Je dána posloupnost $(\frac{3n}{n+1})^{\infty}_{n=1}$, pro niž platí $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{3n}{n+1} = 3$. K daným hodnotám $\varepsilon \gt 0$ určete takové $n_0$, aby pro každé $n \gt n_0$ platilo $|\frac{3n}{n+1} -3| \lt \varepsilon$.

1. $\varepsilon = 0,04$;
2. $\varepsilon = 0,0005$

Dokažte: $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ $(n \in N)$.

Dokažte: $\lim\limits_{n \to \infty} (\frac{1}{2})^n = 0$ $(n \in N)$.

Dokažte: Je-li $q \in R$ a $|q| \lt 1$, pak $\lim\limits_{n \to \infty} q^n = 0$. $(n \in N)$.

Výpočty limit posloupností jejichž n-tý člen je vyjádřen podílem dvou polynomů; využívá se vytýkání nejvyšší mocniny proměnné (případně dělení čitatele i jmenovatele nejvyšší mocninou proměnné):

Při praktickém počítání limit posloupností tohoto typu se nemusí vždy postupovat takto podrobně. Lze využít následujícího postupu:

1. je-li stupeň čitatele menší než stupeň jmenovatele, je limita rovna nule (viz zadání a) );
2. je-li stupeň čitatele stejný jako stupeň jmenovatele, je limita rovna podílu koeficientů při nejvyšších mocninách proměnné (viz zadání b) );
3. je-li stupeň čitatele větší než stupeň jmenovatele, měl by být dodržen postup jako v zadání c).

Vypočítejte limitu posloupnosti a své tvrzení dokažte: $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\displaystyle5n+3}{\displaystyle 2n}$?

Vypočítejte:

1. $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\displaystyle 2^{n+3}}{\displaystyle 5^n}$;
2. $ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\displaystyle 3^n\cdot(n-0,4^n)^3}{\displaystyle n\cdot(3^n\cdot n^2 - 2n)}$;
3. $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\displaystyle n \cdot (1-2^{-n})}{\displaystyle(3n-2)\cdot (2+3^{-n})}$

Rozepište pomocí součtu:

1. $\sum^{\infty}_{i=1} x^{2i}$;
2. $\sum^{\infty}_{i=1} \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2^{i-5}}$;
3. $\sum^{\infty}_{i=1} 4\cdot (x+1)^{-i}$
4. $\sum^{\infty}_{i=1} [ 4\cdot (x+1)]^{-i}$

Rozepište pomocí sumy:

1. $3+9+27+81+\dots$;
2. $x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x +\frac{1}{8}x + \frac{1}{16}x + \dots$;
3. $2-4+8-16+32- \dots$;
4. $\frac{3}{x^3}+ \frac{3}{x^2}+\frac{3}{x}+3+3x+3x^2+ \dots$.

Vypočítejte součet nekonečné řady $\sum^{\infty}_{n=1} (\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle n \cdot (n+1)})$.

Dokažte, že nekonečná harmonická řada $\sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n}$ sice splňuje nutnou podmínku konvergence, tedy $\lim\limits_{n\to \infty} a_n = 0$, tato podmínka však není dostačující, a řada je divergentní.

Pozn.:

1. Pokud učitel zařadí tuto úlohu do výuky, může na ní pěkně ukázat, že existují posloupnosti, jejichž limita je nulová (čímž je splněna nutná podmínka konvergence její řady), ale přesto její řada může být divergentní.
2. Další příklad harmonické posloupnosti $(\frac{2}{n+1})^{\infty}_{n=1}$.

Rozhodněte, zda je daná nekonečná geometrická řada (NGŘ) konvergentní nebo divergentní. U konvergentní řady vypočítejte její součet:

1. $- \frac{1}{3}+\frac{1}{6}-\frac{1}{12}+\frac{1}{24}-\dots$;
2. $\sqrt{2}+1+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}+\dots$;
3. $2+3+\frac{9}{2}+\frac{27}{4}+\dots$;
4. $\sqrt{5} - \sqrt{3}+5- \sqrt{15} + 5\sqrt{5}-5\sqrt{3}+\dots$.

Řešte v R rovnici: $1+3x+9x^2+\dots = 10$.

Řešte v R rovnici: $2-4x+8x^2- \dots = 1$.

Řešte v R rovnici: $1+ \log x + (1+\log x)^2 + (1+ \log x)^3 + \dots=-6 \log x$.

Řešte v R rovnici: $\sum^{\infty}_{i=1} ( \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle x}) ^{i-1}=\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle x-4}$

Převeďte dané neryze periodické číslo na zlomek s celým čitatelem a celým jmenovatelem: $a=1,0\overline{15}$

Do čtverce o straně $a$ je vepsán kruh. Do tohoto kruhu je opět vepsán čtverec. Do čtverce opět kruh, do kruhu čtverec, … . Vypočítejte: a) součet obvodů všech čtverců;
b) součet obvodů všechkruhů.

Zvolíme vhodně náčrt (polohy čtverců!!!)

Napište definici limity dané posloupnosti a dokažte tvrzení: $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{2}{n}=0$

Vypočítejte:

1. $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{2n^2+3n}{n^3-2n}$
2. $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\pi}{2^n}$

Rozhodněte, kdy je aritmetická posloupnost $(a_1+(n-1)d)^{\infty}_{n=1}$ divergentní.

Rozhodněte, kdy je geometrická posloupnost $(a_1\cdot q^{n-1})^{\infty}_{n=1}$ konvergentní.

Vypočítejte:

1. $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\displaystyle (n+2)(n-3)}{\displaystyle (2n+1)^2}$
2. $ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\displaystyle 2^{n+1}}{\displaystyle 2^n +3}$

Dané neryze periodické číslo převeďte na zlomek $a=0,23\overline{48}$

Spirála se skládá z půlkružnic. Poloměr každé následující je roven $\frac{2}{3}$ poloměru půlkružnice předcházející. Určete délku spirály, je-li poloměr první půlkružnice $r$.

Řešte v R: $1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}- \frac{8}{x^3}+ \dots = \frac{6}{x+5}$

Rozhodněte o konvergenci řady a vypočítejte $\sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n.(n+1)}$

Prověřte konvergenci řady $\sqrt{3}-\sqrt{2}+ \frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{2}}{3}+ \dots$ a určete její součet.

Vypočítejte pro $x \in R: \sum^{\infty}_{n=1} - (-2)^{-n+1} x^n= \frac{4}{3}x$

Vypočtěte:

1. $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\displaystyle 3^n \cdot (n-0,4^n)^3}{\displaystyle n \cdot (3^n \cdot n^2-2n)}$
2. $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\displaystyle n \cdot (1-2^{-n})}{\displaystyle (3n-2)\cdot(2+3^{-n})}$