pochopit změnu dynamiky spojitých systémů související s přechodem vlastního čísla přes 0
Systémy závislé na parametrech bifurkace
Uvažujme systém diferenciálních rovnic s parametrem tvaru
\begin{equation}
\mathbf{\dot x} = \mathbf{f}(\mathbf{x}, \pmb{\varepsilon}),
\label{parc}\tag{12}
\end{equation}
kde $\mathbf{x} \in \mathbf{X} = \mathbb{R}^m$ je vektor proměnných,
$\pmb{\varepsilon} \in \mathbb{R}^k$ je vektor parametrů a vektorová
funkce $\mathbf{f}: \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}^m$ je
dostatečně hladká.
Jestliže $\mathbf{f}(\mathbf{x}_0,
\pmb{\varepsilon}_0)=\mathbf{0}$, má systém (12)
rovnovážný bod $\mathbf{x}_0$ pro parametr
$\pmb{\varepsilon}=\pmb{\varepsilon}_0$ a linearizovaný systém
v tomto bodě je
$$ \mathbf{\dot u} = D\mathbf{f}(\mathbf{x}_0,\pmb{\varepsilon}_0) \mathbf{u},$$
kde $D\mathbf{f}(\mathbf{x}_0,\pmb{\varepsilon}_0)$ značí Jacobiho
matici v bodě $\mathbf{x}_0$ pro parametr
$\pmb{\varepsilon}=\pmb{\varepsilon}_0$.
Je-li pro
$\pmb{\varepsilon}_0$ rovnovážný bod $\mathbf{x}_0$ hyperbolický,
je lineární transformace
$D\mathbf{f}(\mathbf{x}_0,\pmb{\varepsilon}_0): \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m$
invertibilní a věta o implicitní funkci zaručuje lokálně existenci
a jednoznačnost křivky $\pmb{\varepsilon} \mapsto
\pmb{\beta}(\pmb{\varepsilon})$, která splňuje
$\pmb{\beta}(\pmb{\varepsilon}_0)=\mathbf{x}_0$ a
$\mathbf{f}(\pmb{\beta}(\pmb{\varepsilon}),\pmb{\varepsilon})
\equiv \mathbf{0}$, tedy $\pmb{\beta}(\pmb{\varepsilon})$ odpovídá
rovnovážnému bodu pro parametr $\pmb{\varepsilon}$.
Navíc, pokud $D\mathbf{f}(\mathbf{x}_0,\pmb{\varepsilon}_0)$ má
$m_+$ a $m_-$ vlastních hodnot s kladnou resp. zápornou reálnou
částí, bude mít v okolí $\pmb{\varepsilon}_0$ Jacobiho matice
$D\mathbf{f}(\pmb{\beta}(\pmb{\varepsilon}),\pmb{\varepsilon})$
stejný počet $m_+$ a $m_-$ vlastních hodnot s kladnou resp.
zápornou reálnou částí.
Uvažujme systém diferenčních rovnic s parametrem tvaru
\begin{equation}
\mathbf{x}(n+1) = \mathbf{f}(\mathbf{x}(n), \pmb{\varepsilon}),
\label{pard}\tag{13}
\end{equation}
kde $\mathbf{x} \in \mathbf{X} = \mathbb{R}^m$ je vektor proměnných,
$\pmb{\varepsilon} \in \mathbb{R}^k$ je vektor parametrů a vektorová
funkce $\mathbf{f}: \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}^m$ je
dostatečně hladká.
Jestliže $\mathbf{f}(\mathbf{x}_0,
\pmb{\varepsilon}_0)=\mathbf{x}_0$, má systém (13) rovnovážný
bod $\mathbf{x}_0$ pro parametr
$\pmb{\varepsilon}=\pmb{\varepsilon}_0$ a linearizovaný systém
v tomto bodě je
$$ \mathbf{u}(n+1) = D\mathbf{f}(\mathbf{x}_0,\pmb{\varepsilon}_0) \mathbf{u}(n),$$
kde $D\mathbf{f}(\mathbf{x}_0,\pmb{\varepsilon}_0)$ značí Jacobiho
matici v bodě $\mathbf{x}_0$ pro parametr
$\pmb{\varepsilon}=\pmb{\varepsilon}_0$.
Je-li pro
$\pmb{\varepsilon}_0$ pevný bod $\mathbf{x}_0$ hyperbolický, je
lineární transformace
$D\mathbf{f}(\mathbf{x}_0,\pmb{\varepsilon}_0)-\mathbf{I}: \mathbb{R}^m
\to \mathbb{R}^m$ invertibilní a věta o implicitní funkci zaručuje lokálně
existenci a jednoznačnost křivky $\pmb{\varepsilon} \mapsto
\pmb{\beta}(\pmb{\varepsilon})$, která splňuje
$\pmb{\beta}(\pmb{\varepsilon}_0)=\mathbf{x}_0$ a
$\mathbf{f}(\pmb{\beta}(\pmb{\varepsilon}),\pmb{\varepsilon})
\equiv \pmb{\beta}(\pmb{\varepsilon})$, tedy
$\pmb{\beta}(\pmb{\varepsilon})$ odpovídá pevnému bodu pro
parametr $\pmb{\varepsilon}$.
Navíc, pokud $D\mathbf{f}(\mathbf{x}_0,\pmb{\varepsilon}_0)$ má
$m_+$ a $m_-$ vlastních hodnot s velikostí větší resp. menší než
1, bude mít v okolí $\pmb{\varepsilon}_0$ Jacobiho matice
$D\mathbf{f}(\pmb{\beta}(\pmb{\varepsilon}),\pmb{\varepsilon})$
stejný počet $m_+$ a $m_-$ vlastních hodnot s velikostí větší
resp. menší než 1.
Hyperbolický rovnovážný bod bude mít tedy pro parametry
$\pmb{\varepsilon}$ dostatečně blízké $\pmb{\varepsilon}_0$ stejné
kvalitativní vlastnosti (stabilitu, nestabilitu, dimenze stabilní
a nestabilní variety). V okolí hyperbolického rovnovážného bodu
závislého na parametru je tedy tento systém tzv. strukturálně stabilní, tj. perturbovaný systém je s ním lokálně topologicky ekvivalentní.
V případě, že má Jacobiho matice
$D\mathbf{f}(\mathbf{x}_0,\pmb{\varepsilon}_0)$ nějakou vlastní
hodnotu s nulovou reálnou částí ve spojitém případě nebo
s velikostí rovnou 1 v diskrétním případě ($m_0 \neq 0$), není
zaručena existence ani jednoznačnost křivky
$\pmb{\beta}(\pmb{\varepsilon})$, tj. při perturbaci může dojít
k zániku rovnovážného bodu (v každém okolí $\pmb{\varepsilon}_0$),
nebo k vzniku nové větve rovnovážných řešení (odtud vznikl název,
rozvětvení = bifurkace) a samozřejmě při přechodu
$\pmb{\varepsilon}_0$ může dojít ke změně stability, dimenze
stabilní a nestabilní variety, tedy obecně k lokální kvalitativní
změně chování systému.
Lokální bifurkace
Definice
Lokální bifurkací systému (12) resp. (13)
v okolí rovnovážného bodu $\mathbf{x}_0=\pmb{\beta}(\pmb{\varepsilon_0})$
s kritickou hodnotou parametru
$\pmb{\varepsilon}=\pmb{\varepsilon}_0$ rozumíme
kvalitativní změnu dynamiky v okolí kritické hodnoty
$\pmb{\varepsilon}_0$, kdy fázové portréty v okolí rovnováhy
$\mathbf{x}_0$ při přechodu přes bifurkační parametr
$\pmb{\varepsilon}_0$ nejsou lokálně topologicky ekvivalentní.
Poznámka: V okolí nehyperbolické rovnováhy, kde dochází
k bifurkaci, je systém strukturálně nestabilní.
Uvažujme diferenciální rovnice s parametrem tvaru
\begin{equation}
\label{sn}\tag{14} \dot x = \varepsilon - x^2, \quad x \in \mathbb{R}, \,
\varepsilon \in \mathbb{R}.
\end{equation}
Rovnovážné body splňují $f(x,\varepsilon) := \varepsilon - x^2 = 0$,
tj. leží na křivce $\varepsilon=x^2$. Pro $\varepsilon <0$
nemá rovnice (14) žádný rovnovážný bod, pro $\varepsilon=0$
je rovnováhou bod $x_0=0$ a pro $\varepsilon >0$ jsou rovnováhy dvě:
$x=\pm \sqrt \varepsilon$. Parametr $\varepsilon=0$ je
tedy bifurkační hodnotou a při jeho přechodu v okolí počátku
dochází k lokální bifurkaci typu fold (ohyb). Bod
$(x_0,\varepsilon_0)=(0,0)$ je tzv. limitním bodem. Všimněte si,
že vlastní hodnota $\lambda = Df(0,0) = 0$.
Bifurkační diagram bifurkace typu fold:
Křivka odpovídající stabilní rovnováze se zakresluje
plnou čarou (plný bod), nestabilní rovnováze pak čárkovaně (prázdný
bod).
Fold bifurkace
Věta
Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrický systém
(rovnice)
\begin{equation}
\label{gensn}\tag{15}
\dot x = f(x,\alpha), \quad x \in \mathbb{R}, \; \alpha \in
\mathbb{R},
\end{equation}
kde $f$ je hladká funkce, má pro $\alpha=\alpha_0$ rovnovážný bod $x=x_0$ a
$\lambda=f_x(x_0,\alpha_0)=0$. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky
\begin{eqnarray*}
f_{xx}(x_0,\alpha_0) \neq 0 & \qquad \text{podmínka nedegenerovanosti},\\
f_{\alpha}(x_0,\alpha_0) \neq 0 & \qquad \text{podmínka transverzality}.
\end{eqnarray*}
Pak je (15) v okolí rovnováhy lokálně topologicky
ekvivalentní systému v normální formě fold bifurkace
$$\dot y = \pm \varepsilon \pm y^2$$
(v libovolném okolí počátku).
Dochází k narušení hyperbolicity, tj. $\lambda=f_x(x_0,\alpha_0)=0$.
Reparametrizace $\epsilon=|f_\alpha(x_0,\alpha_0)|(\alpha-\alpha_0) + \dots $ a posun do počátku $y^2=|\tfrac12 f_{xx}(x_0,\alpha_0)|(x-x_0)^2 + \dots$ převádí první členy na rovnici (14) $\dot y = \pm \varepsilon \pm y^2$, která je tzv. normálním tvarem pro fold bifurkaci. Znaménko $f_{\alpha}(x_0,\alpha_0)$ pak určuje znaménko u $\varepsilon$ v normálním tvaru, znaménko $f_{xx}(x_0,\alpha_0)$ určuje znaménko u $y^2$.
Každá jednoparametrická diferenciální rovnice tvaru (15)
splňující podmínky věty má dynamiku v okolí rovnováhy lokálně topologicky ekvivalentní s jejím normálním tvarem (jedna ze 4 možností znaménkových hodnot).
Podmínka nedegenerovanosti $f_{xx}(x_0,\alpha_0) \neq 0$ zaručuje, že nejde o jiný typ
bifurkace.
Podmínka transverzality $f_{\alpha}(x_0,\alpha_0) \neq 0$ zaručuje, že při přechodu
parametru přes kritickou hodnotu skutečně dochází ke kvalitativní
změně (vzniku či zániku rovnovážných bodů).
Kdyby některá z těchto hodnot byla nulová, museli bychom v Taylorově rozvoji použít členy vyšších mocnin, např.
s $f_{x\alpha}(x_0,\alpha_0)$ nebo s $f_{xxx}(x_0,\alpha_0)$ a tvar normální formy by se změnil a mohlo by dojít ke kvalitativní změně dynamiky této rovnice.
Ti, kteří chtějí vědět, jak najít onen neznámý homeomorfismus z definice topologické ekvivalence, můžou zalistovat v Kuzněcovovi nebo počkat do předmětu PřF:M9BCF Teorie bifurkací, chaos a fraktály
Bifurkace typu fold se nazývá také někdy bifurkace
sedlo-uzel. Podívejte se proč:
\begin{eqnarray*}
\dot x & = & \varepsilon - x^2,\\
\dot y & = & -y,
\end{eqnarray*}
Pro hledání vhodných „adept“ pro jednoparametrickou bifurkaci
sedlo-uzel vícerozměrného víceparametrického systému tvaru (12)
\begin{equation*}
\mathbf{\dot x} = \mathbf{f}(\mathbf{x}, \pmb{\varepsilon})
\end{equation*}
můžeme použít jednoduchý algoritmus. Hledáme řešení soustavy
rovnic:
\begin{eqnarray*}
\mathbf{f}(\mathbf{x},\pmb{\varepsilon})&=&\mathbf{0}, \\
\det D\mathbf{f}(\mathbf{x},\pmb{\varepsilon}) &=& 0
\end{eqnarray*}
vzhledem k $\mathbf{x}$ a jednomu vybranému parametru. Kromě jedné tedy fixujeme všechny složky $\pmb{\varepsilon}$.
Zda skutečně
dochází k bifurkaci sedlo-uzel můžeme ověřit až spočtením
vlastních hodnot Jacobiho matice
$D\mathbf{f}(\mathbf{x},\pmb{\varepsilon})$ v okolí kritické
hodnoty $\pmb{\varepsilon}_0$, přitom Jacobiho matice je vypočtena v rovnovážném bodě
$\mathbf{x}=\pmb{\beta}(\pmb{\varepsilon})$, který závisí na
parametru.
Další jednoparametrické bifurkace
Další jednoparametrické bifurkace počtu
rovnovážných bodů ve spojitých systémech:
Normální forma transkritické bifurkace
\begin{equation}
\dot x = \varepsilon x - x^2 \tag{16}
\end{equation}
Normální forma vidličkové (pitchfork) bifurkace
\begin{equation}
\dot x = \varepsilon x - x^3 \tag{17}
\end{equation}
Věta
Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrická rovnice
\begin{equation}
\label{gentrans} \tag{18}
\dot x = f(x,\alpha), \quad x \in \mathbb{R}, \; \alpha \in
\mathbb{R},
\end{equation}
kde $f$ je hladká funkce, která má pro $\alpha=\alpha_0$ nehyperbolickou rovnováhu $x=x_0$ ($\lambda=f_x(x_0,\alpha_0)=0$), která leží na průsečíku dvou větví rovnováh, tj. platí také $f_\alpha(x_0,\alpha_0) = 0$. Předpokládejme, že jsou navíc splněny podmínky
\begin{eqnarray*}
f_{xx}(x_0,\alpha_0) \neq 0 & \qquad \text{podmínka nedegenerovanosti},\\
f_{x\alpha}(x_0,\alpha_0) \neq 0 & \qquad \text{podmínka transverzality}.
\end{eqnarray*}
Pak je (18) v okolí rovnováhy $x_0$ lokálně topologicky
ekvivalentní systému v normální formě transkritické bifurkace
$$\dot y = \pm \varepsilon y \pm y^2$$
$$f(x,\alpha) = \cancel{f(x_0,\alpha_0)}+ \cancel{f_x(x_0,\alpha_0)}(x-x_0) + \cancel{f_\alpha(x_0,\alpha_0)}(\alpha-\alpha_0) +$$
$$+ \tfrac12 f_{xx}(x_0,\alpha_0)(x-x_0)^2 +f_{x\alpha}(x_0,\alpha_0)(x-x_0)(\alpha-\alpha_0) +$$
$$+ \text{ členy s vyššími mocninami}$$
Podmínka $f_{xx}(x_0,\alpha_0) \neq 0$ byla u fold bifurkace také podmínka nedegenerovanosti. Porušená je podmínka transverzality fold bifurkace, protože $f_\alpha(x_0,\alpha_0) = 0$, ale člen s $f_{x\alpha}(x_0,\alpha_0)$ nevymizí.
Věta
Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrická rovnice
\begin{equation}
\label{genvidl} \tag{19}
\dot x = f(x,\alpha), \quad x \in \mathbb{R}, \; \alpha \in
\mathbb{R},
\end{equation}
kde $f(x-x_0)$ je v okolí počátku lichá funkce, která má pro $\alpha=\alpha_0$ nehyperbolickou rovnováhu $x=x_0$ ($\lambda=f_x(x_0,\alpha_0)=0$). Předpokládejme, že jsou splněny podmínky
\begin{eqnarray*}
f_{xxx}(x_0,\alpha_0) \neq 0 & \qquad \text{podmínka nedegenerovanosti},\\
f_{x\alpha}(x_0,\alpha_0) \neq 0 & \qquad \text{podmínka transverzality}.
\end{eqnarray*}
Pak je (19) v okolí rovnováhy lokálně topologicky
ekvivalentní systému v normální formě vidličkové bifurkace
$$\dot y = \pm \varepsilon y \pm y^3$$
$$f(x,\alpha) = \cancel{f(x_0,\alpha_0)}+ \cancel{f_x(x_0,\alpha_0)}(x-x_0) + \cancel{f_\alpha(x_0,\alpha_0)(\alpha-\alpha_0)} +$$
$$ \cancel{\tfrac12 f_{xx}(x_0,\alpha_0)(x-x_0)^2}
+ f_{x\alpha}(x_0,\alpha_0)(x-x_0)(\alpha-\alpha_0)+$$
$$+\cancel{\tfrac12 f_{\alpha \alpha}(x_0,\alpha_0)(\alpha-\alpha_0)^2} + \tfrac16 f_{xxx}(x_0,\alpha_0)(x-x_0)^3 +$$
$$+ \text{ členy s vyššími mocninami}$$
Lichost funkce $f$ implikuje $f_{xx}(x_0,\alpha_0) = 0$, tedy je porušená podmínka nedegenerovanosti fold bifurkace. Ze stejného důvodu je porušená podmínka transverzality a $f_\alpha(x_0,\alpha_0) = 0$. První nevyrušené členy jsou s $ f_{x\alpha}(x_0,\alpha_0)$ a s $ f_{xxx}(x_0,\alpha_0)$.
Poznámka: Jak v případě fold, tak v případě transkritické bifurkace znaménko u $y^2$ odpovídá znaménku levé strany podmínky nedegenerovanosti. Podobně u vidličkové bifurkace je znaménko u $y^3$ znaménkem levé strany podmínky nedegenerovanosti. Znaménko u $\varepsilon$ odpovídá znaménku levé strany podmínky transversality.
