na $\langle 1; 8 \rangle$, …
4. omezená;
5. není prostá;
6. není periodická;
7. ostré globální minimum v bodě 1; neostré lokální maximum v bodech $\langle 6;8\rangle$; nemá globální maximum;

Poznámka: Většinu vlastností studenti dokážou z grafu určit bez potíží. Kde občas dochází k chybám?

1. při určení podobného extrému, jako je např v bodě 1. Graf je pro argumenty v okolí 1 zaoblený. Z toho někteří studenti usuzují, že v 1 je neostré minimum. Na podobné omyly musí být učitel připravený. Určitě je vhodné vyvolat ve třídě diskusi o typu extrému v daném bodě, případně i o jiných vlastnostech, o nichž se domnívá, že by v jejich určení mohli studenti chybovat. Správně reagovat znamená nasměrovat pozornost studentů na definice příslušných vlastností a na důkladné pochopení jejich podstaty;
2. při zaměňování funkční hodnoty extrému a polohy extrému v bodě.

1. $m(x)=((2x+5)^2-1)^3$;
2. $n(x)=(2x^3+5)^2-1$;
3. $p(x)=2(x^2-1)^3+5$;

Úloha 4.1.9 je velmi zdařile zvolená, formulovaná a naplněná řadou úkolů. Většinou totiž dosud studenti k zadané funkci určovali vlastnosti. Tato úloha vyžaduje naopak k zadaným vlastnostem vyhledat funkci. Učitel jí může na závěr probírání tématu o vlastnostech funkcí velmi dobře využít k tomu, aby si zkontroloval, jak dobře studenti tuto látku pochopili. Ideálně by měl nakopírovat zadání tak, aby dostal každý student své vlastní. Zdroj by rozhodně neměl být uveden, aby se zamezilo možnosti najít ve Sbírce úloh výsledek bez práce. Práci na nakreslení grafu funkce a zodpovězení otázek z úlohy 4.1.8 by měl učitel zadat ve třídě k samostatnému řešení s dostatečnou časovou dotací. Během doby, kdy budou studenti na úloze pracovat, by měl učitel procházet třídou a sledovat, jak jsou obratní, co jim dělá potíže, eventuálně přidělovat nějaké body či malé jedničky (podle zavedeného systému). Na závěr by měl být celý příklad vyřešen na tabuli, aby si i nejslabší studenti mohli uvědomit chyby a nakreslit a zapsat správné řešení.

pětiúhelník ABCDE kromě vrcholů A, C, D, E a kromě stran CD a AE, kde A[-3;1], B[0;1], C[2;3], D[2;4], E[-3;4]

A, B, D

a) $(-2;6\rangle$

b) $\langle -5;8)-\{2\}$

$D(f)=\langle -5;5\rangle, H(f)=\langle -2;3\rangle$. Není ani sudá, ani lichá. Není monotónní. Lze ale například určit, že na $\langle -3;0\rangle$ je klesající nebo na $\langle -5;-3\rangle$ je rostoucí nebo na $\langle 3;5\rangle$ je rostoucí. Na $\langle -3;3\rangle$ je nerostoucí a na $\langle 0;5\rangle$ je neklesající. Je omezená, neboť je současně omezená shora $(h=3)$ i zdola $(d=-2)$ . Ostré globální maximum má v bodě $-3$, ostré lokální minimum má v bodě $-5$, neostrá globální minima má ve všech bodech intervalu $\langle 0;3\rangle$ . Periodická není. Prostá není.

pětiúhelník ABCDE kromě vrcholů A, C, D, E a kromě stran CD a AE, kde A[-3;1], B[0;1], C[2;3], D[2;4], E[-3;4]