Obsah oddílu

---

Spojitost funkce, limita funkce

Metodika

Spojitost funkce: Studenti by měli být v úvodu tématu o diferenciálním počtu seznámeni stručně, názorně a intuitivně s pojmem spojité funkce (důležité při výpočtech limit) – stačí nanejvýš rozsah této stránky. Učitel by měl dokonce zvážit, zda vůbec uvede definici spojitosti funkce (ve slabších třídách jde o příliš abstraktní záležitost, i v talentované třídě je tato definice velmi náročná a čas nedovolí zdržet se u ní déle, než aby studenti pochopili, že je funkce v bodě $a$ spojitá právě tehdy, když funkční hodnoty všech argumentů z $\delta$-okolí bodu $a$ budou „natěsnány“ v $\varepsilon$-okolí bodu $f_{(a)}$).

Def.: Funkce $f:y=f(x)$ je spojitá v bodě $a$, jestliže:

1. je definovaná v nějakém okolí bodu $a$ (včetně samotného bodu $a$);
2. ke každému $\varepsilon$-okolí bodu $f(a)$ existuje $\delta$-okolí bodu $a$ tak, že pro všechna x z $\delta$-okolí bodu $a$ patří funkční hodnoty $f(x)$ do $\varepsilon$-okolí bodu $f(a)$.

Tedy: Funkce $f:y=f(x)$ je spojitá v bodě $a$, jestliže:

1. je v bodě $a$ definovaná;
2. $(\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0)(\forall x:|x-a| \lt \delta)(|f(x) - f(a)| \lt \varepsilon)$

Věty o spojitosti funkce v bodě:

Jsou-li funkce $f(x)$ a $g(x)$ spojité v bodě $a$, pak jsou v tomto bodě spojité i funkce

1. $f(x) + g(x)$
2. $f(x) - g(x)$
3. $f(x) \cdot g(x)$
4. $\frac{f(x)}{g(x)}$ pro $g (a) \ne 0$

Limita funkce: Před vlastním probíráním tématu „Limita funkce“ by měl učitel zařadit důležitou informaci:

Následujícímu obrázku by se měl učitel se studenty věnovat značnou část vyučovací hodiny. Ideálně by měl mít každý student obrázek k dispozici pro vlastní potřebu (nalepení do sešitu). Při online hodině by jej učitel mohl studentům nasdílet a využít jej k tomu, aby na něm ukázal studentům celou řadu nejrůznějších typů limit. Pokud by učil prezenčně, měl by využít k demonstraci obrázku dataprojektor, nebo jej může v krajním případě překreslit na tabuli. Jestliže se studenti tímto způsobem s limitami seznámí a intuitivně je pochopí, dokážou vzápětí zpravidla velmi dobře pochopit definice limit a v řadě případů dokonce dokážou tyto definice i sami „vymyslet“.

Evidentně na obrázku lze najít

• vlastní limitu spojité funkce ve vlastním bodě $(a)$;
• vlastní limitu ve vlastním bodě funkce v něm nespojité $(c, g)$;
• vlastní limitu v nevlastním bodě $(+\infty)$
• nevlastní limitu ve vlastním bodě $(d)$;
• nevlastní limitu v nevlastním bodě $(-\infty)$
• jednostrannou vlastní limitu zleva $(c^{-},g^{-})$
• jednostrannou vlastní limitu zprava $(b^{+},g^{+})$
• jednostrannou nevlastní limitu zleva $(b^{-}, d^{-}, e^{-})$
• jednostrannou nevlastní limitu zprava $(d^{+},e^{+})$

Věty o limitách

• Funkce $f:y = f(x)$ má v každém bodě $a$ nejvýš jednu limitu.
• Jestliže je funkce $f:y = f(x)$ v bodě $a$ spojitá, pak platí: $\lim\limits_{x \to a} f(x)=f(a)$
  Př.: $\lim\limits_{x \to 4} (3x-5)=7$
• Nechť jsou dány funkce $f(x)$ a $g(x)$ a nechť pro všechna $x\ne a$ z jistého $\delta$-okolí bodu $a$ platí: $f(x)=g(x)$. Má-li funkce $g(x)$ v bodě $a$ limitu $L$, tedy $\lim\limits_{x \to a} g(x)=L$ pak má v bodě $a$ limitu i funkce $f(x)$ a platí: $\lim\limits_{x \to a} f(x)=\lim\limits_{x \to a} g(x)=L$.
  Př.:$\lim\limits_{x \to 3} \frac{\displaystyle x^2+4x-21}{\displaystyle x-3}=\lim\limits_{x \to 3} \frac{\displaystyle (x+7)\cdot (x-3)}{\displaystyle x-3}= \lim\limits_{x \to 3} (x+7)= 10$
• Jestliže pro každé $x\ne a$ a jistého $\delta$-okolí bodu $a$ platí: $g(x) \lt f(x) \lt h(x)$ a jestliže existují limity $\lim\limits_{x \to a} g(x)=\lim\limits_{x \to a} h(x) = L$, pak existuje také limita $f(x)$ a platí $\lim\limits_{x \to a} f(x)=L$. (Pozn. Tuto větu lze použít např. pro důkaz, že $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$)
• Nechť jsou dány funkce $f(x)$ a $g(x)$, které mají limitu v tomtéž bodě $a$. Nechť platí:$\lim\limits_{x \to a} f(x) =L$ a $\lim\limits_{x \to a} g(x)=M $. Pak mají v tomto bodě limitu i funkce představující jejich součet, rozdíl, součin a pro $M \ne 0$ i podíl a platí:
1. $\lim\limits_{x \to a} (f(x)+g(x))= L+M $
2. $\lim\limits_{x \to a} (f(x)-g(x))= L-M$
3. $\lim\limits_{x \to a} (f(x)\cdot g(x))= L\cdot M$
4. $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{L}{M}$

Před používáním L´Hospitalova pravidla musí být ovšem probrána derivace funkce. Tedy, lépe řečeno, výpočty limit užitím L´Hospitalova pravidla lze provádět až po probrání derivace funkce.

Při výpočtu limity polynomické lomené funkce se využívá vytýkání nejvyšší mocniny proměnné v čitateli i ve jmenovateli. Běžně se ale nemusí vždy postupovat takto podrobně. Lze využít následujícího postupu:

1. je-li stupeň čitatele menší než stupeň jmenovatele, je limita rovna nule (viz zadání a));
2. je-li stupeň čitatele stejný jako stupeň jmenovatele, je limita rovna podílu koeficientů při nejvyšších mocninách proměnné (viz zadání b));
3. je-li stupeň čitatele větší než stupeň jmenovatele, měl by být dodržen postup jako v zadáních c), d).

Základní poznatky

Typové příklady standardní náročnosti