Cykly, limitní cykly, Poincarého řez

Co se naučíme:

definovat cyklus a limitní cyklus ve spojitém i diskrétním systému
pochopit souvislost cyklu v diskrétním systému s rovnováhou
pochopit metodu Poincarého řezu spojitého systému a pojem multiplikátoru cyklu
pochopit analogii fold bifurkace (spojité) v diskrétním případě
popsat vznik cyklu bifurkací fold
numericky kontinuovat cykly ve spojitém systému a nalézt bifurkaci LPC (fold cyklu)

Uvažujme spojitý obecný dynamický systém $\{T,\mathbf{X},\boldsymbol{\varphi}^t\}$. Doposud jsme se zabývali rovnováhou v takovém systému. Nyní budeme definovat jinou invariantní množinu takového systému – po rovnováze další „nejjednodušší“ možnou.

Definice

Cyklem rozumíme periodickou trajektorii $\mathbf{L}$, která není rovnovážným bodem, splňující $\forall \mathbf{x}_0 \in \mathbf{L}$ $$\boldsymbol\varphi^{t+T_0}\mathbf{x}_0=\boldsymbol\varphi^t\mathbf{x}_0,$$ pro nějaké $T_0>0$, $\forall t \in T$. Nejmenší takové $T_0$ nazýváme periodou cyklu $\mathbf{L}$. Limitním cyklem rozumíme cyklus, v jehož okolí nejsou jiné cykly.

Poznámka

V systému s cyklem vznikají periodické oscilace. Cyklus spojitého systému je uzavřená křivka v $\mathbf{X}$. Cyklem diskrétního systému je konečná uspořádaná $k$-tice bodů z $\mathbf{X}$.

U diskrétního systému $\mathbf{x}(n+1)=\mathbf{f}(\mathbf{x}(n))$ mluvíme často o cyklu délky $k=T_0$, protože jde o uspořádanou $k$-tici $$\mathbf{x}(0),\, \mathbf{x}(1),\, \mathbf{x}(2),\, \ldots \mathbf{x}(k-1),$$ pro kterou platí $\mathbf{x}(1)=\mathbf{f}(\mathbf{x}(0))$, $\mathbf{x}(2)=\mathbf{f}(\mathbf{x}(1))$, $\ldots$, $\mathbf{x}(k)=\mathbf{x}(0)=\mathbf{f}(\mathbf{x}(k-1))$. Uvědomme si navíc, že $$\mathbf{x}(0)=\mathbf{f}(\mathbf{x}(k-1))=\mathbf{f}(\mathbf{f}(\mathbf{x}(k-2)))= \ldots = \mathbf{f}^{(k)}(\mathbf{x}(0))$$ a tedy $\mathbf{x}(0)$ je nutně rovnováhou dynamického systému $$\mathbf{x}(n+1)=\mathbf{f}^{(k)}(\mathbf{x}(n)).$$

Na cyklus v diskrétním systému tedy můžeme pohlížet jako na rovnováhu jiného diskrétního dynamického systému. Takový myšlenkový postup ale lze použít i u spojitého systému.

Uvažujme nyní spojitý $m$-rozměrný systém \begin{equation} \label{cn2} \mathbf{\dot x} = \mathbf{f}(\mathbf{x}).\tag{23} \end{equation}

Předpokládejme navíc, že systém (23) má periodickou trajektorii $\mathbf{L}$ – cyklus. V nějakém bodě $\mathbf{x}_0 \in \mathbf{L}$ uvažujme hladkou $m-1$-rozměrnou varietu (např. nadrovinu) $$\boldsymbol{\Sigma}=\{ g(\mathbf{x})=0 : g:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, g(\mathbf{x}_0)=0 \},$$ která je tzv. transverzální, což znamená, že není v bodě $\mathbf{x}_0 $ tečná $\mathbf{L}$, tedy řeže cyklus $\mathbf{L}$. V angličtině se jí proto říká Poincaré cross-section $\boldsymbol{\Sigma}$ – česky Poincarého řez.

Podmínku transverzality můžeme zapsat pomocí gradientu funkce $g$ (normálového vektoru $\Sigma$) takto:

$$\langle \nabla g(\mathbf{x}_0),\mathbf{f}(\mathbf{x}_0) \rangle \neq 0,$$

tedy normálový vektor $\boldsymbol{\Sigma}$ nesmí být kolmý k trajektorii cyklu $\mathbf{L}$. Je zřejmé, že takovou varietou může být například rovina kolmá k $\mathbf{L}$ v $\mathbf{x}_0$:

$$g(\mathbf{x}) = \langle \mathbf{f}(\mathbf{x}_0), (\mathbf{x}-\mathbf{x}_0) \rangle = 0.$$

Poincarého zobrazení

Na této varietě v okolí $\mathbf{x}_0$ nyní definujeme zobrazení $\mathbf{P}: \boldsymbol{\Sigma} \to \boldsymbol{\Sigma}$, které zobrazuje bod $\mathbf{x}$ trajektorie $\boldsymbol\varphi^t\mathbf{x}$ systému (23) na následující průsečík této trajektorie s varietou $\boldsymbol{\Sigma}$.

Zobrazení $\mathbf{P}$ se nazývá Poincarého zobrazení příslušné cyklu $\mathbf{L}$. Lokálně takto definujeme diskrétní dynamický systém $\{ \mathbb{N}, \boldsymbol{\Sigma}, \mathbf{P}^n\}$ s pevným bodem $\mathbf{x}_0 \in \mathbf{L}$. Pokud na $m-1$-rozměrné $\boldsymbol{\Sigma}$ zvolíme souřadný systém s počátkem v $\mathbf{x}_0$, bude možné v těchto souřadnicích $\pmb{\xi}=(\xi_1, \dots , \xi_{m-1})$ zapsat Poincarého zobrazení jako diferenční systém $$\pmb{\xi}(n+1)=\mathbf{P}(\pmb{\xi}(n))$$ s pevným bodem $\mathbf{0}$ a maticí linearizovaného systému $D\mathbf{P}(\mathbf{0})$. Cyklus $\mathbf{L}$ bude stabilní (atrahující), pokud budou všechny vlastní hodnoty $D\mathbf{P}(\mathbf{0})$ v absolutní hodnotě menší jedné. Tato vlastní čísla se někdy nazývají charakteristické (Floquetovy) multiplikátory cyklu. Lze ukázat, že vlastní hodnoty matice linearizovaného systému nezávisí ani na volbě bodu $\mathbf{x}_0$, ani na volbě $\boldsymbol{\Sigma}$ a ani na volbě souřadnic.

Příklad Poincarého zobrazení

Předchozí příklad je ojedinělým případem, kdy lze Poincarého zobrazení explicitně vyjádřit. Většinou jej počítáme numericky, program XPPAUT má tuto možnost předprogramovanou. Rozhodnutí o stabilitě cyklu spojitého systému jsme převedli na rozhodnutí o stabilitě rovnováhy (pevného bodu) Poincarého zobrazení. Podobně i o stabilitě diskrétního cyklu délky $k$ můžeme rozhodovat na základě znalosti velikosti vlastních čísel rovnováhy $k$-násobně složeného zobrazení.

Bifurkace rovnováhy jistého diskrétního systému tedy bude bifurkací příslušnou cyklu.

Fold bifurkace v diskrétním systému

Uvažujme diferenční rovnici s parametrem tvaru \begin{equation} \label{fold} x(n+1) = \varepsilon + x(n) - x(n)^2, \quad x(n) \in \mathbb{R}, \, \varepsilon \in \mathbb{R}.\tag{24} \end{equation} Pevné body splňují $f(x,\varepsilon) := \varepsilon + x - x^2 = x$, tj. leží na křivce $\varepsilon=x^2$. Pro $\varepsilon <0$ systém (24) nemá žádný pevný bod, pro $\varepsilon=0$ je pevný bod $x_0=0$ a pro $\varepsilon >0$ jsou pevné body dva $x=\pm \sqrt \varepsilon$. Parametr $\varepsilon=0$ je tedy bifurkační hodnotou a při jeho přechodu v okolí počátku dochází k lokální bifurkaci typu fold (ohyb). Bod $(x_0,\varepsilon_0)=(0,0)$ je tzv. limitním bodem. Všimněte si, že vlastní hodnota $\lambda = Df(0,0) = 1$.

Věta

Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrický systém (rovnice) \begin{equation} \label{genfold} x(n+1) = f(x(n),\alpha), \quad x(n) \in \mathbb{R}, \; \alpha \in \mathbb{R},\tag{25} \end{equation} kde $f$ je hladká funkce, má pro $\alpha=\alpha_0$ pevný bod $x=x_0$ a $\lambda=f_x(x_0,\alpha_0)=1$. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky \begin{eqnarray*} f_{xx}(x_0,\alpha_0) \neq 0 & \qquad \text{podmínka nedegenerovanosti},\\ f_{\alpha}(x_0,\alpha_0) \neq 0 & \qquad \text{podmínka transverzality}. \end{eqnarray*} Pak je (25) v okolí pevného bodu lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě $$y(n+1) = \varepsilon + y(n) \pm y(n)^2$$

Ve vícerozměrném případě k této bifurkaci dochází v případě, že Jacobiho matice $\mathbf{J}$ má právě jednu vlastní hodnotu $\lambda=1$.

Fold cyklu – LPC

Při ohybu variety pevného bodu Poincarého zobrazení tedy dochází v původním spojitém systému vzniku respektive zániku dvou cyklů, které se navzájem dotknou. Jde o generický, typický jev, ke kterému dochází při generické fold bifurkaci Poincarého zobrazení (tedy vždy, když jsou splněny podmínky nedegenerovanosti a transverzality).

Stejně jako v případě ohybu variety rovnováh, i zde může tento jev vést k nenadálému zániku (vzniku) stabilního atraktoru (cyklu) při malé změně parametru. Typickým příkladem takového jevu je vznik periodických vzruchů v neuronu, prudké rozkmitání křídel letadla (proto se testují ve větrném tunelu) nebo mostu při silném (bočním) větru, nebo rozkmitání turbíny při jejím zastavování (test s vrtačkou). Je to taky jeden z důvodů, proč mají větrné elektrárny 3 lopatky. Přijdete na to proč?

FitzHughův–Nagumův model neuronu

V roce 1948 provedl Alan Lloyd Hodgkin pokusy, při kterých zaváděl stejnosměrný proud různých velikostí do axonů nervových buněk a sledoval, že některé hodnoty proudu vyvolaly série impulzů o různých frekvencích, jiné vyvolávaly jen jeden impulz nebo byly bez odezvy. V roce 1952 pak A. L. Hodgkin a Andrew Fielding Huxley publikovali sérii článků, ve kterých popsali toky elektrických proudů povrchovou membránou nervového vlákna matematickým modelem, který je dnes známý jako Hodgkin-Huxleyho model. Sestává ze soustavy 4 nelineárních diferenciálních rovnic, které velmi dobře popisují chování neuronu.

FitzHughův–Nagumův model neuronu V roce 1961 Richard FitzHugh publikoval zjednodušený model, který vykazuje obdobné chování, protože je zjednodušením projekce 4-rozměrného Hodgkin-Huxleyho modelu na dvojrozměrnou varietu.

\begin{align*} \dot V=&V-\frac{1}{3}{V}^{3}-w+i\\ \dot W=&a\left(bV-cW+d\right) \end{align*}

$V$ membránový potenciál
$W$ proměnná související s návratem
$i$ dodávaný proud
$a, b, c, d$ parametry

V základním modelu excitace neuronu jsme si představili jen první rovnici pro membránové napětí $V$, bez proměnné $W$, která byla navíc posunutá: $$\dot x = kx(a-x)(x-1)+i$$ Nyní prahový parametr chybí. Ostatní parametry i stavová proměnná $W$ vycházejí z popisu kinetiky chemických reakcí na membráně axonu (přenos signálu je zprostředkován změnami koncetrací iontů $K^+$, $Na^+$, $Cl^-$ a anionty bílkovin), $a, \, b, \,c > 0$. Druhá rovnice je obnovovací, má pomalejší odezvu (proto je zde ponechán parametr $a$) a umožňuje vznik impulzu, který následně ukončí.

Fázové portréty pro $a = 0.2, b = 1, c = 0.8, d = 0.7$. Vyzkoušejte si je nakreslit v XPPAUTu.

Neuron odpovídá vysíláním oscilujícího signálu jen pro určité hodnoty dodávaného proudu $i$, k vzniku a zániku oscilací dochází fold bifurkací limitního cyklu. Dokud se nezvýší proud do dostatečné hodnoty, neuron nereaguje, pokud je proud příliš velký, také ne. V programu MATCONT zjistěte prahové hodnoty proudu.
Parametry: $a = 0.2, b = 1, c = 0.8, d = 0.7$.
V MATCONTu je možné kontinuovat cyklus, ale je třeba jej nejprve načíst. Návod najdete zde.

Numerické výpočty bifurkačních variet

Hopfova bifurkace

M6201 Nelineární dynamika a její aplikace

RNDr. Lenka Přibylová, Ph.D.