4.2 Válcové (cylindrické) souřadnice
Válcová soustava je vhodná pro popis osově symetrických (rotačních) jevů.
Souřadnicové směry jsou: $\rho$ - vzdálenost od osy válcové symetrie, $\phi$ - azimutální úhel, $z$ - výška (pokud bychom uvažovali pouze soustavu v $\mathbb{R}^2$, kde $z=0$, potom se jedná o soustavu, běžně nazývanou jako polární), kde $\rho\in\langle 0,\infty),\,\phi\in\langle 0,2\pi),\,z\in(-\infty,\infty)$. Válcová soustava je tedy ortogonální. Převod mezi válcovou a kartézskou soustavou je dán vztahyV dalším popisu budeme rozlišovat $\rho$ pro radiální válcovou souřadnici, $r$ pro radiální kulovou souřadnici. V případě jednotkových bázových vektorů budeme rozlišovat $\vec{e}_\rho$ pro válcovou a $\vec{e}_r$ pro kulovou soustavu.
Pro zpětnou transformaci platí
Jednotkové vektory válcové báze budou mít v kartézské soustavě tvar (viz obrázek 4.1)
Jediným konstantním bázovým vektorem bude vektor $\vec{e}_z$, ostatní bázové vektory mění směr v závislosti na úhlu $\phi$.
Souřadnicovými křivkami ve válcové soustavě budou:
- polopřímky $s_\rho$ s počátkem na ose $z$, ležící v rovině kolmé k ose $z$ ($\phi=\text{konst.}$, $z=\text{konst.}$),
- kružnice $s_\phi$ se středem na ose $z$, ležící v rovině kolmé k ose $z$ ($\rho=\text{konst.}$, $z=\text{konst.}$, $\rho=0$ dává bod na ose $z$),
- přímky $s_z$ rovnoběžné s osou $z$ ($\rho=\text{konst.}$, $\phi=\text{konst.}$, $\rho=0$ dává osu $z$).
Souřadnicovými plochami ve válcové soustavě budou:
- rotační válcové plochy $S_\rho$ s osou rotace v ose $z$ ($\rho=\text{konst.}$; $\rho=0$ dává osu $z$),
- poloroviny $S_\phi$ procházející osou $z$ ($\phi=\text{konst.}$),
- roviny $S_z$ rovnoběžné s rovinou $\rho$-$\phi$ ($z=\text{konst.}$).
Pro druhou mocninu vzdálenosti dvou bodů v diferenciálním tvaru (dosazením rovnice (4.2) do rovnice (4.1)) ve válcové soustavě platí
což můžeme opět považovat za druhou mocninu délky tělesové úhlopříčky elementárního kvádru
, respektive klínku
o hranách
$\d s_\rho=\d\rho$, $\d s_\phi=\rho\D\phi$, $\d s_z=\d z$.
Ve válcové soustavě dostáváme tedy Laméovy koeficienty $h_\rho=1,h_\phi=\rho,h_z=1$.
Z infinitesimálních, vzájemně kolmých hranových úseček respektive obloučků,
zkonstruujeme plošné elementy
a také objemový element válcové soustavy
Na rozdíl od kartézské soustavy nejsou všechny tyto elementy konstantní, jejich velikost (s výjimkou plošného elementu $\d S_\phi$) evidentně roste přímo úměrně vzdálenosti $\rho$ od osy $z$.