Analytická geometrie

Obsah oddílu

Kružnice

Stručný přehled teorie

Kuželosečka – průnik kruhové kuželové plochy $s$ $o$ vrcholu $O$ a roviny $\alpha$.

Typy kuželoseček:

  • Kružnice – je-li rovina $\alpha$ kolmá k ose $o$ kuželové plochy $s$
  • Elipsa – jestliže rovina $\alpha$ není kolmá k ose plochy s a zároveň není rovnoběžná s žádnou přímkou kuželové plochy $s$
  • Parabola – je-li rovina $\alpha$ rovnoběžná právě s jednou přímkou kuželové plochy $s$
  • Hyperbola – je-li rovina $\alpha$ rovnoběžná s dvěma různými přímkami kuželové plochy $s$

Kružnice:

Kružnice $k(S;r)$ je množina všech bodů X roviny, jejichž vzdálenost od daného bodu $S$ (středu kružnice) je konstantní a rovná se poloměru $r$. Tedy $k(S;r)=\{ X \in \rho;\, \yb{|XS|=r},r>0 \}$. Je-li $X[x;y]$ a $S[m;n]$, pak $k(S;r)=\{ X\in \rho; \yb{\sqrt{(x-m)^2+(y-n)^2} =r},r>0 \}$. Umocněním na druhou obou stran rovnice v zápisu $k(S;r)$ získáme rovnici kružnice ve středovém tvaru.

Rovnice kružnice
  1. středová
    1. $\vb{S[0;0]} \dots \vb{k (S;r): x^2+y^2 = r^2}$
    2. $\pb{S[m;n]} \dots \pb{k (S;r): (x-m)^2 + (x-n)^2= r^2}$
  2. obecná $x^2 \rtt{– 2mx} \gtt{+ m^2} + y^2 \btt{– 2n}y + \gtt{n^2 – r^2} = 0$
    $k (S; r): x^2 + y^2 + \rtt{A}x + \btt{B}y + \gtt{C} = 0$
Pozn.:
  1. každá rovnice typu $(x-m)^2 + (y-n)^2= r^2$ je rovnicí některé kružnice;
  2. každá rovnice typu $(x-\rtt{m})^2 + (y-\rtt{n})^2= \rtt{r}^2$ obsahuje očividnou informaci jednak o středu kružnice $S[\rtt{m};\rtt{n}]$ (odsud plyne název rovnice – středová), jednak o poloměru $\rtt{r}$ této kružnice;
  3. každá rovnice typu $(x-m)^2 + (y-n)^2= r^2$ se dá prostým provedením naznačených operací velmi snadno převést z tohoto středového tvaru do tvaru obecného (každá kružnice má středovou i obecnou rovnici);
  4. rovnice typu $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ je obecnou rovnicí kružnice pouze v případě, že je možné ji převést do středového tvaru;
Vzájemná poloha bodu a kružnice:

Nechť je dána kružnice $k: x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ a bod $M[x_M; y_M]$. Levou stranu rovnice kružnice označíme $L(x, y)$. Pak platí:

  1. Je-li $L(x_M; y_M) = 0$, pak $M \in k$.
  2. Je-li $L(x_M; y_M) > 0$, pak $M$ leží vně $k$.
  3. Je-li $L(x_M; y_M) < 0$, pak $M$ leží uvnitř kruhu s hranicí $k$.
Vzájemná poloha přímky a kružnice:

Je dána počtem společných bodů. Řeší se tedy soustava kvadratické rovnice (kružnice) a lineární rovnice (přímky).

Rovnice kružnice

$k: x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$
$p: ax + by + c = 0$
- soustava dvou rovnic o dvou neznámých.

Může nastat, že soustava má:

  1. 2 řešení: $k \cap p = \{ P_1; P_2 \} \dots p = \gtt{s} \dots$sečna
  2. 1 řešení: $k \cap p = \{ T \} \dots p = \rtt{t} \dots$tečna
  3. 0 řešení: $k \cap p = \oslash \dots p = \btt{n} \dots$vnější přímka

Rovnice tečny vedené ke kružnici $k (S;r)$ v jejím bodě $T[x_0;y_0]$:
$t: (x_0-m)(x-m)+(y_0-n)(y-n)=r^2$

Rovnice kružnice

Kruh:

$K(S;r)$ je množina všech bodů $X$ roviny, jejichž vzdálenost od daného středu $S$ je menší nebo rovna $r$. Tedy $K(S;r) = \{ X \in \rho ; |XS| ≤ r,r>0 \}$.

Analytické vyjádření kruhu $K (S;r)$:

$\begin{align} & K: (x-m)^2+(y-n)^2≤r^2 \\ nebo \; & K: x^2+y^2+ Ax + By + C ≤ 0 \end{align}$

Kulová plocha:

$k (S;r)$je množina všech bodů $X$ v prostoru, jejichž vzdálenost $r$ od daného bodu $S$ je konstantní (je rovna $r>0$). Tedy $k (S;r) = \{ X \in \pi_3; |XS|=r,r>0 \}$.

Rovnice kulové plochy:

$k (S;r): (x-m)^2+(y-n)^2+(z-k)^2=r^2$, kde $S[\textit{m;n;k}]$ je střed kulové plochy;

Koule:

$K (S;r)$ je množina všech bodů X v prostoru, jejichž vzdálenost od daného středu $S$ je menší nebo rovna $r$. Tedy $K (S;r) = \{ X \in \pi_3; |XS|≤r,r>0 \}.$

Analytické vyjádření koule $K (S;r)$:

$K (S;r): (x-m)^2+(y-n)^2+(z-k)^2≤r^2$

Tečná rovina v bodě $T[x_0;y_0;z_0 ]$:
$\tau: (x_0-m)(x-m) +(y_0-n)(y-n)+(z_0-k)(z-k) = r^2$

Metodika

Následující úlohy byly většinou vybrány ze Sbírky úloh z matematiky (SÚM) Jindry Petákové. Metodické rady jsou uváděny průběžně s řešeními všech těchto úloh, nebo z těchto řešení vyplývají.

Jako první by měl učitel naučit studenty určování rovnice kružnice při nejrůznějších způsobech jejího zadání. Velmi dobré je u většiny úloh využívat náčrty. Některých zadání by měl zároveň využít k tomu, aby si studenti důkladně procvičili přechod od obecné rovnice kružnice ke středové rovnici a naopak.

Úloha 10.5.1

Napište rovnici kružnice $k$, je-li dáno:

  1. úsečka $AB$ je její průměr, $A[-1;5],B[3;7]$;
  2. kružnice $k$ se dotýká přímky $p:3x-4y+6=$ a má střed v bodě $S[-5;4]$;
  3. kružnice $k$ se dotýká přímky $p:2x-y-4=0$ v bodě $P[3;2]$ a má poloměr $r=2\sqrt{5}$;
  4. kružnice $k$ má poloměr $r=5$, dotýká se přímky $p:3x+4y-15=0$ a její střed leží na přímce $q:x+2y+6=0$;
  5. kružnice $k$ vytíná na přímce $p:y=2x+4$ tětivu délky $8$ a má střed v bodě $S[-5;4]$;
  6. kružnice $k$ se dotýká osy $y$ v bodě $Y[0;-4]$ a osu $x$ protíná v bodě $X[6;0]$;
  7. kružnice $k$ se dotýká obou souřadnicových os a její střed leží na přímce $p:x+3y-4=0$;
  8. kružnice $k$ prochází body $K[3;2],L[1;-4]$ a má střed na přímce
    (a) na přímce $p:x-y+9=0$,
    (b) na přímce $p:x+3y+1=0$;
  9. kružnice $k$ je opsaná trojúhelníku $\triangle KLM: K[5;0],L[2;-1],M[1;2]$;

Řešení 10.5.1

Úloha 10.5.2

Rozhodněte, které z následujících rovnic jsou rovnicí kružnice. V případě, že se jedná o kružnici, určete souřadnice středu a poloměr:

  1. $x^2+y^2-12x+40=0$,
  2. $x^2+y^2-4x-6y+13=0$,
  3. $x^2+y^2+6x-y+9=0$,
  4. $4x^2+4y^2-16y-9=0$;
 Při převodu rovnice kružnice z obecného do středového tvaru využíváme doplnění na čtverec (doplnění třetího členu kvadratického trojčlenu za účelem jeho zápisu v podobě druhé mocniny lineárního dvojčlenu), což studenti znají …

Řešení 10.5.2

Metodika

Dalšími úlohami, které by studenti měli zvládat, jsou úlohy o vzájemných polohách kružnic a přímek (případně dalších lineárních útvarů), různé typy úloh o tečnách kružnic a kombinované úlohy.

Úloha 10.5.3

Určete vzájemnou polohu přímky a kružnice:

  1. $p:2x-y-6=0, \; k:x^2+y^2-4x-5y-1=0$,
  2. $p:x+y-8=0, \; k:x^2+y^2+18x+14y+114=0$,
  3. $p:x-2y-1=0, \; k: (x-4)^2+(y+1)^2=5$;

Řešení 10.5.3

Úloha 10.5.4

Najděte rovnice tečen, které lze vést k dané kružnici daným bodem. Lze-li vést daným bodem tečny dvě, určete i velikost úhlu, pod kterým je z něj danou kružnici vidět:

  1. $k: x^2+y^2-6x-10y+9=0, \; M[-1;2]$,
  2. $k: x^2+y^2=25, \; M[3;4]$,
  3. $k: x^2+y^2+3x+4y-6=0, \; M[-7;-2]$;

Řešení 10.5.4
Pozn.: Při výpočtu velikosti úhlu $\varphi$, pod kterým je z daného bodu $M$ vidět danou kružnici $k$, se studenti občas dopouštějí chyby tím, že jej počítají jako odchylku $\alpha$ příslušných tečen. Učitel by je měl nejlépe za pomoci náčrtu upozornit, že zatímco odchylka přímek je vždy úhel $\alpha$$\in 〈0;\frac{\pi}{2}〉$, může být kružnice viděna z daného bodu v závislosti na jeho poloze vzhledem ke kružnici nejen pod ostrým či pravým úhlem, ale i pod úhlem tupým. Úhel $\varphi$ je proto nutné počítat jako odchylku vektorů (viz př. 10.5.4 c)), nikoliv jako odchylku přímek: Řešení 10.5.4

Úloha 10.5.5

Je dána kružnice $k: x^2+y^2-6x-4y-12=0$ a přímka $p:x-7y+36=0$.

  1. Zapište středovou rovnici kružnice $k$.
  2. Určete průsečíky kružnice $k$ a přímky $p$.
  3. Napište rovnice tečen kružnice k v jejích průsečících s přímkou $p$.
  4. Napište rovnici kružnice $l$, která má střed ve středu kružnice $k$ a přímky $p$ se dotýká.

Řešení 10.5.5

Úloha 10.5.6

Napište rovnici tečny kružnice $k: x^2+y^2-8x-y+5=0$, která je rovnoběžná s přímkou $p:2x-y+2=0$.

  • Má-li být tečna $t$ rovnoběžná s přímkou $p: \ott{2}x \ott{-1}.y+2=0$, pak musí mít rovnici $t: \ott{2}x \ott{-1}.y+c=0$.
  • Tečna $t$ musí mít s kružnicí $k$ právě jeden společný bod. To znamená, že soustava kvadratické rovnice kružnice a lineární rovnice přímky musí mít právě jedno společné řešení: $\begin{align} & x^2+y^2-8x-y+5=0 \\ & y=2x+c \end{align}$
    … absolutní člen $c$ je v této soustavě parametrem,
    $\;\;\, $ pro který musíme najít takovou hodnotu, aby
    $\;\;\, $soustava měla právě jedno řešení;

    $\begin{align} & x^2+(2x+c)^2-8x-(2x+c)+5=0 \\ & 5x^2+4cx-10x+c^2-c+5=0 \\ & 5x^2+2x.(2c-5)+c^2-c+5=0 \end{align}$

    … kvadratická rovnice s neznámou $x$ a
    parametrem $c$. Aby měla právě jedno řešení, její
    diskriminant se musí rovnat nule:

    $D=[2.(2c-5)]^2-4.5.(c^2-c+5)=16c^2-80c+100-20c^2+20c-100 =$
    $\quad \, = -4c^2-60c=-4c.(c+15); \qquad D=0 $ $ \Leftrightarrow ( c=0 ∨c=-15)$;

  • $c=0 \Rightarrow \cb{t_1:2x-y=0} ; \qquad c=-15 \Rightarrow \cb{t_2:2x-y-15=0}$;

Úloha 10.5.7

Napište rovnici tečny kružnice $k: x^2+y^2-x-2y=0$, která je kolmá k přímce $p:2x-y+6=0$.

  • Má-li být tečna $t$ kolmá k přímce $p:2x-y+6=0$, pak musí mít rovnici $t:x+2y+c=0$.
  • Tečna $t$ musí mít s kružnicí $k$ právě jeden společný bod. To znamená, že soustava kvadratické rovnice kružnice a lineární rovnice přímky musí mít právě jedno společné řešení: $\begin{align} & x^2+y^2-x-2y=0 \\ & x+2y+c=0 ⇒x=-2y-c \end{align}$
    … absolutní člen $c$ je v této soustavě parametrem,
    $\;\;\, $ pro který musíme najít takovou hodnotu, aby
    $\;\;\, $soustava měla právě jedno řešení;

    $\begin{align} & (-2y-c)^2+y^2-(-2y-c)-2y=0 \\ & 5y^2+4cy+c^2+c=0\end{align}$
    … kvadratická rovnice s neznámou $x$ a
    parametrem $c$. Aby měla právě jedno řešení, její
    diskriminant se musí rovnat nule:

    $D=16c^2-20.(c^2+c)=-4c^2-20c=-4c.(c+5)$;
    $D=0 \Leftrightarrow (c=0 ∨ c=-5)$;

  • $c=0 \Rightarrow \cb{t_1:x+2y=0}$;
    $c=-5 \Rightarrow \cb{t_2:x+2y-5=0}$;

Úloha 10.5.8

Napište rovnici kružnice k vepsané trojúhelníku $\triangle KLM,K[2;1],L[6;4],M[6;1]$.

Řešení 10.5.8

Metodika

Najde-li učitel při probírání kuželoseček dostatek času, nabízí mu analogie výpočtů v rovině a v prostoru možnost zařadit alespoň několik úloh na kulovou plochu, kouli, jejich tečné roviny, vzájemnou polohu kulové plochy či koule a roviny, vzájemnou polohu kulové plochy či koule a přímky, apod.

Úloha 10.5.9

Určete střed a poloměr kulové plochy, která má rovnici $k: x^2+y^2+z^2+10x-5y-4z-2=0$.

$k: (x^2+10x\rtt{+25})+(y^2-5y+\gtt{\frac{25}{4}})$$+(z^2-4z\ott{+4})=2\rtt{+25}\gtt{+\frac{25}{4}}\ott{+4}$

$k: (x+5)^2+(y-\frac{5}{2})^2+(z-2)^2=\frac{149}{4}$

Střed kulové plochy je $\cb{S[-5;\frac{5}{2};2]}$, poloměr kulové plochy je $\cb{r=\frac{\sqrt{149}}{2}}$;

Úloha 10.5.10

Určete všechny hodnoty parametru $m \in R$, pro něž daná rovnice vyjadřuje kulovou plochu: $x^2+y^2+z^2-4x+2z+m=0$.

$(x^2-4x\rtt{+4})+y^2+(z^2+2z\gtt{+1})=-m\rtt{+4}\gtt{+1}$

$(x-2)^2+y^2+(z+1)^2=5-m$ … tato rovnice bude rovnicí kulové plochy právě
tehdy, když $5-m>0$, tedy $\cb{m< 5}$;

Úloha 10.5.11

Je dána kulová plocha $k: x^2+y^2+z^2-4x+6y-10z=0$ a její bod $A[-4;-4;4]$. Napište rovnici tečné roviny vedené ke kulové ploše k bodem $A$.

  • Převod rovnice kulové plochy do středového tvaru:
    $\begin{align} & k: (x^2-4x\rtt{+4})+(y^2+6y\gtt{+9})+(z^2-10z\ott{+25})=\rtt{4}\gtt{+9}\ott{+25} \\ & k: (x-2)^2+(y+3)^2+(z-5)^2=38; \end{align}$
  • Rovnice tečné roviny v bodě $T[x_0;y_0;z_0 ]$:
    $\tau: (x_0-2)(x-2)+(y_0+3)(y+3)+(z_0-5)(z-5)=38$;
    Bod $A$ je bodem dotyku:
    $\tau: (-4-2)(x-2)+(-4+3)(y+3)+(4-5)(z-5)=38$;
    $\tau: -6.(x-2)-(y+3)-(z-5)=38$;
    $\tau :6x+y+z+24=0$;

Úloha 10.5.12

Je dána kulová plocha $k: x^2+y^2+z^2-8x-4y+6z+4=0$ a její sečná rovina $\rho:2x-2y+z+8=0$. Vypočítejte poloměr kružnice $l=k \cap \rho$.

Na jednoduché řešení této úlohy zpravidla přijde poměrně málo studentů. Většina z nich se totiž bez rozmyslu zaměří na pracné, zdlouhavé a zbytečné hledání rovnice kružnice $l$, která je průnikem zadaných útvarů – kulové plochy $k$ a roviny $\rho$. Pokud je však učitel navede na cestu náčrtu (stačí průmět situace do roviny), řešení úlohy bude pro ně vzápětí zřejmé.

Řešení 10.5.12

Další úlohy k procvičování

Základní poznatky

Úloha 10.5.13

Kružnice se středem $S[2; 1]$ prochází bodem $A[6;-2]$. Určete je poloměr, středovou i obecnou rovnici.

$5$, $(x – 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$, $x^2 + y^2 – 4x – 2y – 20 = 0$

Úloha 10.5.14

Kuželosečka je dána obecnou rovnicí:
a) $x^2 + y^2 + 4x – 6y + 11 = 0$
b) $x^2 + y^2 – 4x – 2y + 15 = 0$.

Převodem na středový tvar ověřte, zda se jedná o kružnici, určete její střed a poloměr.

a) $S[-2;3]$, $r = \sqrt{2}$
b) nejde o kružnici

Úloha 10.5.15

Určete délku středné kružnic $k_1$, $k_2$: $\begin{align} & k_1: x^2 + y^2 - 6x - 4y - 25 = 0, \\ & k_2: (x + 7)^2 + (y - 5)^2 = 49 \end{align}$

$\sqrt{109}$

Úloha 10.5.16

MA + 2017 Jaro Je dán bod $A[4; 1]$ a dvě kružnice: $\begin{align} & k: (x – 2)^2 + (y + 1)^2 = 4 \\ & l: (x – 5)^2 + (y - 3)^2 = 9 \end{align}$

10.1 Kolik společných bodů mají kružnice k a l? ____

10.2 Kolik společných tečen mají kružnice k a l? ____

10.3 Kolik tečen lze vést ke kružnici l z bodu A? ____

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 F) jiný výsledek

B,
D,
A

Typové příklady standardní náročnosti

Úloha 10.5.17

Napište rovnici kružnice, která prochází body $A[3;5], B[2;6]$ a má střed na přímce $p: 2x + 3y – 4 = 0$.

$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 25$

Úloha 10.5.18

Napište rovnici kružnice, která prochází body $E[3;2], F[1;4]$ a dotýká se osy $x$.

$(x-9)^2 + (y-10)^2 = 100; \, (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$

Úloha 10.5.19

Určete rovnici kružnice opsané trojúhelníku $ABC: A[2;1], B[3;0], C[0;5]$

$(x – 9)^2 + (y -7)^2 = 85$

Úloha 10.5.20

Je dána kružnice $k: (x-3)^2 + (y+12)^2 = 100$. Určete rovnice všech tečen, které procházejí bodem: a) $L[9;-4] \qquad$ b) $M[5;2] \qquad$ c) $N[4;-10]$

a) $3x+4y-11=0$,
b) $-3x+4y+7=0, 4x+3y-26=0$,
c) tečna neexistuje, bod $N$ leží uvnitř kruhu ohraničeného zadanou kružnicí.

Úloha 10.5.21

Napište rovnice tečen kružnice $k: x^2 + y^2 - 8x – y + 5 = 0$, které jsou rovnoběžné s přímkou $p: 2x – y + 2 = 0$.

$y = 2x$; $y = 2x-15$

Úloha 10.5.22

Určete rovnice tečen kružnice $k: x^2 + y^2 –x–2y = 0$ kolmých k přímce $q: 2x – y + 6 = 0$.

$y=-\frac{1}{2}x$, $y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$

Rozšiřující cvičení

Úloha 10.5.23

Určete střed a poloměr kulové plochy $k: x^2 + y^2 + z^2 – 4x + 6y – 13 = 0$ a dále určete obsah kruhu, který na této kulové ploše vytíná rovina $\rho: x – 2y + 2z = 0$.

$S[2; -3; 0];\sqrt{26}; \frac{170}{9} \pi$

Předcházející kapitola
Následující kapitola