lze geometricky interpretovat jako obsah plochy vymezené grafem funkce v intervalu .
Křivka je orientována kladně, tzn., že plocha leží nalevo od křivky.
Funkce udává délkovou hustotu v bodě pro křivku zadanou parametricky a , . Potom vyjadřuje hmotnost křivky a
jsou souřadnice jejího těžiště, kde a jsou tzv. statické momenty křivky vzhledem k ose , resp. , přičemž platí
Nechť nyní funkce udává délkovou hustotu v bodě pro křivku grafem funkce , . Potom platí
Funkce udává hustotu obrazce vymezeného křivkou zadanou parametricky a , . Potom vyjadřuje jeho hmotnost a
jsou souřadnice jeho těžiště, přičemž platí
Nechť nyní funkce udává hustotu obrazce vymezeného křivkou určenou grafem nezáporné spojité funkce , a osou . Potom vyjadřuje jeho hmotnost a
jsou souřadnice jeho těžiště, přičemž platí
Určete obsah plochy vymezené grafy funkcí a .
Nejdříve musíme určit průsečík obou funkcí, tj. vyřešit rovnici , tzn. že
Navíc, v intervalu platí , proto hledaný obsah vypočteme s pomocí následujícího integrálu
Určete obsah plochy ohraničené křivkami a .
Nejdříve musíme určit průsečík obou funkcí, tj.
Vzhledem k podmínce je pro nás zajímavá pouze hodnota . Potom a . Navíc, na intervalu platí , proto hledaný obsah dostaneme pomocí integrálu
Při výpočtu jsme využili následující integrál
Určete obsah oblouku cykloidy , , .
Dosazením do vzorce pro obsah plochy mezi parametricky zadanými křivkami obdržíme
Určete, v jakém poměru dělí křivka plochu kruhu .
Zadání je znázorněno na následujícím obrázku.
Z obrázku je zřejmé, že ve stejném poměru, jako dělí parabola kruh, dělí horní větev paraboly horní půlkruh . Pro výpočet budeme potřebovat souřadnice průsečíku horní větve paraboly a horního půlkruhu. Poznamenejme, že nás zajímá pouze průsečík v I. kvadrantu, což nám umožní volnější úpravy.
Průsečík má tedy souřadnice . Nyní spočítáme obsah červeně vyznačené plochy.
Z rovnice kruhu vidíme, že jde o kruh o poloměru
. Protože červená plocha má obsah
, zbytek horního půlkruhu má obsah
. Hledaný poměr je tedy
neboli
Odvoďte vzorec pro výpočet plochy elipsy s poloosami a .
Obecná rovnice zadané elipsy je tvaru
Tato rovnice zadává implicitně funkci horní a dolní půlelipsy. Příklad vyřešíme tak, že si z rovnice elipsy explicitně vyjádříme funkci horní půlelipsy a pomocí ní pak spočítáme obsah čtvrtiny elipsy, která se nachází v I. kvadrantu.
Horní půlelipsa je dána funkcí
Interval, na kterém tato funkce zadává čtvrtelipsu v I. kvadrantu je . Můžeme tedy počítat
Vzorec pro obsah elipsy s poloosami a je tedy
Určete délku grafu funkce pro .
Dosazením do vzorce dostaneme
Určete délku oblouku cykloidy , , .
Aplikací odpovídajícího vzorce obdržíme
Určete délku oblouku řetězovky .
Připomeňme, že platí
Vypočtěte délku oblouku křivky pro .
Nejdříve vypočteme a upravíme výrazy potřebné pro výpočet integrálu, tj.
Proto můžeme spočítat
přičemž jsme využili následující dva integrály
Určete objem rotačního tělesa, které vznikne rotací podgrafu funkce , , kolem osy x.
Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací podgrafu funkce , , kolem osy x.
Poněvadž funkce je sudá, můžeme spočítat poloviční objem na intervalu . Proto
neboť
Určete objem tělesa, které vznikne rotací prvního oblouku cykloidy , , , kolem osy x.
neboť platí
Najděte vzorec pro výpočet objemu komolého kužele s poloměrem podstav a výškou .
Jaký je objem „nekomolého“ kužele?
Komolý kužel lze vytvořit tak, že necháme rotovat lichoběžník s vrcholy
kolem osy .
K výpočtu ovšem potřebujeme funkční předpis přímky dané body a . Ten najdeme ve směrnicovém tvaru . Dosazením bodu do rovnice přímky ihned dostaneme, že . Pomocí této znalosti a dosazením bodu do rovnice přímky dostaneme směrnici . Úsečka, jejíž rotací vznikne plášť studovaného komolého kužele je tedy dána předpisem
Nyní použijeme známý vzorec
Umocním závorky a jednoduchou integrací polynomu obdržíme výsledek
Obyčejný kužel je speciální případ kužele komolého s nulovým poloměrem jedné podstavy. Tedy položíme-li např. , získáme vzorec pro objem „obyčejného“ kužele ve tvaru
Určete obsah pláště tělesa, které vznikne rotací podgrafu funkce , , kolem osy x.
Oba oblouky cykloidy jsou stejné, můžeme se omezit pouze na interval , proto
Při výpočtu jsme využili následující výpočet primitivní funkce
Navíc přímým výpočtem ověříme, že
Položme , potom
Určete obsah pláště tělesa, které vznikne rotací podgrafu funkce , , kolem osy x.
Určete obsah pláště tělesa, které vznikne rotací kardioidy (srdcovky) , , , kolem osy x.
Určete obsah pláště tělesa, které vznikne rotací prvního oblouku cykoidy , , , kolem osy x.
Vypočtěte souřadnice těžiště homogenní půlkružnice , .
Podle příslušných vzorců obdržíme
Proto souřadnice těžiště jsou
Vypočtěte hmotnost a souřadnice těžiště křivky , , , , kde délková hustota v bodě v bodě je přímo úměrná –ové souřadnici bodu.
Podle příslušných vzorců obdržíme
kde jsme využili následující primitivní funkce
Dále platí
Proto těžiště má souřadnice
Vypočtěte souřadnice těžiště trojúhelníku s vrcholy , a .
Souřadnice těžiště tedy jsou
Vypočtěte hmotnost a souřadnice těžiště rovinné homogenní plochy omezené křivkou , , a osou .
kde jsme využili
Proto těžiště souřadnice jsou dány
Vypočtěte souřadnice těžiště rovinného obrazce ohraničeného křivkou danou předpisem a osou .
Těžiště má tedy souřadnice
Vypočtěte souřadnice těžiště rovinného obrazce ohraničeného cykloidou , , a osou .
k čemuž jsme v posledním integrálu využili
Proto souřadnice těžiště jsou dány
Technické řešení této výukové pomůcky je spolufinancováno Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.