Planimetrie

Obsah oddílu

Úhly v kružnicích

Stručný přehled teorie

doplněk

Body $A, B$ dělí kružnici na dva oblouky:

  • menší oblouk $\widehat{AB}$
  • větší oblouk $\widehat{AB}$

Poznámka

  1. Je-li $AB$ průměr kružnice $k$, pak jsou oba oblouky stejné, tj. polokružnice. Kružnice $k$ je Thaletovou kružnicí nad $AB$.
  2. Je-li $V$ vnitřní bod oblouku, pak lze tento oblouk označit $\widehat{AVB}$.

$\sphericalangle ASB = \omega$ … středový úhel příslušný k menšímu $\widehat{AB}$

$\sphericalangle AVB = \alpha$ … obvodový úhel příslušný k menšímu $\widehat{AB}$ ($V$ – libovolný vnitřní bod většího $\widehat{AB}$)

$\sphericalangle BAX = \varphi$ … úsekový úhel příslušný k menšímu $\widehat{AB}$ ($X$ – libovolný bod na tečně ke kružnici $k$ v bodě $A$ zvolený tak, aby menší $\widehat{AB}$ byl součástí tohoto úhlu)

Platí:

  1. Všechny obvodové úhly příslušné k témuž oblouku kružnice jsou shodné a jejich velikost je rovna polovině velikosti středového úhlu příslušného k témuž oblouku. Tj. $\alpha=\frac{\omega_\alpha}{2}$ a $\omega_\alpha = 2\alpha$.

    2. Důkaz (částečný – pro „nekomplikovanou“ polohu vrcholu $V$):

    doplněk
    • $\bigtriangleup AVS$ je rovnoramenný $\Rightarrow \left\lvert \sphericalangle VAS\right\rvert = \left\lvert \sphericalangle AVS\right\rvert =\alpha_1$
      • $\omega_{\alpha 1}$ je vnější úhel $\bigtriangleup AVS$ při vrcholu $S\Rightarrow \omega_{\alpha 1}=\left\lvert \sphericalangle VAS\right\rvert + \left\lvert \sphericalangle AVS\right\rvert = 2\alpha_1$

    • obdobně $\bigtriangleup BVS$ je rovnoramenný, …, $\omega_{\alpha 2}=2\alpha_2$ $$\rtt{\omega_\alpha}=\omega_{\alpha 1}+\omega_{\alpha 2}=2\alpha_1+2\alpha_2=2(\alpha_1+\alpha_2)=\btt{2\alpha}$$ $$\text{cbd.}$$
  2. Úsekový úhel příslušný k danému oblouku kružnice je shodný s obvodovými úhly příslušnými k témuž oblouku, tj. $\varphi = \alpha$.

    Pozn. Na této větě stojí princip konstrukce množiny bodů, ze kterých je úsečka viděna pod úhlem $\alpha$.

  3. Všechny obvodové úhly nad průměrem kružnice jsou pravé (Thaletova věta).
  4. Obvodové úhly příslušné menšímu a většímu oblouku $\widehat{AB}$ téže kružnice jsou výplňkové, neboli jejich součet je $180^\circ$.

Metodika:

Téma „Úhly příslušné oblouku kružnice“ je pro studenty jednoduché, snadno pochopitelné. Učitel by se měl zaměřit především na vztah mezi středovým úhlem a obvodovým úhlem příslušným témuž kružnicovému oblouku a měl by studentům ukázat důkaz tohoto vztahu pro některou nekomplikovanou polohu vrcholu V obvodového úhlu. Pochopení a znalost tohoto jednoduchého důkazu bude velmi užitečná, až bude studentům vysvětlovat konstrukci množiny $G_{AB,\alpha}$, všech bodů, z nichž je daná úsečka $AB$ viděna pod úhlem $\alpha$.

Jak by mohl učitel začít látku probírat – postupně kreslit, přitom vysvětlovat a precizně popsat:

  1. doplněk doplněk

  2. Otázky:

    doplněk

  3. Věta:

    Všechny obvodové úhly příslušné k témuž oblouku kružnice jsou shodné a jejich velikost je rovna polovině velikosti středového úhlu příslušného k témuž oblouku. Tj. $\alpha=\frac{\omega\alpha}{2}$ a $\omega_\alpha = 2\alpha$.

    Důkaz: …

  4. Příklady: …

Poznámka:

Je vhodné doplnit ještě studentům informaci o úsekovém úhlu a zadat eventuálně jako dobrovolné domácí cvičení pokus o důkaz rovnosti úsekového a obvodového úhlu příslušného k témuž kružnicovému oblouku.

Úloha 3.5.1

Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku, jehož vrcholy tvoří body znázorňující na ciferníku 2, 5 a 12.


doplněk

Úloha 3.5.2

Dokažte, že spojnice bodů, které vyznačují na ciferníku 2 a 5, je kolmá na spojnici bodů 3 a 10.


doplněk

Pozice průsečíku $P$ neumožňuje pro určení velikosti úhlu $\sphericalangle APX$ využít vlastnosti středového a obvodového úhlu přímo … v $\bigtriangleup AXP$ ale najdeme snadno velikosti úhlů při vrcholech $A$ a $X$ …

doplněk

Úloha 3.5.3

V pravidelném osmiúhelníku $ABCDEFGH$ vypočítejte velikosti úhlů sevřených dvojicemi různě dlouhých úhlopříček.:

  1. $\leftrightarrow AC, \leftrightarrow BE$,
  2. $\leftrightarrow AC, \leftrightarrow DG$;

  1. doplněk

    Pokud se úhlopříčky protnou uvnitř osmiúhelníku, řešíme podobně jako v úloze 2 doplněním na vhodný trojúhelník. Jen je nutné pamatovat na to, že odchylka přímek $\ott{\alpha}$ je definována jako menší (nejvýš rovný – v případě kolmosti) z obou úhlů, který přímky svírají.

  2. doplněk

    Pokud se úhlopříčky protnou vně osmiúhelníku, odpadne starost s rozhodováním, který ze dvou úhlů s vrcholem v P představuje odchylku. Ale v této situaci se zase někteří studenti dopouštějí chyby tím, že považují úhel $\sphericalangle APG$ za obvodový příslušný menšímu oblouku $AG$ a tak jej i počítají.

  1. Středový úhel příslušný jedné osmině kružnice má velikost $\frac{360^\circ}{8}=45^\circ$.

    doplněk
  2. doplněk

Poznámka:

Jestliže chce učitel v rámci prověrky ověřit, zda studenti zvládnou výpočet odchylky úhlopříček, jejichž vzájemná poloha odpovídá obrázkům a) nebo b), musí si dát pozor na jednoznačnost formulace zadání. Pokud by se požadavek učitele omezil pouze na odchylku nekonkrétních různě dlouhých úhlopříček, může si šikovný student úlohu podstatně zjednodušit a řešit tak, že se zcela vyhne komplikacím, vybere si různě dlouhé úhlopříčky vycházející z téhož vrcholu (viz např. obrázek vpravo) a učitel jeho řešení musí uznat:

doplněk

Úloha 3.5.4

Dvě kružnice $k_1, k_2$ se protínají v bodech $K$, $L$; menší oblouk $KL$ je osminou kružnice $k_1$ a pětinou kružnice $k_2$. Na $k_1$ je dán bod $M$ tak, že nenáleží menšímu oblouku $KL$, ale menší oblouk $KM$ je shodný s $KL$. Sestrojte trojúhelník $MRN$, který má $R\in k_2, N\in K_1, K\in RM, L\in RN$ a vypočítejte velikosti jeho vnitřních úhlů.


Tuto úlohu by měl učitel rozhodně využít k tomu, aby dal šanci studentům ověřit si svou schopnost rozumět textu a připravit si podle něj náčrt situace jako podklad pro řešení. Má-li v hodině dost času, může dát studentům dvojnásobek až trojnásobek času, který na nakreslení náčrtu potřeboval sám, a během jejich práce může procházet mezi lavicemi a eventuálně odměňovat přidělením bodů či malých jedniček úspěšné řešitele. Po uplynutí času by měl nakreslit náčrt na tabuli a dát další čas na dořešení úlohy v hodině, případně zadat za domácí úkol.

doplněk doplněk

Další úlohy k procvičování

Základní poznatky

Úloha 3.5.5 [Realisticky.cz – 3.2.9]

Doplňte k nakresleným obvodovým úhlům odpovídající úhly středové.

doplněk

Úloha 3.5.6

Doplňte věty uvádějící důsledky věty o obvodovém a středovém úhlu (ostrý úhel, tupý úhel, přímý…).

  1. Obvodový úhel příslušný k menšímu oblouku je …
  2. Obvodový úhel příslušný k většímu oblouku je …
  3. Obvodový úhel příslušný k půlkružnici je …

Úloha 3.5.7 [Realisticky.cz – 3.2.9]

V tětivovém čtyřúhelníku $ABCD$, platí $\alpha = 52^\circ, \beta = 96^\circ$. Určete zbývající vnitřní úhly.


Úhly mají velikost $128^\circ, 84^\circ$

Typové příklady standardní náročnosti:

Úloha 3.5.8

Nakreslete trojúhelníky, jejichž vrcholy tvoří body, které na ciferníku znázorňují:

  1. $3, 6, 10$
  2. $4, 5, 12$

Určete velikosti vnitřních úhlů těchto trojúhelníků.


  1. $60^\circ, 75^\circ, 45^\circ$
  2. $105^\circ, 60^\circ, 15^\circ$

Úloha 3.5.9

Dokažte, že spojnice bodů, které vyznačují na ciferníku $2$ a $5$, je kolmá na spojnici bodů $3$ a $10$.

Úloha 3.5.10

V pravidelném devítiúhelníku $ABCDEFGHI$ vypočítejte velikosti:

  1. vnitřních úhlů trojúhelníku $ABG, ACE, BEH$,
  2. úhlů sevřených dvojicemi různě dlouhých úhlopříček.

Úloha 3.5.11

Určete velikosti úhlů sevřených na ciferníku hodin spojnicí bodů $3$ a $8$ se spojnicí $12$ a $7$.


$60^\circ$

Úloha 3.5.12

Kružnice $k = (S; r)$ je rozdělena na dva oblouky tak, že obvodový úhel nad větším obloukem se rovná středovému úhlu nad menším obloukem. Jak velké jsou obvodové úhly nad oběma oblouky?


$60^\circ, 120^\circ$

Úloha 3.5.13 [Realisticky.cz – 3.2.10]

$AB$ je menší oblouk kružnice s obvodovým úhlem $65^\circ$. V bodech $A, B$ jsou sestrojeny tečny kružnice a bod $X$ je jejich průsečík. Vypočti velikost úhlu $AXB$.


doplněk
Předcházející kapitola
Následující kapitola