Přechod na menu, Přechod na obsah, Přechod na patičku
     

Náhodné veličiny a náhodné vektory


5. Náhodné veličiny absolutně spojitého typu

Než zavedeme pojem absolutně spojité náhodné veličiny, připomeneme některé pojmy a bez důkazů i vlastnosti z matematické analýzy, které se týkají absolutně spojitých funkcí.

5.1. Absolutní spojitost a její vlastnosti

Definice 5.1. Funkce $F(x)$ je absolutně spojitá (na $\mathbb{R}$), jestliže k libovolnému $\varepsilon\gt 0$ existuje také $\delta\gt 0$ takové, že pro každou posloupnost reálných čísel $a_1\lt b_1\lt a_2\lt b_2\lt \cdots \lt a_n\lt b_n$ takovou, že $\sum\limits_{i=1}^n(b_i-a_i)\lt \delta$ platí $\sum\limits_{i=1}^n|F(b_i)-F(a_i)|\lt \varepsilon$.
Věta 5.2. Vlastnosti absolutně spojité funkce.
  1. Jestliže $F$ je absolutně spojitá, tak je i spojitá.
  2. Jestliže $F$ je absolutně spojitá, tak má skoro všude (s.v.) vzhledem k Lebesgueově míře vlastní derivaci. Tato derivace je integrovatelná v Lebesguově smyslu a platí $$ F(x)=\int\limits_{a}^x F'(t)dt+F(a) \quad\text{ pro každé } a\in\mathbb{R}. $$
  3. Jestliže $F$ je absolutně spojitá a platí $F'(x)=0$ skoro všude (vzhledem k Lebesgueově míře), potom je $F$ konstantní skoro všude (vzhledem k Lebesgueově míře).
  4. Je-li $F$ neurčitým integrálem funkce $f$ v Lebesgueově smyslu, tj. $F(x)=\int f(x)dx$, pak je $F$ absolutně spojitá a platí $ F'(x)=f(x)$ skoro všude (vzhledem k Lebesgueově míře).
  5. Jestliže $F$ je absolutně spojitá, pak má na každém konečném intervalu $\langle a,b \rangle$ konečnou variaci, tj. $\bigvee\limits_{a}^b(F)= \sup\limits_{D_n}\sum\limits_{i=1}^n |F(x_i)-F(x_{i-1})|$, přičemž suprémum se bere přes všechna $n\in\mathbb{N}$ a všechna možná dělení intervalu $\langle a,b \rangle D_n=\{a=x_0\lt x_1\lt \cdots\lt x_n=b\}. $

5.2. Definice absolutně spojité náhodné veličiny

Definice 5.3. Řekneme, že náhodná veličina $X$ definovaná na $(\Omega,\mathcal{A},P)$ je absolutně spojitého typu, jestliže existuje nezáporná integrovatelná funkce $f$ taková, že rozdělení pravděpodobností $$P_X(B)=\int\limits_{B}f(x)dx \qquad\text{pro každé }\qquad B\in\mathcal{B}.$$

Funkci $f$ nazýváme hustotou rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny $X$ absolutně spojitého typu, stručněji $f$ je hustotou $X$.

Věta 5.4. Vlastnosti hustoty. Nechť $X$ je náhodná veličina absolutně spojitého typu, $f$ její hustota a $F$ její distribuční funkce. Pak
  1. $\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)dx=1$
  2. $F(x)=\int\limits_{-\infty}^x f(t)dt$
  3. $F$ je absolutně spojitá funkce.
  4. Hustota $f$ je určena skoro všude jednoznačně vzhledem k Lebesgueově míře, tj. jsou-li $f$ a $g$ hustoty náhodné veličiny $X$, pak $\mu\left(\{x:f(x)\neq g(x)\} \right)=0$, kde $\mu$ je Lebesgueova míra.
  5. Existuje $F'$ skoro všude vzhledem k Lebesgueově míře a funkce $g(x)=F'(x)$ je hustotou náhodné veličiny $X$.
  6. Pro každé $a\lt b$ platí $F(b)-F(a)=\int\limits_a^b f(x)dx$
    a také $P(a\lt X\leq b)=P(a\leq X\lt b)=P(\leq X \leq b)=\int\limits_a^b f(x)dx$.
  7. Existuje-li v bodě $x$ derivace $F'(x)$, pak $P\left(x-\frac{h}{2}\lt X\leq x+\frac{h}{2}\right)=hf(x)+o(h)$, kde funkce „malé o“ je taková, že $\lim\limits_{h\to0}\frac{o(h)}{h}=0$
Důkaz.
  1. Je-li $f$ hustota náhodné veličiny $X$, pak podle definice $P_X(B)=\int\limits_{B}f(x)dx$ pro $\forall B\in\mathcal{B}$. Položme $B=\mathbb{R}$ a počítejme $\quad$ $P_X(B)=P_X(\mathbb{R})={1}=\int\limits_{\mathbb{R}}f(x)dx ={\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)dx}$.
  2. Víme, že $\quad$ ${F(x)} \stackrel{def}{=}P(X\leq x)=P_X((-\infty,x\rangle) \stackrel{def}{=} {\int\limits_{-\infty}^x f(t)dt}$.
  3. Protože platí $F(x)=\int\limits_{-\infty}^x f(t)dt$, kde $f$ je integrovatelná funkce, pak protože $F$ je integrálem integrovatelné funkce, je $F$ absolutně spojitá (viz V.5.2 (4)).
  4. Předpokládejme, že $f$ a $g$ jsou hustoty náhodné veličiny $X$, tj. pro $\forall\; B\in\mathcal{B}$ platí $P_X(B)=\int\limits_B f(x)dx=\int\limits_B g(x)dx$ $\quad\Rightarrow\quad$ $\int\limits_B [f(x)-g(x)]dx=0$ $\quad\Rightarrow\quad$ ${\mu\left(\{x:f(x)\neq g(x)\} \right)=0}$, kde $\mu$ je Lebesgueova míra.
  5. viz vlastnost $(2)$ absolutně spojité funkce - V.5.2.
  6. $P(a\lt X\leq b)\stackrel{V.2.3,(7)}{=}F(b)-F(a) \stackrel{(2)}{=}\int\limits_a^b f(x)dx$.
    Dále víme, že platí (viz V.2.3,vl.(5)) $P(X=x)=F(x)-\lim\limits_{y\to x^-} F(y)$.
    Protože distribuční funkce je absolutně spojitá, tak je také spojitá v každém bodě, takže platí $$\lim\limits_{y\to x^-} F(y)=F(x)\quad\Rightarrow\quad P(X=x)=0$$ a odtud již plyne, že $${P(a\lt X\leq b)=P(a\leq X\lt b)=P(\leq X \leq b)=\int\limits_a^b f(x)dx}.$$
  7. Existuje-li v bodě $x$ derivace $F'(x)$, pak můžeme psát
    $$ f(x)=F'(x)= \lim\limits_{h\to 0} \frac{F\left(x+\frac{h}{2}\right)-F\left(x-\frac{h}{2}\right)}{h}= \lim\limits_{h\to 0} \frac{P\left(x-\frac{h}{2}\lt X\leq x+\frac{h}{2}\right)}{h}-\lim\limits_{h\to 0}\frac{o(h)}{h}.$$
\(\Box\)
RNDr. Marie Forbelská, Ph.D., Mgr. Jan Koláček, Ph.D. |
ÚMS, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |
Stránky Přírodovědecké fakulty MU
| Technická spolupráce:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2013

Centrum interaktivních a multimediálních studijních opor pro inovaci výuky a efektivní učení | CZ.1.07/2.2.00/28.0041