Sport, matematika, počítač
Fakulta sportovních studií Masarykovy univerzity
Ing. Josef Kopřiva

Kliknutím na šedou plochu pod nápisem se vrátíte zpět nahoru

B. Statistika

část B11–B15

B11 Čtyřpolní tabulka 2x2 a χ2-test

Máme-li dvě kvalitativně rozdílné skupiny (např. muže a ženy), u nichž známe dva alternativní kvalitativní znaky (např. plavec-neplavec), můžeme každou osobu zařadit do jedné ze 4 možných kombinaci a, b, c, d. Stanovíme-li četnosti těchto kombinací, můžeme je zapsat do tzv. čtyřpolní tabulky 2×2:

	plavci	neplavci
muži	a	b
ženy	c	d

s₁ = a + b s₂ = c + d s₃ = a + c s₄ = b + d
s = s₁ + s₂

Pro rozhodnutí, zda je mezi skupinami v alternativním znaku statisticky významný rozdíl potřebujeme vypočítat kriterium

$\chi^2=\frac{s.(a.d-b.c)^2}{s_1.s_2.s_3.s_4}$

Je-li toto kriterium větší nežli kritická hodnota χ²_k ve statistických tabulkách pro četnost n = 1 a zvolenou hladinu významnosti (obvykle p = 5 %), je rozdíl mezi skupinami statisticky významný. Můžeme použít následující program:


DATA 125,80,89,26

READ a,b,c,d

s1=a+b:s2=c+d

s3=a+c:s4=b+d

s=s1+s2

ch=s*(a*d-b*c)^2/(s1*s2*s3*s4)

PRINT "chikv=";ch

END

Příklad:

ve skupině mužů bylo 125 plavců a 80 neplavců, u žen 89 plavkyň a 26 neplavkyň. Vypočítané χ² = 8,98 je větší nežli kritická hodnota χ²_k = 3,8 pro n = 1 a hladinu významnosti p = 5 %, i pro hladinu p = 1 % (χ²_k = 6,6). Proto je rozdíl mezi ženami a muži statisticky významný i na hladině 1 % (skutečná hladina je p = 0,276 %).

Nahoru

B12 Fischerův test pro kontingenční tabulku 2 × 2

Jsou-li četnosti v kontingenční tabulce 2 × 2 nízké, tzn. když n = a + b + c + d < 20 nebo kterákoliv četnost je nižší nežli 5, pak musíme použít tzv. Fischerův test, který počítá přímo pravděpodobnost p jako hladinu významnosti:

$p=\frac{(a+b)!.(c+d)!.(b+d)!}{n!.a!.b!.c!.d!}$

Výpočet p provedeme následujícím programem a výslednou pravděpodobnost převedeme na procenta a porovnáme se zvolenou hladinou významnosti v %.

Literatura

Clauss G. – Ebner H.: Grundlagen der Statistik fur Psychologen, Pedagogen und Soziologen. 1983, 7 th ed., Volk u. Wissen, Berlin, str. 263–267


DATA 8,5,4,1

READ a, b, c, d

x = a: GOSUB f1: n = f

x = b: GOSUB f1: n = n * f

x = c: GOSUB f1: n = n * f

x = d: GOSUB f1: n = n * f

x = a + b + c + d: GOSUB f1: n = n * f

x = a + b: GOSUB f1: m = f

x = c + d: GOSUB f1: m = m * f

x = a + c: GOSUB f1: m = m * f

x = b + d: GOSUB f1: m = m * f

p = m / n

PRINT "p="; p

END

f1:

f = 1

FOR i = 2 TO x

f = f * i

NEXT i

RETURN

Příklad:

pro data v řádku DATA dostaneme p = 0,3466, tedy 34,66 %. Pro hladinu p = 5 % je výsledek testu negativní.

Nahoru

B13 Kontingenční tabulka m × n a χ²-test

Máme-li m kvalitativních proměnných x, které mohou nabývat n kvalitativních hodnot y, můžeme zapsat četnosti všech kombinací x, y do kontingenční tabulky m × n

f₁₁	f₁₂	f₁₃	f_1n
f₂₁	f₂₂	f₂₃	f_2n
…	…	…	…
f_m1	f_m2	f_m3	f_mn

Chceme-li vědět, zda existuje mezi x, y statisticky významná závislost, vypočítáme kriterium

f_ij … četnosti z kontingenční tabulky

e_ij … četnosti očekávané při rovnoměrném rozdělení

$\chi^2=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n\frac{f_{ij}-e_{ij}}{e_{ij}}$

Potřebné výpočty provede následující program. Je-li vypočítané kriterium větší, nežli kritická hodnota rozdělení χ² ze statistických tabulek pro n = (m – 1) · (n – 1) a zvolenou hladinu významnosti p = 5 %, pak můžeme prohlásit závislost mezi proměnnými x, y za statisticky významnou.


DATA 75,36,31

DATA 27,19,33

DATA 31,62,86

INPUT "řádků,sloupců="; r, c

DIM m(r, c), o(r, c), a(r), b(c): d = 0: n = 0

FOR i = 1 TO r: FOR j = 1 TO c

READ m(i, j): n = n + m(i, j)

a(i) = a(i) + m(i, j)

NEXT j: NEXT i

FOR j = 1 TO c: FOR i = 1 TO r

b(j) = b(j) + m(i, j)

NEXT i: NEXT j

FOR i = 1 TO r: FOR j = 1 TO c

o(i, j) = a(i) * b(j) / n

d = d + (m(i, j) – o(i, j)) * (m(i, j) – o(i, j)) / o(i, j)

NEXT j: NEXT i

nu = (r – 1) * (c – 1)

PRINT "chiq,n="; d, nu

c1 = SQR(d / (d + n))

PRINT "kontingenční souč.="; c1

END

Příklad:

z dat v řádku DATA dostaneme:
chiq,n = 48.2678 4
kontingenční souč.=.3281406

Porovnáním s kritickou hodnotou χ²_k (9,5 pro p = 5 % nebo 13,3 pro p = 1 %) plyne, že závislost je statisticky významná i na 1 % hladině významnosti.

Nahoru

B14 Korelační součinitel pro kontingenční tabulku

U kontingenční tabulky m × n vypočítáme kriterium χ², které rozhodne, zda závislost, popsaná tabulkou je statisticky významná. Neurčí ale stupeň závislosti mezi kvalitativními znaky. K tomu použijeme korelační součinitel pro seskupená data, který používá četnosti v kontingenční tabulce k výpočtu míry závislosti

$r=\frac{n.\sum{f}.x.y-(\sum{f}.x).(\sum{f}.y)}{\sqrt{[n.\sum{f}.x^2-(\sum{f}.x)^2][n.\sum{f}.y^2-(\sum{f}.y)^2]}}$

K výpočtu použijeme následujícího programu, do jehož řádků DATA vepíšeme četnosti z kontingenční tabulky.

Literatura

The Essentials of Statistics II, Research and Education Association, New Jersey, 1989, str. 182–183


DATA 52,17,0

DATA 34,54,9

DATA 2,12,36

DATA 1,7,88

INPUT "ř,s="; r, s

FOR y = 1 TO r

FOR x = 1 TO s

READ f

sx = sx + f * x: kx = kx + f * x * x

sy = sy + f * y: ky = ky + f * y * y

xy = xy + f * x * y: n = n + f

NEXT x: NEXT y

k = (n * xy – sx * sy) / SQR((n * kx – sx * sx) * (n * ky – sy * sy))

PRINT "r="; k

END

Příklad:

pro DATA, vepsaná do programu a ř,s = 4,3 dostaneme: r = 0,7949191

Nahoru

B15 χ²-test pro jeden výběr

Máme-li skupinu lidí, kterou rozdělíme podle kvalitativního znaku (pořadí apod.) na m skupin, můžeme v jednotlivých skupinách stanovit četnosti f₁, f₂, f₃, … f_n. K rozhodnutí, zda se tyto četnosti liší od očekávaných rovnoměrných f_e = n / m, vypočítáme kriterium

$\chi^2=\sum_{i=1}^n\frac{(f_i-f_e)^2}{f_e}$

Tuto hodnotu vypočítáme následujícím programem a srovnáme s kritickou hodnotou χ² pro počet stupňů volnosti n = n – 1 a pro zvolenou hladinu významnosti (zpravidla p = 5 %). Je-li kriterium větší nežli kritická hodnota, liší se rozdělení od rovnoměrného statisticky významně.


DATA 3,4,9,10,10,6,7,2,2,6


a:

READ f:ON ERROR GOTO b

n=n+f:m=m+1:GOTO a

b:

e=n/m:RESTORE

READ f:c=c+(f-e)^2/e

NEXT i

PRINT "chikv,n=";c,m-1

END

Příklad:

žebříček tenistek TWA ke dni 8. 5. 1995 obsahoval v první tisícovce
tyto četnosti českých tenistek v jednotlivých stovkách:

pořadí	jednotlivci	dvouhra
1-100	3	3	Vypočítaná kriteria: pro jednotlivce Χ² = 14.73 pro dvouhru Χ² = 26.93
101-200	4	12
201-300	9	7
301-400	10	9	Protože kritická hodnota je 18.34, neliší se rozdělení tenistek statisticky významně od rovnoměrného, ve dvojhře však ano.
401-500	10	10
501-600	6	10
601-700	7	8
701-800	2	3
801-900	2	4
901-1000	6	0

autor: Ing. Josef Kopřiva, recenzent: Mgr. Martin Sebera, Ph.D. |
Fakulta sportovních studií, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |

| Technická spolupráce:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2011

Technické řešení této výukové pomůcky je spolufinancováno Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Nahoru

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

B. Statistika

B11 Čtyřpolní tabulka 2x2 a χ2-test

B12 Fischerův test pro kontingenční tabulku 2 × 2

Literatura

B13 Kontingenční tabulka m × n a χ2-test

B14 Korelační součinitel pro kontingenční tabulku

Literatura

B15 χ2-test pro jeden výběr

B13 Kontingenční tabulka m × n a χ²-test

B15 χ²-test pro jeden výběr