Stereometrie se zabývá vlastnostmi prostorových útvarů. Základními útvary jsou body, přímky a roviny. Přitom body jsou prvky prostoru, zatímco přímky a roviny (příp. jejich části) jsou podmnožiny prostoru.

Některé věty

• Dvěma různými body A, B je určena jediná přímka.
• Leží-li dva různé body v rovině $\rho$, pak přímka $p$ jimi určená leží také v rovině $\rho$.
• Mají-li dvě různé roviny $\rho$ a $\sigma$ společný bod A, pak mají společnou celou přímku, která tímto bodem prochází. Mimo tuto přímku nemají společné již žádné body.
• Rovina je jednoznačně určena:
Přímkou a bodem, který na ní neleží. Dvěma různými rovnoběžnými přímkami. Dvěma různoběžnými přímkami. Třemi různými body, které neleží v téže přímce.

Značení:

• Přímka $\leftrightarrow AB$ určena dvěma body A, B.
• Rovina $\leftrightarrow ABC$ určena třemi různými body A, B, C.
• Rovina $\leftrightarrow Ap$ určena bodem A a přímkou p, $A\notin p$.
• Rovina $\leftrightarrow pq$ určena dvěma přímkami p, q, $p \ne q$.

Rovnoběžnost přímek a rovin

1. Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou rovnoběžku.
2. Rovnoběžnost přímek je tranzitivní: $p||q \wedge q||r \Rightarrow p||r$
Kritérium rovnoběžnosti přímky a roviny:
3. Přímka $p$ je rovnoběžná s rovinou $\rho$, obsahuje-li rovina $\rho$ aspoň jednu přímku $p´$, která je s přímkou $p$ rovnoběžná.
4. Je-li přímka rovnoběžná s dvěma různoběžnými rovinami, je rovnoběžná i s jejich průsečnicí.
Kritérium rovnoběžnosti dvou rovin:
5. Dvě roviny $\rho$ a $\sigma$ jsou rovnoběžné, jestliže jedna z nich např. $\rho$ obsahuje dvě různoběžné přímky p, q, které jsou rovnoběžné s rovinou $\sigma$.
6. Daným bodem lze vést k dané rovině jedinou rovinu s ní rovnoběžnou
7. Rovnoběžnost rovin je tranzitivní: $\rho || \sigma \wedge \sigma || \tau \Rightarrow \rho || \tau$
8. Dvě rovnoběžné roviny protíná třetí rovina v rovnoběžných přímkách.

Metrické vlastnosti přímek a rovin

Odchylky přímek a rovin

1. Odchylka dvou různoběžných přímek – je velikost každého z ostrých nebo pravých úhlů, které přímky spolu svírají.
2. Odchylka dvou rovnoběžných přímek je 0° (0 rad).
3. Odchylka dvou mimoběžných přímek – je odchylka různoběžných přímek vedených libovolným bodem prostoru rovnoběžně s danými mimoběžkami. Odchylka dvou mimoběžných přímek nezávisí na volbě bodu, kterým vedeme rovnoběžky s danými přímkami.
4. Je-li přímka $p$ kolmá k rovině $\rho$, je jejich odchylka rovna 90°.
5. Pokud přímka $p$ není kolmá k rovině $\rho$, pak se jejich odchylka rovná odchylce této přímky $p$ od jejího pravoúhlého průmětu $p‘$ do roviny $\rho$.
6. Odchylka dvou rovin je odchylka jejich průsečnic s rovinou kolmou na obě roviny.

Pozn.: Odchylka dvou rovin je rovna odchylce jejich normál (normála roviny je každá přímka kolmá k rovině)

Kolmost přímek a rovin

1. Dvě přímky jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jejich odchylka je 90°.
2. Dvě úsečky jsou kolmé právě když leží na kolmých přímkách. (Ve stereometrii mohou být kolmými mimoběžné přímky.)
3. Přímka a rovina jsou k sobě kolmé právě tehdy, když je přímka kolmá ke všem přímkám roviny.
Kritérium kolmosti přímky a roviny:
4. Je-li přímka kolmá ke dvěma různoběžkám roviny, pak je k rovině kolmá.
5. Daným bodem lze vést k dané rovině jedinou kolmici.
6. Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou kolmou rovinu.
Kritérium kolmosti dvou rovin:
7. Dvě roviny jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jedna z nich obsahuje přímku kolmou k druhé rovině.

Vzdálenosti bodů, přímek a rovin

1. Vzdálenost bodů A, B je délka úsečky AB značíme ji $|AB|$
2. Vzdálenost bodu A od přímky p je délka úsečky $|AP|$, kde P je pata kolmice k vedené v rovině $\leftrightarrow Ap$ bodem A k přímce p. Značíme ji $|Ap|$.
3. Vzdálenost bodu A od roviny $\rho$ je vzdálenost bodu $A$ a jeho pravoúhlého průmětu $A´$ do roviny $\rho$ . Značíme ji $|A\rho|$.
4. Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek p, q je vzdálenost libovolného bodu jedné přímky od druhé přímky. Značíme ji $|pq|$.
5. Vzdálenost dvou mimoběžných přímek p, q je délka osy mimoběžek. Pozn.: Osa mimoběžek p, q je nejkratší ze všech příček mimoběžek (úseček XY, kde $X \in p$, $Y \in q$), která je zároveň kolmá k oběma mimoběžkám.
6. Vzdálenost přímky p od roviny $\rho$ s ní rovnoběžné je vzdálenost libovolného bodu přímky p od této roviny $\rho$. Značíme ji $|p\rho |$.
7. Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin $\rho$, $\sigma$ je vzdálenost libovolného bodu jedné roviny od druhé roviny. Značíme ji $|\rho\sigma|$.

Volné rovnoběžné promítání

- slouží ke grafickému znázorňování prostorových útvarů do roviny.

1. Rovina, do níž těleso promítáme, se nazývá průmětna.
2. Každá rovina, která je s průmětnou rovnoběžná, se nazývá průčelná rovina.
3. Průmětem (obrazem) bodu je bod, přímky bod nebo přímka, úsečky bod nebo úsečka.
4. Obrazem dvou rovnoběžných přímek jsou dvě rovnoběžné přímky, dva body nebo jedna přímka (zachovává se rovnoběžnost).
5. Útvary, které leží v průčelné rovině, se zobrazují ve skutečné velikosti.
6. Úsečky, které jsou kolmé k průčelné rovině, se zkracují na polovinu a nanášejí se pod úhlem 45 °.
7. Při zobrazení úseček na rovnoběžných přímkách se zachovává poměr jejich délek.

Řešení všech typů konstrukčních úloh ze stereometrie představuje pro studenty s dobrou prostorovou představivostí relativně jednoduchou, pohodovou, hravou a oblíbenou kapitolu matematiky. V každé třídě se však najde řada studentů, kterým dělá prostorová představivost potíže. Zejména s ohledem na ně by měl učitel postupovat při výkladu zvolna, používané kroky předvádět nejprve na nejjednodušším tělese (krychli), a začít od nejjednodušších situací, které budou studenti potřebovat při hledání výsledku.