Sport, matematika, počítač
Fakulta sportovních studií Masarykovy univerzity
Ing. Josef Kopřiva

Kliknutím na šedou plochu pod nápisem se vrátíte zpět nahoru

C. Matematika

část C06–C10

C06 Aproximace empirické závislosti 16 funkcemi

Je-li dána empirická závislost dvou veličin řadou dvojic souřadnic x, y nebo křivkou y = f(x), na které lze tyto souřadnice stanovit, může být výhodné nahradit tyto formy dat aproximační funkcí typu

$y=f(x, a, b)$

např. funkcí y = a + b · x, nebo některou funkcí, kterou lze vhodnou transformací (linearizací) na tuto funkci převést:

$y=a+b.x^2, y=a+b/x, y=a.x^b$

apod.

Následující program zpracuje data ve formě dvojic x, y výpočtem a, b pro 16 funkcí a k tomu součinitelů nelineární korelace, pomocí nichž můžeme vybrat funkci, nejlépe aproximující vstupní data. Přirozeně nemůže dvouparametrová funkce dobře aproximovat složité průběhy, v takovém případě musíme použít aproximaci polynomem, splinem nebo jinou metodou.

Literatura

Kočí V.: Několik programů pro kalkulátor Sharp PC-1211. Elektrotechnický Obzor 75, 1985, č. 5–6, s. 301–310
Djakonov V. P.: Spravočnik po algebram i programmam na jazyke Bejsik dlja personalnych EVM. 1987, Moskva, Nauka, s. 229


DATA 1,1,2,8,3,27,4,64

CLS: DIM m(88): n = 0

za:

z = -4

READ x, y: ON ERROR GOTO v

e = x: f = y: GOTO b

a:

z = z + 5

m(z) = m(z) + x: m(z + 1) = m(z + 1) + y: m(z + 2) = m(z + 2) + x * y

m(z + 3) = m(z + 3) + x * x: m(z + 4) = m(z + 4) + y * y: RETURN

b:

GOSUB a

x = 1 / e: GOSUB a

x = e * e: GOSUB a

x = e: y = 1 / f: GOSUB a

GOSUB a

x = 1 / e: GOSUB a

x = e: y = e / f: GOSUB a

x = e * e: GOSUB a

x = LOG(e): y = LOG(f): GOSUB a

x = e: GOSUB a

GOSUB a

x = 1 / e: GOSUB a

x = e * e: GOSUB a

x = e: y = LOG(f / e): GOSUB a

x = EXP(-e): y = 1 / f: GOSUB a

x = LOG(e): y = f: GOSUB a

n = n + 1: GOTO za

v:

px = m(1) / n: py = m(2) / n

sx = SQR((m(4) – m(1) * m(1) / n) / (n – 1))

sy = SQR((m(5) – m(2) * m(2) / n) / (n – 1))

PRINT "px,py="; TAB(12); px; TAB(28); py

PRINT "sx,sy="; TAB(12); sx; TAB(28); sy

PRINT

z = -4: w = 0

c:

z = z + 5: w = w + 1: IF w > 16 THEN PRINT "KONEC": END

j = m(z + 3) – m(z) * m(z) / n

k = m(z + 4) – m(z + 1) * m(z + 1) / n

c = m(z + 2) – m(z) * m(z + 1) / n

a = (m(z + 1) – c / j * m(z)) / n

b = c / j: r = c / SQR(j * k)

ON w GOTO 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

1 PRINT "y=a+bx";: GOTO vy

2 PRINT "y=a+b/x";: GOTO vy

3 PRINT "y=a+bx^2";: GOTO vy

4 PRINT "y=1/(a+bx)";: GOTO vy

5 d = a: a = 1 / b: b = a * d: PRINT "y=a/(b+x)";: GOTO vy

6 a = 1 / a: b = a * b: PRINT "y=ax/(b+x)";: GOTO vy

7 PRINT "y=x/(a+bx)";: GOTO vy

8 PRINT "y=x/(a+bx^2)";: GOTO vy

9 a = EXP(a): PRINT "y=a*x^b";: GOTO vy

10 a = EXP(a): b = EXP(b): PRINT "y=a.b^x";: GOTO vy

11 a = EXP(a): PRINT "y=a.exp(bx)";: GOTO vy

12 a = EXP(a): PRINT "y=a.exp(b/x)";: GOTO vy

13 a = EXP(a): PRINT "y=a.exp(bx^2";: GOTO vy

14 a = EXP(a): PRINT "y=ax.exp(bx)";: GOTO vy

15 PRINT "y=1/(a+b.exp(-x))";: GOTO vy

16 PRINT "y=a+b.ln(x)";

vy:

PRINT TAB(20); "a,b,r="; TAB(30); a; TAB(45); b; TAB(60); r

GOTO c

END

Příklad:

z dat na řádku DATA dostaneme:
px,py = 2,5 25
sx,sy = 1,290994 28,22528

y=a+bx	a,b,r=	-27	20.8	.9513699
y=a+b/x	a,b,r=	58.97438	-65.2308	-.776354
y=a1bx^2	a,b,r=	-6.976744	4.263566	.9905329
y=1/(a+bx)	a,b,r=	1.054687	-.3041088	-.8304403
y=a/(b+x)	a,b,r=	-3.288297	-3.468126	-.8304403
y=ax/(b+x)	a,b,r=	-2.372121	-3.260907	.9767918
y=x/(a+bx)	a,b,r=	1.09375	-.2951389	-.8725318
y=x/(a+bx^2)	a,b,r=	.7441053	-5.17603e-02	-.7772519
y=a.x^b	a,b,r=	1	3	1
y=a.b^x	a,b,r=	.3535533	3.932615	.9801841
y=a.exp(bx)	a,b,r=	.3535533	1.369305	.9801841
y=a.exp(b/x)	a,b,r=	169.6574	-5.280461	-.9835591
y=a.exp(bx^2)	a,b,r=	1.590411	.2559397	.9305829
y=ax.exp(bx)	a,b,r=	.5000002	.9128695	.9801837
y=1/(a+b.exp(-x))	a,b,r=	-.1228715	2.921578	.9762235
y=a+b.ln(x)	a,b,r=	-7.594613	41.02462	.8737795

KONEC

Nahoru

C07 Lineární aproximace funkce
dvou nezávislých proměnných f(x, y)

Je-li závislost z = f(x, y) popsána alespoň čtyřmi trojicemi x, y, z, můžeme těmito body v prostoru proložit rovinu, jejíž rovnice je z = a₀ + a₁ · x + a₂ · y. Použijeme-li metodu nejmenších čtverců, musí být splněna podmínka

$\sum_1^n{(z-(a_0+a_1.x+a_2.y))^2}=minimum$

Umocněním, úpravami a parciální derivací podle a0, a1, a2 dostaneme charakteristické rovnice

$a_2.\sum{y^2}+a_1.\sum{xy}+a_0.\sum{y}=\sum{yz}$

$a_2.\sum{xy}+a_1.\sum{y}+a_0.\sum{x}=\sum{xz}$

$a_2.\sum{y}+a_1.\sum{x}+a_0.n=\sum{z}$

Tyto rovnice řešíme podle a₀, a₁, a₂ pomocí determinantů, což provede následující program, který připraví potřebné sumace a dovoluje i regresní výpočty.

Literatura

c/s: Slaboproudý Obzor 42, 1981, č. 1, str. 41–42.
Storm Regina: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik, Statistiche Qualitatskontrolle. VEB Fachbchverlag Leipzig, 1976, 6.vyd., str. 236–237


DATA 1,3,24,2,8,62,4,6,54,5,12,99

s:

READ x, y, z: ON ERROR GOTO v

sx = sx + x: kx = kx + x * x

sy = sy + y: ky = ky + y * y

sz = sz + z: kz = kz + z * z

xy = xy + x * y: xz = xz + x * z: yz = yz + y * z

n = n + 1: GOTO s

v:

px = sx / n: py = sy / n: pz = sz / n

LPRINT "px,py,pz="; px, py, pz

s1 = SQR((kx – sx * sx / n) / (n – 1))

s2 = SQR((ky – sy * sy / n) / (n – 1))

s3 = SQR((kz – sz * sz / n) / (n – 1))

LPRINT "sx,sy,sz="; s1, s2, s3

a = n * kx – sx * sx: d = n * xy – sx * sy

b = n * ky – sy * sy: e = n * xz – sx * sz

c = n * kz – sz * sz: f = n * yz – sy * sz

a2 = (a * f – d * e) / (a * b – d * d)

a1 = (e – a2 * d) / a

a0 = (sz – a1 * sx – a2 * sy) / n

LPRINT "a0,a1,a2="; a0, a1, a2

r1 = SQR(d * d / (a * b)): r2 = SQR(e * e / (a * c))

r3 = SQR(f * f / (b * c))

LPRINT "rxy,rxz,ryz="; r1, r2, r3

r:

INPUT "x,y="; x, y: LPRINT "x,y="; x, y

z = a0 + a1 * x + a2 * y

LPRINT "z="; z

GOTO r

LPRINT

END

Příklad:

z dat v řádku DATA dostaneme:
px,py,pz = 3 7.25 59.75
sx,sy,sz = 1.825742 3.774917 30.85855
a0,a1,a2 = 0 3 7
rxy,rxz,xyz =.7738413.8401411.9936606
x,y=

Nahoru

C08 Aproximace vývojové křivky sportovního výkonu

Vývoj biologických objektů nejlépe popisuje Robertsonův zákon růstu, který je popsán vzorcem

$y=\frac{y_{max}}{1+a.e^{-b.x}}$

Křivka, zobrazující tento zákon, má tvar podle obr. C08b

Obr. C08a: Křivka popisující Robertsonův zákon růstu

$Graf funkce\hspace{5 mm}y=\frac{100}{1+e^{x}}$

Obr. C08b: Křivka popisující Robertsonův zákon růstu

$Graf funkce\hspace{5 mm}y=\frac{616}{1+69,73.e^{-0,337466x}}$

Ve sportu musíme rozlišovat vývoj, v němž výsledky

rostou (atletické skoky, hody a vrhy, vzpírání, u lokomočních sportů hodinovky a časově omezené výkony),

klesají jako časy ve všech lokomočních sportech (běhy, chůze, cyklistika, rychlobruslení, plavání, veslování a vodácké sporty)

U první skupiny můžeme tabulku věk-výkon aproximovat uvedenou funkcí, kdy a, b vypočítáme prvním programem, u druhé skupiny musíme tabulku věk-čas přepočítat na věk-rychlost, provést aproximaci druhým programem, který vypočítá a, b pro závislost

$t=t_{max}.(1+a.e^{-b.věk})$

Oba programy pak dovolují regresní výpočty pro zvolený věk.

Literatura

Technický průvodce Matematika, Praha, ČMT, 1944, str. 318
Návod k počítači SHARP PC-1500, str. 47

Program 1


DATA v₁,L₁,v₂,L₂,… v_n,L_n

INPUT "Lmax=";k

a:

READ v,L: ON ERROR GOTO b

y=log(k/L-1)

e=e+v

f=f+v*v

g=g+y

h=h+y*y: n=n+1

GOTO a

b:

b=n*f-e*e

a=(f*g-e*h)/b

b=(n*h-e*g)/b

a=EXP(a): b=-b

PRINT "a,b=";a,b

c:

INPUT "vek";x

y=k/(1+a*exp(-b*x))

PRINT "výkon=";y

GOTO c: END

Příklad:

S.Bubka se vyvíjel ke světovému rekordu ve skoku o tyči podle této tabulky:

věk	výkon
12	270
14	360
16	480
18	540
20	572
22	600
24	603
26	600
28	612
30	615
20	569
22	591
24	603
26	609
28	612
30	614

Zvolíme-li H_max = 616 cm, dostaneme programem aproximační funkci

H = 616 / (1 + 69.7286*exp(-0.3374459617))

a regresními výpočty tabulku:

věk	výkon
12	278
14	380
16	460
18	530

Samozřejmě nemůže tato aproximace brát v úvahu nepravidelnosti vývoje, způsobené onemocněním či zraněním, olympijskými hrami nebo mistrovstvím světa apod.

Program 2


DATA v₁,t₁,v₂,t₂,….v_n,t_n

INPUT "trať,nejl.čas=";L,k
         
w=L/k
                              
a:
                                 
READ v,t: ON ERROR GOTO b
          
y=log(w*t/L-1)
                     
e=e+v
                              
f=f+v*v
                            
g=g+y
                              
h=h+y*y: n=n+1
                     
GOTO a

b:
                                 
b=n*f-e*e
                          
a=(f*g-e*h)/b
                      
b=(n*h-e*g)/b
                            
a=exp(a): b=-b
                           
PRINT "a,b=";a,b
                         
c:
                                       
INPUT "věk=";x
                           
t=k*(1+a*exp(-b*x))
                      
PRINT "čas=";t
                           
GOTO c
                                   
END

Příklad:

britský sprinter L.Christie se
vyvíjel podle této tabulky:

věk	čas(100m)	rychlost(m/s)
17	10,9	9.174
20	10.73	9.319
22	10.5	9.524
24	10.44	9.5765
26	10.04	9.96
28	9.97	10.03
30	10.02	9.98
33	9.87	10.13

Z těchto dat dá program pro t_max=9.85
t= 9.85.(1+9.221385.exp(-0.232872))
a tabulku regresních časů:

věk	čas
17	11.58
20	10.71
22	10.39
24	10.19
26	10.06
28	9.98
30	9.93
33	9.89

Regresní výpočty neuvažují nepravidelnost vývoje a dávají hladkou křivku.

Nahoru

C09 Graf funkce

Známe-li rovnici nějaké křivky y = f(x), můžeme potřebovat pro názornost nakreslit průběh této funkce v určitém intervalu hodnot nezávislé proměnné x. Následující program provede tuto úlohu, vložíme-li za label g rovnici funkce, po spuštění pak vložíme rozsah x, program stanoví rozsah y, který můžeme změnit a nakonec se objeví průběh funkce s popisem rozsahů.


INPUT "xmin,xmax="; x1, x2

y1 = 1000000!: y2 = -1000000!

FOR x = x1 TO x2 STEP (x2 – x1) / 100

GOSUB g: IF y < y1 THEN y1 = y

IF y > y2 THEN y2 = y

NEXT x

PRINT "ymin,ymax="; y1, y2

INPUT "zmena ymin,ymax? a/n"; a$: IF a$ <> "a" THEN GOTO b

INPUT "ymin,ymax="; y1, y2

b:

SCREEN 10: CLS: KEY OFF

PRINT "xmin,xmax="; x1, x2

PRINT "ymin,ymax="; y1, y2

x = x1 / (x1 – x2) * 640

IF x1 * x2 <= 0 THEN LINE (x, 50)-(x, 320)

y = 320 – y1 / (y1 – y2) * 260

IF y1 * y2 <= 0 THEN LINE (o, y)-(640, y)

x = x1: GOSUB g: PSET (x, 320 – (y – y1) / (y2 – y1) * 260)

FOR x = x1 TO x2 STEP (x2 – x1) / 100

GOSUB g

LINE -((x – x1) / (x2 – x1) * 640, 320 – (y – y1) / (y2 – y1) * 260), 12

NEXT x

END

g:

y = SQR(x) / (.0042095 * x +.562045)

RETURN

Příklad

funkci y= sqr(x)/(.042095*x + 0.562045), připsanou za label g zobrazí program grafem, který následuje.

Obr. C09: Graf zobrazený programem

$Graf funkce\hspace{5 mm}y=\frac{\sqrt{x}}{0,042095.x+0,562045}$

Nahoru

C10 Graf funkce a její derivace

Máme-li dánu funkci analytickým výrazem y = f(x) a má-li derivace této funkce význam – derivace dráhy dle času je rychlost, derivace rychlosti podle času je zrychlení – může být zajímavý graf funkce a její derivace. Takový graf můžeme získat následujícím programem, který musíme doplnit za labelem g podprogramem, definujícím funkci ve formě y = f(x).

Program vyžádá rozsah nezávislé proměnné x, zjistí rozsah závislé proměnné y a zeptá se, zda tento rozsah chceme změnit. Souhlas se změnou vyjádříme písmenem a, vložíme jiné meze y a program zobrazí průběh funkce a její derivace, která se počítá numericky vztahem

$y'=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}$

bod za bodem. Funkce a její derivace jsou odlišeny barevně, funkce je nakreslena červenou čarou, derivace modrou.


INPUT "xmin,xmax="; x1, x2

y1 = 1000000!: y2 = -1000000!

FOR x = x1 TO x2 STEP (x2 – x1) / 100

GOSUB g: IF y < y1 THEN y1 = y

IF y > y2 THEN y2 = y

NEXT x

PRINT "ymin,ymax="; y1, y2

INPUT "zmena ymin,ymax? a/n"; a$

IF a$ <> "a" THEN GOTO a

INPUT "ymin,ymax="; y1, y2

a:

SCREEN 9: CLS: KEY OFF

PRINT "xmin,xmax="; x1, x2

PRINT "ymin,ymax="; y1, y2

PRINT "funkce cervena,derivace modra"

x = x1 / (x1 – x2) * 640

IF x1 * x2 <= 0 THEN LINE (x, 50)-(x, 320)

y = 320 – y1 / (y1 – y2) * 260

IF y1 * y2 <= 0 THEN LINE (0, y)-(640, y)

x = x1: GOSUB g: PSET (x, 320 – (y – y1) / (y2 – y1) * 260), 4

d = (x2 – x1) / 300: x0 = x: y0 = y

FOR x = x1 + d TO x2 STEP d: GOSUB g

CIRCLE ((x – x1) / (x2 – x1) * 640, 320 – (y – y1) / (y2 – y1) * 260), 2, 12

de = (y – y0) / d

CIRCLE ((x – x1) / (x2 – x1) * 640, 320 – (de – y1) / (y2 – y1) * 260), 2, 9

y0 = y: NEXT x

END

g:

y = EXP(-x * x)

RETURN

Příklad:

zapíšeme-li za label g funkci y = exp(-x*x), dostaneme pro rozsah
x od -3 do 3 následující graf.

Obr. C10: Graf zobrazený programem

$Graf funkce\hspace{5 mm}y=e^{-x^2}, y'=-2x.e^{-x^2}$

autor: Ing. Josef Kopřiva, recenzent: Mgr. Martin Sebera, Ph.D. |
Fakulta sportovních studií, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |

| Technická spolupráce:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2011

Technické řešení této výukové pomůcky je spolufinancováno Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Nahoru

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

věk	výkon
12	270
14	360
16	480
18	540
20	572
22	600
24	603
26	600
28	612
30	615
20	569
22	591
24	603
26	609
28	612
30	614

věk	výkon
12	270
14	360
16	480
18	540
20	572
22	600
24	603
26	600
28	612
30	615
20	569
22	591
24	603
26	609
28	612
30	614

C. Matematika

C06 Aproximace empirické závislosti 16 funkcemi

Literatura

C07 Lineární aproximace funkcedvou nezávislých proměnných f(x, y)

Literatura

C08 Aproximace vývojové křivky sportovního výkonu

Literatura

Program 1

Program 2

C09 Graf funkce

C10 Graf funkce a její derivace

C07 Lineární aproximace funkce
dvou nezávislých proměnných f(x, y)

věk	výkon
12	270
14	360
16	480
18	540
20	572
22	600
24	603
26	600
28	612
30	615
20	569
22	591
24	603
26	609
28	612
30	614