Co se naučíme:

• popsat lineární dynamický systém matematickou formou
• porozumět jeho dynamice
• vytvořit si souvislost mezi pojmy z lineární algebry a dynamiky

Nejprve uvažujme lineární diferenciální rovnici \begin{equation} {\dot x} = a x, \label{ax}\tag{3} \end{equation} kde $a \in \mathbb{R}$ je pevně dané číslo. Řešením takové rovnice jsou právě exponenciální funkce $$x(t)=x_0 e^{at},$$ přičemž zřejmě platí $x(0)=x_0$. Rovnovážným bodem je tedy $x(t) \equiv 0$.

Tato jednoduchá diferenciální rovnice se používá v mnoha reálných aplikacích. Můžeme ji použít jako Malthusův model růstu populace s mírou růstu $a$ využitelný např. pro predikci vývoje světové populace, pro datování organických materiálů radiokarbonovou metodou nebo pro určení odhadu času při chladnutí těles podle Newtonova zákona ochlazování, který lze využít např. při konstrukci tepelných čerpadel, ledniček nebo chlazení sarkofágu Černobylské elektrárny …

Newtonův model ochlazování kávy:

Představme si hrnek horké kávy (o teplotě $T_0$) a postavené do místnosti s teplotou $T^*$. Stavová proměnná bude teplota kávy $T$, parametrem bude $k \in \mathbb{R}^+$, které bude záviset ostatních fyzikálních veličinách (měrná tepelná kapacita kávy, tvar hrníčku nebo kelímku, materiál apod.).

Změna teploty kávy bude přibližně úměrná rozdílu teplot kávy a místnosti. Káva chladne rychleji při větším rozdílu teplot.

\begin{equation} \tfrac{\text{ d} T(t)}{\text{ d} t}=k (T^*-T(t)).\tag{4} \end{equation}

Rovnováha v lineárním systému

Pokud je matice $\mathbf{A}-\mathbf{I}$ resp. $\mathbf{A}$ regulární, je to jediná rovnováha systému (5) resp. (6).

Každý lineární diferenční systém tvaru

\begin{equation} \mathbf{y}_{n+1} = \mathbf{A}\mathbf{y}_n +\mathbf{b}, \label{ls_posun}\tag{7} \end{equation} kde $\mathbf{y}, \, \mathbf{b} \in \mathbf{X} = \mathbb{R}^n$ s regulární $\mathbf{A}-\mathbf{I}$ lze převést do tvaru (5). $$\mathbf{A}\mathbf{y}+\mathbf{b}=\mathbf{y}$$ má v takovém případě jediné řešení $\mathbf{y}_0=(\mathbf{I}-\mathbf{A})^{-1} \mathbf{b}$ a transformace $\mathbf{x}=\mathbf{y}-\mathbf{y}_0$ posouvá rovnováhu do počátku.

Každý lineární diferenciální systém tvaru

\begin{equation} \mathbf{\dot y} = \mathbf{A}\mathbf{y}+\mathbf{b}, \label{ls_posun2}\tag{8} \end{equation} kde $\mathbf{y}, \, \mathbf{b} \in \mathbf{X} = \mathbb{R}^n$ s regulární $\mathbf{A}$ lze převést do tvaru (6). $$\mathbf{A}\mathbf{y}+\mathbf{b}=\mathbf{0}$$ má v takovém případě jediné řešení $\mathbf{y}_0=-\mathbf{A}^{-1} \mathbf{b}$ a transformace $\mathbf{x}=\mathbf{y}-\mathbf{y}_0$ posouvá rovnováhu do počátku.

Lineární zobrazení

Uvažujme lineární zobrazení $\mathbf{L}:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m$ a matici $\mathbf{A}$ tohoto zobrazení ve standardní ortonormální bázi prostoru $\mathbb{R}^m$. Geometrická představa takového zobrazení a jeho vlastních čísel a vektorů je velmi důležitá, proto si chvíli pohrajme s následující aplikací.

Pro vlastní číslo (vlastní hodnotu) matice $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times m}$ příslušné vlastnímu vektoru $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^m$ platí $$\mathbf{Av}=\lambda \mathbf{v},$$

tj. vlastní čísla hledáme jako kořeny charakteristického polynomu $$\det(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})=0.$$

Matice $\mathbf{A}$ má v komplexním oboru $m$ vlastních hodnot $\lbrace \lambda_1, \ldots , \lambda_m \rbrace$ a příslušné vlastní vektory $\lbrace \mathbf{v}_{\lambda_1}, \ldots , \mathbf{v}_{\lambda_m} \rbrace$ tvoří bázi $\mathbb{C}^m$.

Matice $\mathbf{T}$ tvořená $m$ nezávislými vlastními vektory (po sloupcích) tedy splňuje $$\mathbf{A} \cdot \mathbf{T} = \mathbf{T} \cdot \begin{pmatrix} \lambda_1 & \cdots & 0\\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \lambda_m \end{pmatrix}.$$

V případě násobných vlastních hodnot může obsahovat bloky tvaru $\begin{pmatrix} \lambda & 1\\ 0& \lambda \end{pmatrix}$, přičemž sloupce matice $\mathbf{T}$ v tomto případě tvoří tzv. zobecněné vlastní vektory.

K vlastnímu vektoru $v=w_0$ splňujícímu $\mathbf{Av}=\lambda \mathbf{v}$ přidáváme další vektory $\mathbf{w}_{i}$ splňující $\mathbf{Aw}_{i}=\lambda \mathbf{w}_{i}+ \mathbf{w}_{i-1},$ kde $i$ nabývá hodnot od 1 do geometrické násobnosti $k$ vlastního čísla $\lambda$. Množina $\{w_0, \dots w_k \}$ pak tvoří bázi prostoru zobecněných vlastních vektorů.

Lineární regulární transformace $\mathbf{A} \mapsto \mathbf{J}=\mathbf{T}^{-1}\mathbf{AT}$ převádí matici $\mathbf{A}$ na komplexní Jordanův kanonický tvar $\mathbf{J}$. Reálný tvar s reálným blokem $\begin{pmatrix} \alpha & \beta\\ -\beta & \alpha \end{pmatrix}$ dostaneme, pokud použijeme místo komplexně sdružených vektorů $\mathbf{v}$ a $\overline{\mathbf{v}}$ reálnou a imaginární část $\mathbf{u}$ a $\mathbf{w}$ vektoru $\mathbf{v}=\mathbf{u} +i \mathbf{w}$.

Iterovaná zobrazení v rovině

Pohrajeme si s iteracemi tvaru (5) $\mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{A}\mathbf{x}_n$. Tady spusťte aplikaci.http://www.math.muni.cz/~pribylova/Fibonacci/NS_via_linear_transformation.html

Uvažujme tedy náš lineární diferenční autonomní systém (iterovaná lineární zobrazení) \begin{equation*} \mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{Ax}_n, \end{equation*} kde $\mathbf{x}_n \in \mathbb{R}^m$, $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times m}$, $n \in \mathbb{N}_0$ s počáteční podmínkou $\mathbf{x}_0$. Odtud $$\mathbf{x}_n=\mathbf{A}^n\mathbf{x}_0.$$

Označme vlastní hodnoty sestupně $|\lambda_1| \geq |\lambda_2| \geq \dots \geq |\lambda_m|$. Protože $\mathbf{x}_0$ můžeme zapsat jako lineární kombinaci nezávislých vlastních vektorů $\lbrace \mathbf{v}_{\lambda_1}, \ldots , \mathbf{v}_{\lambda_m} \rbrace$ (tvoří bázi): $$\mathbf{x}_0=k_1\mathbf{v}_{\lambda_1} + k_2\mathbf{v}_{\lambda_2} + \dots + k_m\mathbf{v}_{\lambda_m}, $$ můžeme řešení $\mathbf{x}_n$ vyjádřit.

V případě nenásobných vlastních čísel dostáváme \begin{eqnarray*} \mathbf{x}_n & = & \mathbf{A}^n(k_1\mathbf{v}_{\lambda_1} + k_2\mathbf{v}_{\lambda_2} + \dots + k_m\mathbf{v}_{\lambda_m})\\ & = & k_1\lambda_1^n\mathbf{v}_{\lambda_1} + k_2\lambda_2^n\mathbf{v}_{\lambda_2} + \dots + k_m\lambda_m^n\mathbf{v}_{\lambda_m}\\ & = & \lambda_1^n \bigl (k_1\mathbf{v}_{\lambda_1} + k_2 \bigl (\tfrac{\lambda_2}{\lambda_1} \bigr )^n\mathbf{v}_{\lambda_2} + \dots + k_m\bigl (\tfrac{\lambda_m }{\lambda_1}\bigr )^n\mathbf{v}_{\lambda_m}\bigr ). \end{eqnarray*}

Pro násobná vlastní čísla je třeba za pro zobecněné vektory $\mathbf{w}_i$ dosadit $\mathbf{Aw}_{i}=\lambda \mathbf{w}_{i}+ \mathbf{w}_{i-1}$.

Rovnovážným bodem systému (5) je počátek, který je asymptoticky (dokonce exponenciálně) stabilní, pokud $|\lambda_1|<1$. V případě $|\lambda_1|>1$ je počátek nutně nestabilní. Je-li $|\lambda_1|=1$, nemůže být počátek asymptoticky stabilní.

Pro systém diferenciálních rovnic bude situace podobná. Je-li $\lambda \in \mathbb{C}$ vlastní číslo matice $\mathbf{A}$ a $\mathbf{v}$ příslušný vlastní vektor, je funkce $\mathbf{\varphi}(t)=e^{\lambda t} \mathbf{v}$ evidentně řešením rovnice (6) $\mathbf{\dot x} = \mathbf{A}\mathbf{x}$, díky základní vlastnosti vlastního vektoru: $ \mathbf{A}\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$.

Připomeňme Eulerův tvar komplexního čísla $e^{\psi i} = \cos \psi + i \sin \psi$. Pokud $\lambda = \alpha + i \beta \in \mathbb{C}$, pak $$\mathbf{\varphi}(t)=e^{( \alpha + i \beta ) t} \mathbf{v} = e^{ \alpha t}( \cos \beta + i \sin \beta )\mathbf{v}.$$

Pro $m$ různých vlastních čísel dostáváme $m$ nezávislých řešení. Protože řešení rovnice (6) tvoří vektorový prostor dimenze $m$ (popřemýšlejte proč ;-) ), jsou tato řešení bazí tohoto prostoru. Jejich libovolná lineární kombinace je tedy řešením a takto dostáváme všechna řešení, protože báze generuje vektorový prostor. V případě vlastních čísel s nenulovou imaginární částí dává dvojice komplexně sdružených vlastních čísel a vektorů komplexní řešení tvaru $\mathbf{\varphi}(t) $ a $\overline{\mathbf{\varphi}}(t)$, a proto lze vybrat i reálnou dvojici nezávislých řešení do báze řešení.

Pokud je $\lambda = \alpha + i \beta \in \mathbb{C}$, $\beta \neq 0$, vlastní číslo reálné matice $\mathbf{A}$ a $\mathbf{v}=\mathbf{u}+i\mathbf{w}$ příslušný vlastní vektor, je $\mathbf{A}\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$. $$\implies$$ $$ \overline{(\mathbf{A}\mathbf{v})}=\overline{(\lambda \mathbf{v})}$$ $$ \mathbf{A}\overline{\mathbf{v}}=\overline{\lambda} \overline{\mathbf{v}},$$ takže funkce $\mathbf{\varphi}(t)=e^{\lambda t} \mathbf{v}$ a $\overline{\mathbf{\varphi}}(t)=e^{\overline{\lambda} t} \overline{\mathbf{v}}$ jsou dvě nezávislá řešení rovnice (6) $\mathbf{\dot x} = \mathbf{A}\mathbf{x}$

$$\mathbf{\varphi}(t)=e^{( \alpha + i \beta ) t} \mathbf{v} = e^{ \alpha t}( \cos \beta + i \sin \beta )(\mathbf{u}+i\mathbf{w}).$$ $$\overline{\mathbf{\varphi}}(t)=e^{( \alpha - i \beta ) t} \overline{\mathbf{v}} = e^{ \alpha t}( \cos \beta - i \sin \beta )(\mathbf{u}-i\mathbf{w})$$ generující vektorový podprostor všech řešení (komplexních). Reálné generátory téhož vektorového podprostoru řešení jsou tedy např. $$\text{Re}{\mathbf{\varphi}(t)} \text{ a } \text{Im}{\mathbf{\varphi}(t)}.$$

V případě násobných vlastních čísel je situace složitější, jak uvidíme na konkrétních příkladech, ale také můžeme pro vlastní číslo násobnosti $k$ nalézt $k$ nezávislých řešení.

Pokud těchto $m$ nezávislých řešení zapíšeme za sebe, pak toto maticové zobrazení $t \mapsto \boldsymbol{\Phi}(t)$ se nazývá fundamentální matice řešení příslušného homogenního lineárního systému (6). Jejich lineární kombinace, tj. $\boldsymbol{\Phi}(t) \cdot \mathbf{c}$, dávají všechna řešení rovnice (6).

Shrňme to:

• V případě, že $\lambda \in \mathbb{R}$ je $\; t \mapsto e^{\lambda t} \mathbf{v} \;$ reálným řešením rovnice (6).
• V případě $\lambda = \alpha \pm i \beta \in \mathbb{C} - \mathbb{R}$ je vlastní vektor $\mathbf{v}=\mathbf{u}\pm i\mathbf{w}$ a reálnými řešeními rovnice (6) jsou pak $$t \mapsto e^{\alpha t} (\cos \beta t \cdot \mathbf{u} - \sin \beta t \cdot \mathbf{w}), t \mapsto e^{\alpha t} (\sin \beta t \cdot \mathbf{u} + \cos \beta t \cdot \mathbf{w}).$$
• V případě $\lambda \in \mathbb{R}$, které je $k$-násobným kořenem charakteristického polynomu jsou $\; t \mapsto e^{\lambda t} \sum_{j=1}^i{\tfrac{t^{i-j}\mathbf{v_j}}{(i-j)!}} \;, i=1, \dots k$ reálnými řešeními rovnice (6), kde $\mathbf{v_i}$ je systém $k$ zobecněných vlastních vektorů ($\mathbf{Av}_1=\lambda \mathbf{v}_1$ a $\mathbf{Av}_i=\lambda \mathbf{v}_i+\mathbf{v}_{i-1}$ pro $i>1$).

Stabilita rovnováhy v lineárním systému

Stabilita rovnováhy v lineárním diskrétním systému:

Rovnováha $\mathbf{0}$ systému (5) $\mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{Ax}_n$

• stabilní atraktor $\iff$ $\forall$ vl. číslo $\lambda$ matice $\mathbf{A}$: $|\lambda|<1$,
• nestabilní $\iff$ $\exists$ vl. číslo $\lambda$ matice $\mathbf{A}$: $|\lambda|>1$,

V případě jednotkové vlastní hodnoty má systém (5) v libovolné blízkosti počátku konstantní nenulová nebo periodická nenulová řešení (počátek tedy nemůže být asymptoticky stabilní).

Stabilita rovnováhy v lineárním spojitém systému:

Rovnováha $\mathbf{0}$ systému (6) $\mathbf{\dot x} = \mathbf{Ax}$

• stabilní atraktor $\iff$ $\forall$ vl. číslo $\lambda$ matice $\mathbf{A}$: $\text{Re} \lambda<0$,
• nestabilní $\iff$ $\exists$ vl. číslo $\lambda$ matice $\mathbf{A}$: $\text{Re} \lambda>0$,

V případě nulové vlastní hodnoty má systém (6) v libovolné blízkosti počátku konstantní nenulová řešení nebo v případě ryze imaginárních vlastních hodnot periodická řešení (a také nemůže být počátek asymptoticky stabilní).

Příklady na lineární systémy v rovině

Všechny úlohy si vyzkoušejte zobrazit v programech XPPAUT a Maple. Zajímavý nápad na vizualizaci trajektorií pomocí loxodromického gridu měl prof. Ghrist. Jeho animace jsou fantastické a ještě mnohokrát na jeho stránky a YouTube kanál zabrousíme.