Sport, matematika, počítač
Fakulta sportovních studií Masarykovy univerzity
Ing. Josef Kopřiva

Kliknutím na šedou plochu pod nápisem se vrátíte zpět nahoru

C. Matematika

část C11–C16

C11 Funkce hustoty a Abbottova křivka empirické funkce

Má-li empirická funkce y = f(x) omezený rozsah funkčních hodnot, takže y_min < y < y_max, je možné sestrojit funkci hustoty hodnot y a Abbottovu křivku této funkce následujícím způsobem:

rozdělíme interval y na n částí o šířce d = (y_max - y_min) / n
osu nezávislé proměnné x nebo t rozdělíme na dostatečně malé intervaly dx (dt)
spočítáme, v kolíka intervalech dx nebo dt je hodnota y v určitém intervalu y. Četnosti v těchto intervalech tvoří funkci hustoty. Pozn.: tzv. úrovňové čítače mohou stanovit tyto četnosti během měření.
postupným sčítáním četností od nejvyšší úrovně dolů dostaneme souřadnice Abbottovy křivky.

Všechny tyto operace a grafické zobrazení výsledků provede následující program.

Literatura

Abbott F. J. – Firestone F. A.: Specifying surface quality. Mechanical Engineering 55, 1933, str. 569–572
Technisches Messen 1980, č. 10, str. 361–368


DATA 5,5,6,8,10,14,18,23,28,32,35,37,39,40,40,38,37,37,38,39,41

DATA 44,48,51,54,55,55,51,46,38,31,28,26,25,24,20,13,10

ma = 0: mi = 100000!: CLS

a:

READ y: ON ERROR GOTO v

IF y > ma THEN LET ma = y

IF y < mi THEN LET mi = y

n = n + 1: GOTO a

v:

INPUT "počet úrovní "; m

RESTORE: DIM u(m), s(m): d = (ma – mi) / m

FOR i = 1 TO n

READ y: a = (y – mi) / d

u(a) = u(a) + 1: NEXT i

FOR i = m – 1 TO 0 STEP -1

s = s + u(i): s(i) = s

LPRINT i, u(i), s(i): NEXT i

SCREEN 10: CLS: KEY OFF

LINE (20, 20)-(20, 300)

LINE (350, 20)-(350, 300)

LINE (500, 20)-(500, 300)

LINE (20, 300)-(640, 300)

RESTORE

dx = 330 / n: du = 15: su = 2.5

my = 200 / (ma – mi): mh = my * ma / (m + 1)

FOR i = 0 TO n – 1

READ y: CIRCLE (20 + i * dx, 300 – (y – mi) * my), 2

NEXT i:

FOR i = 1 TO m

CIRCLE (350 + u(i) * du, 300 – i * mh), 2, 9

CIRCLE (500 + s(i) * su, 300 – i * mh), 2, 12

NEXT i

END

Příklad:

z dat v prvních dvou řádcích programu dostaneme:

úroveň	počet	součet
9	3	3
8	2	5
7	8	13
6	4	17
5	4	21
4	4	25
3	2	27
2	2	29
1	3	32
0	3	35

a následující graf.

Obr. C11: Graf zobrazený programem

Nahoru

C12 Harmonická analýza empirické křivky

V cyklických sportech existuje řada veličin (síla, rychlost, rychlení atd.), jejichž časový průběh je téměř periodický a lze jej změřit. Získaná křivka je téměř periodická, protože se opakuje s periodou T a její tvar se opakuje s pravidelností, úměrnou výkonnosti sportovce. Proto je cennou informací o sportovní technice, a výsledky analýzy takové křivky dovolují srovnávat techniku sportovců exaktním způsobem.

Analýzou periodických křivek se zabýval francouzský matematik Fourier (1786–1830), který zjistil, že libovolný periodický průběh lze popsat trigonometrickou řadou

$y=a_0+a_1.sin({\omega}t+f_1)+a_2.sin({\omega}t+f_2)+…+a_n.sin(n{\omega}t+f_n)$

kde

a₀ stálá složka y (aritmetický průměr všech hodnot y)

ω = 2p/T základní úhlová rychlost

T trvání jedné periody

a₁ … a_namplitudy jednotlivých harmonických složek

f₁ … f_n fázové úhly jednotlivých harmonických složek

Tzv. Fourierova analýza je vlastně výpočet amplitud a fázových úhlů ze souřadnic y, získaných vzorkováním křivky v dostatečně malých pravidelných odstupech. Tento výpočet provedeme následujícím programem, který fázové úhly normuje tak, aby f₁ = 0.

Nakonec program nakreslí vektorový diagram harmonických složek který dovoluje snadnější srovnávání jednotlivých sportovců. Diagram můžeme vytisknout klávesou PrtSc.


DATA.25,1.4,2,3,3.3,3,2.4,2.1,2.2,2.8,3.4,4.05,3.8,3.3

DATA 2.7,2.6,2.65,2.85,3,2.6,2,1.5,1.2,1.15

INPUT "jméno,datum,disciplina "; n$, d$, c$: LPRINT n$, d$, c$: LPRINT

DIM y(50), c(25), f(25): s = 0: n = 1: pi = 3.14159265#

a:

READ y(n): ON ERROR GOTO b

s = s + y(n): n = n + 1: GOTO a

b:

n = n – 1: c0 = s / n

LPRINT "c0="; c0: LPRINT

d = 2 * pi / n: h = 0

c:

a = 0: b = 0: e = 0: h = h + 1

FOR i = 1 TO n

a = a + y(i) * COS(h * e)

b = b + y(i) * SIN(h * e)

e = e + d: NEXT i

v = SQR(a * a + b * b)

IF b = 0 THEN LET u = pi / 2 * SGN(a): GOTO d

u = ATN(a / b) – pi * (b < 0)

d:

c(h) = 2 * v / n: f(h) = u

LPRINT "c,f"; h; "="; c(h), f(h) * 180 / pi

IF h < n / 2 – 1 THEN GOTO c

LPRINT: LPRINT "redukce fází na f(1)=0"

FOR h = 2 TO n / 2

f(h) = f(h) – h * f(1)

e:

IF f(h) < 0 THEN f(h) = f(h) + 2 * pi: GOTO e

f(h) = f(h) – 2 * pi * INT(f(h) / (2 * pi))

LPRINT "f("; h; ")="; f(h) * 180 / pi

NEXT h: f(1) = 0: LPRINT

LPRINT "modrá = 1"

LPRINT "zelená = 2"

LPRINT "tyrkys = 3"

LPRINT "červená = 4"

LPRINT "fialová = 5"

LPRINT "hnědá = 6"

LPRINT "bílá = 7"

LPRINT "šedá = 8"

SCREEN 9: CLS

FOR h = 1 TO n / 2

LINE (100, 160)-(100 + c(h) * 400 * COS(f(h)), 160 – c(h) * 400 * SIN(f(h))), h

NEXT h

END

Příklad:

z dat v prvním řádku programu dostaneme:

c0= 2.510417

c,f 1 =.8451707 -78.57519
c,f 2 =.2911244 -22.51807
c,f 3 =.627077 -55.60263
c,f 4 =.257225 159.8265
c,f 5 = 7.802891E-02 167.1409
c,f 6 = 6.833781E-02 142.4315
c,f 7 = 2.559826E-02 32.39182
c,f 8 = 3.333294E-02 90.00003
c,f 9 = 0.0187169 75.38255
c,f 10= 1.777586E-02 -83.84866
c,f 11= 2.980548E-02 48.56192

redukce fází pro f(1)=0
f(2) = 134.6323
f(3) = 180.1229
f(4) = 114.1272
f(5) = 200.0169
f(6) = 253.8827
f(7) = 222.4181
f(8) = 358.6016
f(9) = 62.55928
f(10)= 341.9032
f(11)= 192.889

Nahoru

C13 Rychlá Fourierova tranformace (FFT)

V předchozí kapitole jsme popsali harmonickou analýzu křivky, dané libovolným počtem vzorků pro jednu periodu. Pro velký počet vzorků by trvala harmonická analýza dlouho, a proto byla objevena tzv. rychlá Fourierova transformace (FFT – Fast Fourier Transform). Na rozdíl od předchozí analýzy vyžaduje, aby počet vzorků byl 2ⁿ, kde n je celé číslo, tedy 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64 atd. Splňuje-li počet vzorků tuto podmínku, je možno použít rychlou Fourierovu transformaci k výpočtu harmonických složek původní periodické funkce. Existují dvě možnosti:

A. vědecké kalkulátory Hewlett Packard HP-48, HP-49 mají FFT vestavěnu (MTH – NEXT). Data vepíšeme do tabulkového procesoru MATRIX a stiskneme FFT. Dostaneme výsledky v komplexních číslech, které snadno převedeme do POLAR, případně změníme radiány na stupně (RAD).
B. tabulkový procesor Microsoft EXCEL obsahuje FFT v oddíle NÁSTROJE. Použití je následující:
1. spustíme EXCEL myší na ikoně EXCEL
2. do sloupce tabulky vepíšeme analyzované vzorky y₁, y₂, …, y_a, na příklad pro 16 vzorků použijeme B2:B17.
3. myší volíme NÁSTROJE – ANALÝZA DAT – HARMONICKÁ ANALÝZA, ENTER
4. vepíšeme vstupní oblast B2:B17, výstupní oblast C2:C17 OK
5. FFT je hotova, výsledky jsou v komplexních číslech x + iy.
6. převod do polárního tvaru: myší označíme D2:D17
7. do D2 vepíšeme fx: Inženýrská analýza: =ImAbs(C2) ENTER
8. myší volíme ÚPRAVY – VYPLNIT – DOLU, ENTER převede zbytek sloupce
9. myší označíme E2:E17
10. do E2 vepíšeme fx: =ImArgument(D2), ENTER
11. myší volíme ÚPRAVY – VYPLNIT – DOLU, ENTER převede zbytek sloupce
12. myší označíme F2:F17
13. do F2 vepíšeme =E2/16, ENTER přepočítá na skutečnou hodnotu amplitudy, které byly 2ⁿ –krát větší
14. myší volíme ÚPRAVY – VYPLNIT – DOLU, ENTER přepočítá zbytek sloupce
15. myší označíme G2:G17
16. do G2 vepíšeme fx: Matematické funkce: =DEGREES(F2), ENTER
17. myší volíme ÚPRAVY – VYPLNIT – DOLU, ENTER přepočítá zbytek sloupce z radiánů na stupně
18. tabulku doplníme hlavičkami v řádce 1:
  - nad sloupec B vepíšeme y
  - nad sloupec C vepíšeme FFT
  - nad sloupec D vepíšeme ABS
  - nad sloupec E vepíšeme ARG(RAD)
  - nad sloupec F vepíšeme ABS/16
  - nad sloupec G vepíšeme ARG(DEG)
19. myší volíme písmo, velikost písma, potvrdíme OK
20. myší volíme ikonu tiskárny, tabulka se vytiskne.

Nahoru

C14 Použití matic ve sportu

Způsob, kterým se zpracují prvky matic při jejich násobení dovoluje použít součin dvou matic k rychlému výpočtu bodů z tabulky vítězství, remíz a porážek na příklad v kopané a hokeji. První matici tvoří tabulka vítězství, remíz a porážek, která má proto rozměr n × 3 pro n mužstev. Druhou matici tvoří jednosloupcový vektor 3 × 1, v němž jsou body za vítězství, remízu a porážku: 2, 1, 0.

Příklad:

výsledek soutěže je zapsán tabulkou:

vítězství	remízy	porážky	2 1 0	body
17	3	5		37
11	11	3		33
13	5	7		31
12	6	7		30
13	4	8		30
9	10	6		28
11	6	8		28
9	5	11		23
6	5	11		21
8	5	12		21
9	3	13		21
6	8	11		20
3	8	14		14
3	7	15		13

Po výpočtu bodů je nutno použít další pravidla pro stanovení pořadí družstev se stejným počtem bodů.
Pozn.: počet sloupců první matice se musí rovnat počtu řádků druhé matice.

Literatura

Jelínek M.: Matice. SPN, Praha, 1976, str. 39–40


DATA 17,3,5

DATA 11,11,3

DATA 13,5,7

DATA 12,6,7

DATA 13,4,8

DATA 9,10,6

DATA 11,6,8

DATA 9,5,11

DATA 6,5,11

DATA 8,5,12

DATA 9,3,13

DATA 6,8,11

DATA 3,8,14

DATA 3,7,15

DATA 2,1,0

INPUT "r1,s1=r2,s2 "; m, n, l

DIM a(m, n), b(n, l), c(m, l)

FOR i = 1 TO m: FOR j = 1 TO n

READ a(i, j): NEXT j: NEXT i

FOR i = 1 TO n: FOR j = 1 TO l

READ b(i, j): NEXT j: NEXT i

FOR k = 1 TO m: FOR j = 1 TO l: s = 0

FOR i = 1 TO n: s = s + a(k, i) * b(i, j): NEXT i

c(k, j) = s: NEXT j: NEXT k

FOR k = 1 TO m: FOR j = 1 TO l

PRINT c(k, j);: NEXT j: PRINT: NEXT k

END

Vidíme, že za matici vítězství, remíz a porážek je připsán vektor bodů 2,1,0. Po spuštění programu vložíme r1,s1=r2,s2 14,3,1 a ENTER dá výsledek.

Nahoru

C15 Numerické řešení diferenciální rovnice

Biomechanická analýza sportovního pohybu může vést ke vzniku matematického modelu a ten může dát tzv. pohybovou rovnici.

Pokud taková rovnice obsahuje dráhu, rychlost, zrychlení nebo síly či jiné mechanické veličiny, jde o diferenciální rovnici, protože jmenované veličiny jsou k sobě ve vztahu proměnné a některých jejích derivací. Řešením takové rovnice není kořen, ale funkce, která dosazena do této rovnice spolu s příslušnými derivacemi tuto rovnici splňuje.

Řešení diferenciálních rovnic může být někdy snadné, jindy obtížné nebo dokonce nemožné, snažíme-li se rovnici řešit analyticky, obecně, ve tvaru funkce. Existuje ale ještě další metoda řešení, které nazýváme číselné (numerické), protože dává číselné tabulky hodnot proměnných nezávislých i závislých. Existuje řada metod numerického řešení diferenciálních rovnic, z nichž asi nejznámější a nejpropracovanější jsou metody dvou německých matematiků Rungeho (1895) a Kutty (1901). Ti navrhli různě komplikované a přesné metody pro různé typy rovnic. Jejich výhodou je, že mohou vyřešit i rovnice, analyticky neřešitelné.

Ukážeme si na příkladu splývání plavce po obrátce vznik, řešení a výsledky diferenciální rovnice analytické, pak uvedeme program pro numerickou integraci diferenciální rovnice II. řádu (s druhou derivací) metodou Runge – Kutta 4. řádu (se 4 korekcemi). Srovnáním obou řešení uvidíme, že numerické řešení dosahuje velmi vysoké přesnosti.

Příklad: plavec po obrátce se odrazí a vzdaluje se od stěny počáteční rychlostí v₀. Ještě než začne aktivně plavat, překonává odpor F_o = k.v², a zpomaluje se se zpomalením a. Proto vzniká setrvačná síla F_s = m.a. Podle principu akce a reakce musí být tyto vodorovné síly v rovnováze, takže platí pohybová rovnice sil

$F_o+F_s=0$ (1)

Dosazením

$k.v^2+m.a=0$ (2)

Odvodíme-li rychlost v a zpomalení a od dráhy y jako derivace podle času, bude rovnice

$k.y'^2+m.y''=0$ (3)

To je diferenciální rovnice 2. řádu, protože obsahuje druhou derivaci dráhy podle času:

$y''=-k/m.y'^2$ (4)

Dosazením

$dv/dt=-k/m.v^2$ (5)

Můžeme separovat proměnné na obě strany rovnítka

$dv/v^2=-k/m.dt$

integrací

$1/v=k/m.t+c$ (6)

Pro t = 0 je v = v₀, takže integrační konstanta c = 1 / v₀, a rovnice bude

$1/v=k/m.t+1/v_0=(k.v_0.t+m)/m.v_0$

a rychlost

$v=m.v_0/(k.v_0.t+m)$ (7)

S tímto vzorcem můžeme počítat časový průběh rychlosti v(t), známe-li odpor vody F_o při některé rychlosti v, protože z nich můžeme stanovit k = F_o/ v² · Z rovnice (7) bude

$dy/dt=m.v_0/(k.v_0.t+m)$

dostaneme po separaci proměnných další integrací

$y=m/k.ln(1+k/m.v_0.t)$ (8)

Tento výraz dovoluje počítat usplývanou dráhu. Obě veličiny, dráhu a rychlost, analyticky vyjádřené jako funkce času můžeme srovnat s výsledky numerického řešení rovnice (4), provedeného následujícím programem pro metodu Runge – Kutta.

Literatura

Rychnovský R.: Obyčejné diferenciální rovnice a jejich řešení. Praha, SNTL – Práce, 1972
Abramowitz M. – Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions, NDS, 1964, vzorec 25.5.20


INPUT "x0,y0,y!0,h="; x0, y0, z0, h

INPUT "xmax="; xm

a:

x = x0: y = y0: z = z0

GOSUB fun: k1 = h * f: PRINT x, y, z, f

x = x0 + h / 2

y = y0 + z0 * h / 2 + k1 * h / 8

z = z0 + k1 / 2

GOSUB fun: k2 = h * f

z = z0 + k2 / 2

GOSUB fun: k3 = h * f

x = x0 + h

y = y0 + z0 * h + k3 * h / 2

y = y0 + k3

GOSUB fun: k4 = h * f

x0 = x

y0 = y0 + h * (z0 + (k1 + k2 + k3) / 6)

z0 = z0 + (k1 + 2 * (k2 + k3) + k4) / 6

IF x < xm THEN GOTO a

END

fun:

f = -z * z / 3

RETURN

END

Před spuštěním programu vepíšeme za label fun: upravený výraz pro
x" = -k/m. x´2 ve zkrácené formě: f = – z*z / 3
Po spuštění programu vložíme
x0 (= t0)´= 0 (s)
y0 (= L0) = 0 (m)
y´0(= v0) = 4 (m/s)
h (= dt) = 0,1 (s)
a dostaneme numerické řešení. K uvedeným dobám x (=t) počítáme podle vzorců, získaných analytickým řešením dráhy a rychlosti, připíšeme je na shodné řádky a můžeme porovnávat přesnost numerického řešení:

t	x(anal]	x(numer]	v(anal)	v(numer)	a(anal)	a(numer)
0	0	0	4	4	-5,333333	-5,333333
0,1	0,3754894	0,3754815	3,529412	3,529416	-4,152248	-4,152258
0,2	0,7091662	0,709154	3,157895	3,157900	-3,324100	-3,324111
0,3	1,009417	1,009403	2,857143	2,857148	-2,721088	-2,721099
0,4	1,282332	1,282317	2,608696	2,608701	-2,268432	-2,268440
0,5	1,532477	1,532461	2,4	2,400000	-1,92	-1,920008
0,6	1,76336	1,763344	2,222222	2,222226	-1,646090	-1,646096
0,7	1,977737	1,977721	2,068965	2,068969	-1,426872	-1,426878
0,8	2,177811	2,177795	1,935484	1,935487	-1,248699	-1,248704
0,9	2,365372	2,365356	1,818182	1,818185	-1,101929	-1,101932
1,0	2,541893	2,541878	1,714286	1,714289	-0,979592	-0,979595

Nahoru

C16 Diferenční rovnice v mechanice

Působí-li na volné těleso o hmotnosti m proměnlivá síla F stálého směru, a můžeme-li tuto sílu zapsat ve stejně dlouhých intervalech času, dostatečně krátkých, můžeme přibližně řešit průběh zrychlení, rychlosti a dráhy pomocí jednoduchých diferenčních rovnic:

pomocí druhého Newtonova principu počítáme zrychlení a = F / m

pomocí zrychlení změněnou rychlost v_i+1 = v_i + a · Δt

pomocí rychlosti změněnou dráhu s_i+1 = s_i + v · Δt

Abychom dosáhli dostatečnou přesnost, měl by interval mezi sousedními silami, rychlostmi i drahami být kratší nežli 0,05 sek.

Všechny tyto výpočty provede program:


DATA F1,F2,F3,… FN

INPUT "hmotnost(kg),počát.rychlost(m/s),krok času(s)=";m,v,d

LPRINT m,v,d: LPRINT

LPRINT tab(7)"T"; tab(16)"F";tab(25)"A";tab(34)"V";tab(43)"S": lprint

V:

READ f: ON ERROR GOTO K

a=f/m: v=v+a*d: s=s*d: LPRINT USING "#####.###";t;f;a;v;s

t=t+d: GOTO V

K:

END

Do řádku "data" vepíšeme ekvidistantní hodnoty sil F v newtonech, program spustíme a vložíme hmotnost objektu v kg, jeho počáteční rychlost v m/s a krok času v s. Vytiskne se tabulka vypočítaných hodnot. Použijeme-li příkaz "print" místo "lprint" v řádku mezi labely V a K, dostaneme tabulku na obrazovce monitoru.

autor: Ing. Josef Kopřiva, recenzent: Mgr. Martin Sebera, Ph.D. |
Fakulta sportovních studií, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |

| Technická spolupráce:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2011

Technické řešení této výukové pomůcky je spolufinancováno Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Nahoru

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ