Přechod na menu, Přechod na obsah, Přechod na patičku

Sbírka řešených příkladů z matematické analýzy I
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity
Mgr. Petr Zemánek, Ph.D., Mgr. Petr Hasil, Ph.D.

Ovládání příkladů

Rozbalit zadání Rozbalit řešení Rozbalit vše

Zpět nahoru

II. 4. Určitý a nevlastní integrál

nahoru

Určitý integrál

Věta 32 (Newtonova–Leibnizova formule)

Nechť $f$ je integrovatelná funkce na intervalu $[a,b]$ a nechť $F$ je její primitivní funkce. Pak platí, že

$\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a).$

Základní vzorce pro integrování $(k\in\mathbb{R})$ :

$\displaystyle\int\limits_a^b \left(f(x)\pm g(x)\right)\,\mathrm{d}x$	$=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\pm \displaystyle\int\limits_a^b g(x)\,\mathrm{d}x,$
$\hspace{11mm} \displaystyle\int\limits_a^b k\cdot f(x)\,\mathrm{d}x$	$=k\cdot\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\,\mathrm{d}x,$
$\hspace{16mm} \displaystyle\int\limits_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$	$=\displaystyle\int\limits_a^c f(x)\,\mathrm{d}x+\displaystyle\int\limits_c^b f(x)\,\mathrm{d}x.$

Věta 33 (Metoda per-partes pro určitý integrál)

Nechť funkce $u$ a $v$ mají na intervalu $[a,b]$ derivace $u'$ a $v'$ , které jsou na tomto intervalu integrovatelné. Pak platí

$\displaystyle\int\limits_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x=\left[u(x)\,v(x)\right]_a^b-\displaystyle\int\limits_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x.$

Věta 34 (Substituční metoda pro určitý integrál)

Nechť funkce $f(x)$ je spojitá na intervalu $[a,b]$ . Nechť funkce $\varphi$ má derivaci $\varphi'$ na intervalu $[\alpha,\beta]$ , která je na tomto intervalu integrovatelná. Dále nechť platí $a\leq\varphi\leq b$ pro $x\in[\alpha,\beta]$ (tzn., že funkce $\varphi(x)$ zobrazuje interval $[\alpha,\beta]$ do intervalu $[a,b]$ ). Potom platí (přesněji „z existence integrálu nalevo plyne existence integrálu napravo a jejich rovnost“)

$\displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} f\left[\varphi(x)\right]\varphi'(x)\,\mathrm{d}x= \displaystyle\int\limits_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(t)\,\mathrm{d}t.$

nahoru

Nevlastní integrál

Definice 35

Určitý integrál $\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x$ se nazývá nevlastní pokud alespoň jedno z čísel $a,b$ je rovno $\pm\infty$ , nebo je funkce $f$ neomezená na uzavřeném intervalu $[a,b]$ (tedy alespoň v jednom bodě intervalu $[a,b]$ má funkce $f$ singulární bod – nemusí jít nutně o krajní bod $a$ nebo $b$ , ale singulární bod může ležet i uvnitř intervalu $[a,b]$ ).

Definice 36

Nechť existuje $\lim_{c\to+\infty}F(c)=I$ , $I\in\mathbb{R}$ . Pak řekneme, že nevlastní integrál $\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$ konverguje a jeho hodnota je $I$ . Tedy

$\displaystyle\int\limits_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=\lim\limits_{c\to+\infty}\displaystyle\int\limits_a^cf(x)\,\mathrm{d}x=\lim\limits_{c\to+\infty}F(c),$

kde $F(c):=\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x$ . V opačném případě, tj. když $\lim_{c\to+\infty}F(c)$ je nevlastní nebo neexistuje, řekneme, že nevlastní integrál $\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$ diverguje.

Příklad č. 405» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_{1}^{2}x^2 \, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\displaystyle\int\limits_{1}^{2}x^2 \, \mathrm{d}x=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]^{2}_{1}=\dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3}.$

Příklad č. 406» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_{0}^{1}x\,(x^2-1)^3 \, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\displaystyle\int\limits_{0}^{1}x\,(x^2-1)^3 \, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t=x^2-1\\ \mathrm{d} t=2x\,\mathrm{d} x\\ 0\rightsquigarrow-1\\ 1\rightsquigarrow0 \end{matrix}\right\bracevert =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{-1}^{0}t^3\,\mathrm{d} t=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{t^4}{4}\right]_{-1}^{0}=\dfrac{1}{2}\left(0-\dfrac{1}{4}\right)=\\ \hspace*{54mm}= -\dfrac{1}{8}.$

Příklad č. 407» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{tg}^2 x\, \mathrm{d} x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{tg}^2 x\, \mathrm{d} x = \displaystyle\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \,\mathrm{d} x \left\bracevert\begin{matrix} t = \operatorname{tg} x \\ \mathrm{d} t = \dfrac{1}{\cos^2 x} \,\mathrm{d} x \vspace{2mm} \\ \sin x = \dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}} \vspace{2mm} \\ \dfrac{\pi}{3} \rightsquigarrow \sqrt{3} \\ \dfrac{\pi}{6} \rightsquigarrow \dfrac{\sqrt{3}}{3} \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{17mm} = \displaystyle\int\limits_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^{\sqrt{3}} \dfrac{t^2}{1+t^2} \,\mathrm{d} t = \displaystyle\int\limits_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^{\sqrt{3}} 1 \,\mathrm{d} t - \displaystyle\int\limits_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^{\sqrt{3}} \dfrac{1}{1+t^2} \,\mathrm{d} t =$
	$\hspace{17mm} = [t - \operatorname{arctg} t]_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^{\sqrt{3}} = \dfrac{2}{3}\sqrt{3} - \dfrac{\pi}{6}.$

Příklad č. 408» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_0^1 \left( \dfrac{\operatorname{e}^x}{\operatorname{e}^{2x}+3} + \dfrac{1}{\cos^2 x} \right) \mathrm{d} x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Využijeme aditivity integrálu a pro přehlednost zadaný integrál rozdělíme na dvě části.

$I_1$	$= \displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{\operatorname{e}^x}{\operatorname{e}^{2x}+3} \,\mathrm{d} x \left\bracevert\begin{matrix} t=\operatorname{e}^x \\ \mathrm{d} t = \operatorname{e}^x \mathrm{d} x \\ 1 \rightsquigarrow \operatorname{e} \\ 0 \rightsquigarrow 1 \end{matrix}\right\bracevert =$
	$= \displaystyle\int\limits_1^{\operatorname{e}} \dfrac{1}{t^2+3} \,\mathrm{d} t = \dfrac{1}{3} \displaystyle\int\limits_1^{\operatorname{e}} \dfrac{1}{\left(\dfrac{t}{\sqrt{3}}\right)^2 + 1} \,\mathrm{d} t \left\bracevert\begin{matrix} s=\dfrac{t}{\sqrt{3}} \vspace{2mm} \\ \mathrm{d} s = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \,\mathrm{d} t \vspace{2mm} \\ \operatorname{e} \rightsquigarrow \dfrac{\operatorname{e}}{\sqrt{3}} \vspace{2mm}\\ 1 \rightsquigarrow \dfrac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix}\right\bracevert =$
	$= \dfrac{\sqrt{3}}{3} \displaystyle\int\limits_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{\operatorname{e}}{\sqrt{3}}} \dfrac{1}{s^2 + 1} \,\mathrm{d} s = \dfrac{\sqrt{3}}{3} [\operatorname{arctg} s]_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{\operatorname{e}}{\sqrt{3}}} =$
	$= \dfrac{\sqrt{3}}{3} \left( \operatorname{arctg}\dfrac{\operatorname{e}\sqrt{3}}{3} - \dfrac{\pi}{6} \right),$
$I_2$	$= \displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{1}{\cos^2 x} \,\mathrm{d} x =[\operatorname{tg} x]_0^1 = \operatorname{tg} 1.$

Celkem tedy

$\displaystyle\int\limits_0^1 \left( \dfrac{\operatorname{e}^x}{\operatorname{e}^{2x}+3} + \dfrac{1}{\cos^2 x} \right) \mathrm{d} x = I_1+I_2 = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \left( \operatorname{arctg}\dfrac{\operatorname{e}\sqrt{3}}{3} - \dfrac{\pi}{6} \right) + \operatorname{tg} 1.$

Příklad č. 409» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_a^b \operatorname{sgn} x\, \mathrm{d} x, \quad a, b \in \mathbb{R}, a<0, b>0.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\displaystyle\int\limits_a^b \operatorname{sgn} x \,\mathrm{d} x = \displaystyle\int\limits_a^0 (-1) \,\mathrm{d} x + \displaystyle\int\limits_0^b 1 \,\mathrm{d} x = [-x]_a^0 + [x]_0^b = a+b.$

Příklad č. 410» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_0^{\infty} \dfrac{1}{(x-3)^5} \,\mathrm{d} x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int\limits_0^{\infty} \dfrac{1}{(x-3)^5} \,\mathrm{d} x \left\bracevert\begin{matrix} t = x-3 \\ \mathrm{d} t = \mathrm{d} x \\ \infty \rightsquigarrow \infty \\ 0 \rightsquigarrow -3 \end{matrix}\right\bracevert = \displaystyle\int\limits_{-3}^{\infty} \dfrac{1}{t^5} \,\mathrm{d} t = -\dfrac{1}{4} [t^{-4}]_{-3}^{\infty} =$

	$\hspace{5mm} = -\dfrac{1}{4} \left(\lim\limits_{a\to\infty}a^{-4} - (-3)^{-4}\right) = -\dfrac{1}{4} \left(0 - \dfrac{1}{3^4}\right) = \dfrac{1}{324}.$

Příklad č. 411» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_0^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{x+2}} \,\mathrm{d} x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int\limits_0^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{x+2}} \,\mathrm{d} x \left\bracevert\begin{matrix} t = x+2 \\ \mathrm{d} t = \mathrm{d} x \\ \infty \rightsquigarrow \infty \\ 0 \rightsquigarrow 2 \end{matrix}\right\bracevert = \displaystyle\int\limits_2^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{t}} \,\mathrm{d} t = 2 [\sqrt{t}]_2^{\infty} =$

	$\hspace{5mm} = 2 \left(\lim\limits_{a\to\infty}\sqrt{a} - \sqrt{2}\right) = 2(\infty-\sqrt{2}) = \infty.$

Příklad č. 412» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_1^{\infty} \dfrac{\operatorname{e}^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \,\mathrm{d} x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int\limits_1^{\infty} \dfrac{\operatorname{e}^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \,\mathrm{d} x \left\bracevert\begin{matrix} t=\sqrt{x} \\ \mathrm{d} t = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \,\mathrm{d} x \\ \infty \rightsquigarrow \infty \\ 1 \rightsquigarrow 1 \end{matrix}\right\bracevert = 2 \displaystyle\int\limits_1^{\infty} \operatorname{e}^{-t} \,\mathrm{d} t = 2 [-\operatorname{e}^{-t}]_1^{\infty} =$

	$\hspace{5mm} = -2 \left( \lim\limits_{t\to\infty}\operatorname{e}^{-t} - e^{-1} \right) = \dfrac{2}{\operatorname{e}}.$

Příklad č. 413» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty} \dfrac{\mathrm{d}x}{x^2+1}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty} \dfrac{\mathrm{d}x}{x^2+1}=\left[\operatorname{arctg} x\right]_{0}^{\infty}= \lim_{x\to\infty}\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 0=\dfrac{\pi}{2}-0=\dfrac{\pi}{2}.$

Příklad č. 414» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_{1}^{\infty} \dfrac{\mathrm{d}x}{x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\displaystyle\int\limits_{1}^{\infty} \dfrac{\mathrm{d}x}{x}=\left[\ln x\right]_{1}^{\infty}= \lim_{x\to\infty}\ln x -\ln 1=\infty\quad\Rightarrow\text{ integrál diverguje.}$

Příklad č. 415» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty} \sin x\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty} \sin x\, \mathrm{d}x=\left[-\cos x\right]_{0}^{\infty}=$
	$\hspace{5mm}=- \lim_{x\to\infty}\cos x +\cos 0\quad\text{limita neexistuje}~\Rightarrow\text{ integrál diverguje.}$

Příklad č. 416» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{0} \operatorname{e}^x\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{0} \operatorname{e}^x\, \mathrm{d}x=\left[\operatorname{e}^{x}\right]_{-\infty}^{0}=1- \lim_{x\to-\infty}\operatorname{e}^{x} =1.$

Příklad č. 417» Zobrazit zadání «

Rozhodněte o konvergenci následujícího integrálu vzhledem k číslu $\alpha\in\mathbb{R}$

$\displaystyle\int\limits_{1}^{\infty} x^{\alpha}\,\mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Buď $\alpha=-1$ , potom

$\displaystyle\int\limits_{1}^{\infty} \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\left[\ln x\right]_{1}^{\infty}=\infty.$

Nyní uvažujme $\alpha\not =-1$ , potom

$\displaystyle\int\limits_{1}^{\infty} x^{\alpha}\,\mathrm{d}x=\left[\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\right]_{1}^{\infty}= \dfrac{1}{\alpha+1}\left( \lim_{x\to\infty}x^{\alpha+1} -1\right).$

Pro $\alpha>-1$ , tj. $\alpha+1>0$ , platí $\lim_{x\to\infty}x^{\alpha+1} =\infty$ . Dále pro $\alpha<-1$ , tj. $\alpha+1<0$ , platí $\lim_{x\to\infty}x^{\alpha+1} =0$ . To znamená, že

$\displaystyle\int\limits_{1}^{\infty} x^{\alpha}\,\mathrm{d}x= \begin{cases} \text{diverguje,} \quad &\alpha\geq -1,\\ -\dfrac{1}{\alpha+1},\quad &\alpha<-1. \end{cases}$

Příklad č. 418» Zobrazit zadání «

Rozhodněte o konvergenci následujícího integrálu vzhledem k číslu $\alpha\in\mathbb{R}$

$\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty} e^{\alpha x}\,\mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Buď $\alpha=0$ , potom

$\displaystyle\int\limits_{1}^{\infty} 1\,\mathrm{d}x=\left[ x\right]_{0}^{\infty}=\infty.$

Nyní uvažujme $\alpha\not =0$ , potom

$\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty} \operatorname{e}^{\alpha x}\,\mathrm{d}x=\left[\dfrac{1}{\alpha}\operatorname{e}^{\alpha x}\right]_{0}^{\infty}= \dfrac{1}{\alpha}\left( \lim_{x\to\infty}\operatorname{e}^{\alpha x} -1\right).$

Pro $\alpha>0$ platí $\lim \limits_{x\to\infty}\operatorname{e}^{\alpha x} =\infty$ . Dále pro $\alpha<0$ platí $\lim \limits_{x\to\infty}\operatorname{e}^{\alpha x} =0$ . To znamená, že

$\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty} \operatorname{e}^{\alpha x}\,\mathrm{d}x= \begin{cases} \text{diverguje,} \quad &\alpha\geq 0,\\ -\dfrac{1}{\alpha},\quad &\alpha<0. \end{cases}$

Příklad č. 419» Zobrazit zadání «

Rozhodněte o konvergenci následujícího integrálu vzhledem k číslu $\alpha\in\mathbb{R}$

$\displaystyle\int\limits_{\operatorname{e}}^{\infty} \dfrac{(\ln x)^\alpha}{x}\,\mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\displaystyle\int\limits_{\operatorname{e}}^{\infty} \dfrac{(\ln x)^\alpha}{x}\,\mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t=\ln x\\ \mathrm{d} t=\dfrac{1}{x}\, \mathrm{d} x\\ \infty\rightsquigarrow\infty\\ \operatorname{e}\rightsquigarrow 1 \end{matrix}\right\bracevert =\displaystyle\int\limits_{1}^{\infty}t^{\alpha}\overset{\text{Př. }(417)}{=} \begin{cases} \text{diverguje,}\quad &\alpha\geq -1,\\ -\dfrac{1}{1+\alpha},\quad &\alpha<1. \end{cases}$

Příklad č. 420» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_{1}^{\infty} \dfrac{\mathrm{d}x}{x^4+x^2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int\limits_{1}^{\infty} \dfrac{\mathrm{d}x}{x^4+x^2}=\displaystyle\int\limits_{1}^{\infty}\dfrac{\mathrm{d} x}{x^2\left(x^2+1\right)}=\displaystyle\int\limits_{1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{1+x^2}\right)\mathrm{d} x=$
	$\hspace{5mm}= \left[-\dfrac{1}{x}\right]_{1}^{\infty}-\left[\operatorname{arctg} x\right]_{1}^{\infty}=0+1-\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)=1-\dfrac{\pi}{4}.$

Příklad č. 421» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty} x^2\operatorname{e}^{-x}\,\mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty} x^2\operatorname{e}^{-x}\,\mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} u=x^2 & u'=2x\\ v=-\operatorname{e}^{-x} & v'=\operatorname{e}^{-x} \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm}= \left[-x^2\operatorname{e}^{-x}\right]_{0}^{\infty}+2\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty}x\operatorname{e}^{-x}\,\mathrm{d} x \left\bracevert\begin{matrix} u=x & u'=1\\ v=-\operatorname{e}^{-x} & v'=\operatorname{e}^{-x} \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm}= - \lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2}{\operatorname{e}^{x}} -2\left[x\operatorname{e}^{-x}\right]_{0}^{\infty}+2\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty}\operatorname{e}^{-x}\,\mathrm{d} x=$
	$\hspace{5mm}= 0-2 \lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{\operatorname{e}^{x}} -2\left[\operatorname{e}^{-x}\right]_{0}^{\infty}= 2\left( \lim_{x\to\infty}\operatorname{e}^{-x} -1\right)=2.$

Příklad č. 422» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_{1}^{\infty} \dfrac{\operatorname{arctg} x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\displaystyle\int\limits_{1}^{\infty} \dfrac{\operatorname{arctg} x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} \operatorname{arctg} x=t\\ \dfrac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d} x=\mathrm{d} t\\ \infty\rightsquigarrow\dfrac{\pi}{2} \vspace{2mm}\\ 1\rightsquigarrow\dfrac{\pi}{4} \end{matrix}\right\bracevert = \displaystyle\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}t\,\mathrm{d} t=\left[\dfrac{t^2}{2}\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}= \dfrac{\pi^2}{8}-\dfrac{\pi^2}{32}=\dfrac{3\pi^2}{32}.$

Příklad č. 423» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\mathrm{d}x}{\operatorname{e}^x+\operatorname{e}^{-x}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\mathrm{d}x}{\operatorname{e}^x+\operatorname{e}^{-x}}=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\operatorname{e}^{x}}{\operatorname{e}^{2x}+1}\,\mathrm{d} x \left\bracevert\begin{matrix} t=\operatorname{e}^{x}\\ \mathrm{d} t=\operatorname{e}^{x}\,\mathrm{d} x\\ \infty\rightsquigarrow\infty\\ -\infty\rightsquigarrow0 \end{matrix}\right\bracevert = \displaystyle\int\limits_{0}^{\infty} \dfrac{\mathrm{d} t}{t^2+1}=\left[\operatorname{arctg} t\right]_{0}^{\infty}= \\ \hspace*{21mm}=\dfrac{\pi}{2}.$

Příklad č. 424» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty} \dfrac{x^2}{x^6+1}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty} \dfrac{x^2}{x^6+1}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t=x^3\\ \mathrm{d} t=3x^2\,\mathrm{d} x\\ \infty\rightsquigarrow\infty\\ -\infty\rightsquigarrow-\infty \end{matrix}\right\bracevert =\dfrac{1}{3}\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\mathrm{d} t}{t^2+1}\,\mathrm{d} t=\dfrac{1}{3}\left[\operatorname{arctg} t\right]_{-\infty}^{\infty}= \\ \hspace*{52mm} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{\pi}{2}-\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right)=\dfrac{\pi}{3}.$

Příklad č. 425» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\dfrac{\mathrm{d}x}{x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\dfrac{\mathrm{d}x}{x}=\left[\ln x\right]_{0}^{2}=\ln 2- \lim_{x\to0}\ln x =\infty\quad\Rightarrow\text{ integrál diverguje.}$

Příklad č. 426» Zobrazit zadání «

Rozhodněte o konvergenci následujícího integrálu vzhledem k číslu $\alpha\in\mathbb{R}$

$\displaystyle\int\limits_0^1 x^{\alpha} \mathrm{d} x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Rozdělme problém na tři případy.

$\alpha \geq 0$
V tomto případě není integrál nevlastní a můžeme snadno spočítat, že

$\displaystyle\int\limits_0^1 x^{\alpha} \mathrm{d} x = \dfrac{1}{\alpha+1}.$
$\alpha=-1$
Počítejme

$\displaystyle\int\limits_0^1 x^{-1} \mathrm{d} x = [\ln x]_0^1 = \ln 1 - \lim\limits_{x\to0^+} \ln x = 0-(-\infty) = \infty.$
$\alpha<0, \alpha \neq -1$
Počítejme

$\displaystyle\int\limits_0^1 x^{\alpha} \mathrm{d} x = \left[\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\right]_0^1 =$

$\hspace{5mm}= \dfrac{1}{\alpha+1} - \dfrac{1}{\alpha+1} \lim\limits_{x\to0^+} x^{\alpha+1} =\begin{cases} \dfrac{1}{\alpha+1}, & \alpha>-1, \\ \infty, & \alpha <-1. \end{cases}$

Celkem tedy

$\displaystyle\int\limits_0^1 x^{\alpha} \mathrm{d} x = \begin{cases} \dfrac{1}{\alpha+1}, & \alpha>-1, \\ \infty, & \alpha \leq-1. \end{cases}$

Příklad č. 427» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_{-1}^1 \ln|x| \,\mathrm{d} x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int\limits_{-1}^1 \ln\|x\| \,\mathrm{d} x =\displaystyle\int\limits_{-1}^0 \ln(-x) \,\mathrm{d} x + \displaystyle\int\limits_0^1 \ln x \,\mathrm{d} x =2\displaystyle\int\limits_0^1 \ln x \,\mathrm{d} x$
	$\hspace{5mm} \left\bracevert\begin{matrix} u'=1 & u=x \\ v=\ln x & v'=\dfrac{1}{x} \end{matrix}\right\bracevert =2\left([x \ln x]_0^1 - \displaystyle\int\limits_0^1 1 \mathrm{d} x\right) =2\left([x \ln x]_0^1 - [x]_0^1\right) =$
	$\hspace{5mm} = 2\left(1 \ln 1 - \lim\limits_{a\to0}(a \ln a) - 1 + 0\right) = -2 - \lim\limits_{a\to0}(a \ln a) \left\bracevert\begin{matrix} 0\cdot\infty \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm} = -2 - \lim\limits_{a\to0}\dfrac{\ln a}{\dfrac{1}{a}} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} -2 - \lim\limits_{a\to0}(-a) = -2.$

Příklad č. 428» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_{0}^{1} \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\displaystyle\int\limits_{0}^{1} \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} 1-x^2=t\\ -2x\,\mathrm{d} x=\mathrm{d} t\\ 1\rightsquigarrow0\\ 0\rightsquigarrow1 \end{matrix}\right\bracevert =\displaystyle\int\limits_{1}^{0}\dfrac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{t}}\,\mathrm{d} t=-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{1}^{0}t^{-\frac{1}{2}}\,\mathrm{d} t=\\ \hspace*{55mm}= -\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\right]_{1}^{0}=-\left[\sqrt{t}\right]_{1}^{0}=1.$

Příklad č. 429» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_{-1}^{1} \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\displaystyle\int\limits_{-1}^{1} \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\left[\operatorname{arcsin} x\right]_{-1}^{1}=\dfrac{\pi}{2}-\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=\pi.$

Příklad č. 430» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_{0}^{2} \dfrac{x^2-x+1}{x-1}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int\limits_{0}^{2} \dfrac{x^2-x+1}{x-1}\, \mathrm{d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left(x+\dfrac{1}{x-1}\right)\,\mathrm{d} x= \\ \hspace*{5mm} =\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\left(x+\dfrac{1}{x-1}\right)\,\mathrm{d} x+\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(x+\dfrac{1}{x-1}\right)\,\mathrm{d} x=$
	$\hspace*{5mm}= \left[\dfrac{x^2}{2}+\ln \lvert x-1 \rvert \right]_{0}^{1}+\left[\dfrac{x^2}{2}+\ln \lvert x-1 \rvert \right]_{1}^{2}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim_{x\to1^{-}}\left(\dfrac{x^2}{2}+\ln \lvert x-1 \rvert \right) +0+\dfrac{4}{2}+0- \lim_{x\to1^{+}}\left(\dfrac{x^2}{2}+\ln \lvert x-1 \rvert \right) =$
	$\hspace*{5mm}= \dfrac{1}{2}+\left(-\infty\right)+2-\dfrac{1}{2}-\left(-\infty\right)\quad\Rightarrow\text{ integrál diverguje.}$

Příklad č. 431» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_{-1}^{1} \dfrac{\mathrm{d}x}{x^2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\displaystyle\int\limits_{-1}^{1} \dfrac{\mathrm{d}x}{x^2}$	$=\displaystyle\int\limits_{-1}^{0} \dfrac{\mathrm{d}x}{x^2}+\displaystyle\int\limits_{0}^{1} \dfrac{\mathrm{d}x}{x^2}=\left[-\dfrac{1}{x}\right]_{-1}^{0}+\left[-\dfrac{1}{x}\right]_{0}^{1}=$
	$= - \lim_{x\to0^-}\dfrac{1}{x} -1-1+ \lim_{x\to0^+}\dfrac{1}{x} =\infty+\infty-2$
	$\quad\Rightarrow\text{ integrál diverguje.}$

Rozdělení na dva integrály je nutné, neboť jinak

$\displaystyle\int\limits_{-1}^{1} \dfrac{\mathrm{d}x}{x^2}=\left[-\dfrac{1}{x}\right]_{-1}^{1}=-1-1=-2,$

tedy záporný výsledek pro integrál z kladné funkce, což je spor.

Příklad č. 432» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_{1}^{2} \dfrac{\mathrm{d}x}{x\ln x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\displaystyle\int\limits_{1}^{2} \dfrac{\mathrm{d}x}{x\ln x} \left\bracevert\begin{matrix} t=\ln x\\ \mathrm{d} t=\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d} x\\ 1\rightsquigarrow0\\ 2\rightsquigarrow\ln 2 \end{matrix}\right\bracevert$	$=\displaystyle\int\limits_{0}^{\ln 2}\dfrac{\mathrm{d} t}{t}=\left[\ln t\right]_{0}^{\ln 2}=$
	$= \ln\left(\ln 2\right)-\lim\limits_{t\to 0}\ln t=\ln\left(\ln 2\right)+\infty$
	$\quad\Rightarrow\text{ integrál diverguje.}$

Příklad č. 433» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_{-1}^{0} \dfrac{\operatorname{e}^{\frac{1}{x}}}{x^3}\,\mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\displaystyle\int\limits_{-1}^{0} \dfrac{\operatorname{e}^{\frac{1}{x}}}{x^3}\,\mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t=\dfrac{1}{x} \vspace{2mm}\\ \mathrm{d} t=-\dfrac{1}{x^2}\,\mathrm{d} t\\ 0\rightsquigarrow-\infty\\ -1\rightsquigarrow-1 \end{matrix}\right\bracevert =-\displaystyle\int\limits_{-1}^{-\infty} t\operatorname{e}^{t}\,\mathrm{d} t \left\bracevert\begin{matrix} u=t & u'=1\\ v=\operatorname{e}^{t} & v'=\operatorname{e}^{t} \end{matrix}\right\bracevert = \\ \hspace*{3mm}= -\left[t\operatorname{e}^{t}\right]_{-1}^{-\infty}+\displaystyle\int\limits_{-1}^{-\infty}\operatorname{e}^{t}\,\mathrm{d} t=$

$\hspace*{5mm}= -\left[t\operatorname{e}^{t}\right]_{-1}^{-\infty}+\left[\operatorname{e}^{t}\right]_{-1}^{-\infty}= -\lim\limits_{t\to-\infty}\dfrac{t}{\operatorname{e}^{-t}}-\dfrac{1}{\operatorname{e}}+\lim\limits_{t\to-\infty}\operatorname{e}^{t}-\dfrac{1}{\operatorname{e}}=-\dfrac{2}{\operatorname{e}}.$

Příklad č. 434» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_{a}^{b} \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-a^2}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int\limits_{a}^{b} \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-a^2}} \left\bracevert\begin{matrix} t=x+\sqrt{x^2-a^2}\\ \mathrm{d} t=\left(1+\dfrac{\sqrt{x^2-a^2}+x}{\sqrt{x^2-a^2}}\right)\,\mathrm{d} x\\ a\rightsquigarrow a\\ b\rightsquigarrow b+\sqrt{b^2-a^2} \end{matrix}\right\bracevert =\displaystyle\int\limits_{a}^{b+\sqrt{b^2-a^2}}\dfrac{1}{t}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace*{5mm}= \big[\ln \lvert t \rvert \big]_{a}^{b+\sqrt{b^2-a^2}}= \ln\left(b+\sqrt{b^2-a^2}\right)-\ln a=\ln\dfrac{b+\sqrt{b^2-a^2}}{a}.$

Příklad č. 435» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty} x^{2n+1}\operatorname{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x, ~n\in\mathbb{N}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty} x^{2n+1}\operatorname{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t=x^2\\ \mathrm{d} t=2x\,\mathrm{d} x\\ 0\rightsquigarrow0\\ \infty\rightsquigarrow\infty \end{matrix}\right\bracevert =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty}t^{n}\operatorname{e}^{-t}\,\mathrm{d} t \left\bracevert\begin{matrix} u=t^n & u'=nt^{n-1}\\ v=-\operatorname{e}^{-t} & v'=\operatorname{e}^{t} \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace*{5mm}= \dfrac{1}{2}\left(\left[-t^n\operatorname{e}^{-t}\right]_{0}^{\infty}+n\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty}t^{n-1}\operatorname{e}^{-t}\,\mathrm{d} t\right)=$
	$\hspace*{5mm}= \dfrac{n}{2}\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty}t^{n-1}\operatorname{e}^{-t}\,\mathrm{d} t \left\bracevert\begin{matrix} u=t^{n-1} & u'=(n-1)t^{n-2}\\ v=-\operatorname{e}^{-t} & v'=\operatorname{e}^{t} \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace*{5mm}= \dfrac{n}{2}\left(\left[-t^{n-1}\operatorname{e}^{-t}\right]_{0}^{\infty}+(n-1)\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty}t^{n-2}\operatorname{e}^{-t}\,\mathrm{d} t\right)=\cdots=$
	$\hspace*{5mm}= \dfrac{n(n-1)\cdots 2}{2}\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty}t\operatorname{e}^{-t}\,\mathrm{d} t \left\bracevert\begin{matrix} u=t & u'=1\\ v=-\operatorname{e}^{-t} & v'=\operatorname{e}^{t} \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace*{5mm}= \dfrac{n!}{2}\left(\left[-t\operatorname{e}^{-t}\right]_{0}^{\infty}+\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty}\operatorname{e}^{-t}\,\mathrm{d} t\right)= \dfrac{n!}{2}\left[-\operatorname{e}^{-t}\right]_{0}^{\infty}=\dfrac{n!}{2}\left(-0+1\right)=\dfrac{n!}{2}.$

nahoru

Tisková verze

Mgr. Petr Zemánek, Ph.D., Mgr. Petr Hasil, Ph.D. |
ÚMS, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |

| Technická spolupráce:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2012

Technické řešení této výukové pomůcky je spolufinancováno Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Nahoru

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

	$\displaystyle\int\limits_0^1 x^{\alpha} \mathrm{d} x = \left[\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\right]_0^1 =$
	$\hspace{5mm}= \dfrac{1}{\alpha+1} - \dfrac{1}{\alpha+1} \lim\limits_{x\to0^+} x^{\alpha+1} =\begin{cases} \dfrac{1}{\alpha+1}, & \alpha>-1, \\ \infty, & \alpha <-1. \end{cases}$