Řešte v R

1. $8x^2 + 3x = 0$
2. $256 - 4x^2 = 0$
3. $x^2 + 169 = 0$
4. $2x^2 + 10x - 48 = 0$

Upravte:

1. $\frac{\displaystyle x^2-5x-36}{\displaystyle x^2-81 }=$
2. $\frac{\displaystyle x^2+9x+14}{\displaystyle 3x^2+12x-63}=$

Odvoďte vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice.

Řešte v R

1. $3x^2 + x - 2 = 0$
2. $3x^2 + x + 2 = 0$
3. $x^2+ (2\sqrt{3}+1)x+3+\sqrt{3}=0$
4. $144x^2 - 120x + 25 = 0$
5. $\frac{\displaystyle x-3}{\displaystyle x+6} + \frac{\displaystyle x-10}{\displaystyle x+5} + \frac{\displaystyle 15}{\displaystyle x^2+11x+30} = \frac{\displaystyle 9-x}{\displaystyle 6+x}$
6. $1- \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}= \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x^2-x} - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x-1}$
7. $\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle x-2}+\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle x-3} - \frac{\displaystyle 7}{\displaystyle x-1}=0$

Zjednodušte výraz: $\frac{\displaystyle 6x^2-x-15}{\displaystyle 3x^2+x-10}=$

Zjednodušte výraz: $\frac{\displaystyle x^2-9xy+14y^2}{\displaystyle x^2-xy-2y^2}=$

Zjednodušení výrazu můžeme provést jedině krácením. Abychom mohli krátit, musíme čitatele i jmenovatele rozložit na součin. Dvě různé proměnné ovšem představují jistou komplikaci. Učitel toho může využít a nabídnout studentům, kteří najdou řešení v hodině (či za DÚ) třeba malou jedničku:

Řešte v R

1. $(x^2+2x-3)(x^2+2x+1)-5=0$
2. $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}\Bigl( \frac{\displaystyle 2x-1}{\displaystyle x^2}+2\Bigr) \Bigl( \frac{\displaystyle 1-2x}{\displaystyle x^2}\Bigr)=\Bigl( 3 \cdot \frac{\displaystyle 2x-1}{\displaystyle x^2}\Bigr) ^2$
3. $x^2+2x-12-2\sqrt{x^2+2x+12}=0$
4. $\sqrt{2x^2+5}- \sqrt{2x^2+5x-10}=\sqrt{2}$

První reakcí většiny studentů je v případě úlohy 2.2.7 a) roznásobení závorek. Studenti si samozřejmě brzy uvědomí, že získané rovnice čtvrtého stupně jsou nad jejich síly. Než ztrácet čas tímto nevhodným řešením, je lepší prodiskutovat možnosti postupu s celou třídou a navést je (většinou to některé z nich napadne) na použití substituce (např. v 2.2.7 a) označit $x^2+2x-3=a$, $x^2+2x+1=a+4$, v 2.2.7 b) označit $\frac{\displaystyle 2x-1}{\displaystyle x^2}=a$, $\frac{\displaystyle 1-2x}{\displaystyle x^2}=-a$.

Aniž byste řešili zadanou rovnici, sestavte kvadratickou rovnici, která má kořeny

1. o 8 menší, než jsou pětinásobky kořenů rovnice $x^2-7x+12=0$
2. rovnající se druhým mocninám kořenů rovnice $x^2+5x-12=0$

Úlohy se řeší užitím Vietových vztahů. Určitě je vhodnější pracovat s normovanými tvary rovnic, které umožňují snazší postup řešení: $x^2+px+q=0$. Pro kořeny r, s této rovnice pak platí: r + s = – p, r.s = q. Úloha 2.2.8 a) je celkem snadná, ale úloha 2.2.8 b) je pro studenty náročnější. Bude nejspíš vhodné prodiskutovat s nimi postup, protože bez drobné pomoci ji zřejmě většina z nich nezvládne.

Řešte užitím vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice:

1. Sestavte kvadratickou rovnici o kořenech, jejichž součet je -1 a jejichž převrácené hodnoty mají součet $\frac{1}{2}$
2. V rovnici $ax^2-8x+4=0$ určete $a$ tak, aby jedním kořenem bylo číslo $\frac{2}{3}$
3. V rovnici $2x^2+bx+9=0$ určete $b$ tak, aby pro kořeny $x_1$, $x_2$ platilo $x_1=2x_2$
4. V rovnici $4x^2-8x+c=0$ určete $c$ tak, aby pro kořeny $x_1$, $x_2$ platilo $x_1=x_2+1$

Součet dvou čísel je 79, součet jejich druhých mocnin je 4225. Určete tato čísla.

Určete tři po sobě jdoucí celá čísla, jejichž součet druhých mocnin je roven součtu druhých mocnin dvou po nich bezprostředně následujících celých čísel.

Dvojciferné číslo má ciferný součet 9. Vyměníme-li obě číslice, vznikne číslo, které znásobeno původním dá součin 2430. Které je to číslo?

Zvětšením strany čtverce se zvětšil jeho obsah o 10,25 %. O kolik procent se zvětšila strana čtverce?

Do stanice vzdálené 130 km vyjede osobní vlak, za 2 h po něm rychlík, který ujede za hodinu o 30 km více, takže dojede do cíle o 10 min dříve. Vypočítejte průměrné rychlosti obou vlaků.

Zjednodušte výraz: $\frac{\displaystyle 2x^2+x-10}{\displaystyle 3x-7x+2}$

Řešte v R

1. $2x^2+5x-3=0$
2. $\frac{\displaystyle 2x+1}{\displaystyle x+3}-\frac{\displaystyle x-1}{\displaystyle x^2-9} = \frac{\displaystyle x+3}{\displaystyle 3-x} - \frac{\displaystyle 4+x}{\displaystyle 3+x}$
3. $1+ \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x^2+x} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x+1}$

Řešte v R

1. $(x^2+x+1)\cdot (x^2+x+2)-12=0$
2. $(x^2+3x)^2+16(-x^2-3x)-36=0$
3. $\frac{\displaystyle x!}{\displaystyle 2!(x-2)} + \frac{\displaystyle (x+1)! }{\displaystyle 2!(x-3)!} = 16$

Sestavte kvadratickou rovnici, která má kořeny:

1. o 3 větší než jsou kořeny rovnice: $x^2-6x+8=0$
2. rovnající se druhým mocninám kořenů rovnice $x^2+2x-15=0$

aniž byste zadané rovnice řešili!

Ze dvou stanic vzdálených 600 km byly vyslány dva vlaky, které se mají potkat uprostřed trati. Pomalejší z nich vyjel o hodinu dříve rychlostí o 10 km menší než druhý vlak. Určete rychlosti obou vlaků.

Cena časopisu byla snížena o tolik procent, kolik korun stál před snížením ceny. Urči jeho původní cenu, jestliže po zlevnění stál 16 Kč.

Určete všechny hodnoty parametru a, pro které má daná rovnice jeden kořen rovný nule. Určete druhý kořen, $a \in R: 2(a-1)x^2-(2a-4)x+2a(a-3)=0$

Odvoďte vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice $ax^2+bx+c=0$