Analytická geometrie

Obsah oddílu

Hyperbola

Stručný přehled teorie

Hyperbola $H(F,G,\,2a)$ je množina všech bodů $X$ roviny $\rho$, pro něž platí, že absolutní hodnota rozdílu jejich vzdáleností od dvou daných bodů $F, G$. (tzv. ohnisek) je konstantní a rovná se $2a$, kde $2a$ je menší než vzdálenost bodů $F, G$.

Tedy $H(F,G,\,2a)= \{ X \in \rho;||XF|-|XG||=2a$, kde $2a < |FG| \}$

Rovnice hyperboly

Rovnice hyperboly $H(F, G, 2a )$:

  1. Středová:
    Rovnice hyperboly
  2. Obecná: $H: Ax^2 – By^2 + Cx + Dy + E = 0$
    $A.B > 0$
Pozn.:
  1. každá rovnice typu $\frac{(x-m)^2}{a^2} - \frac{(y-n)^2}{b^2} = 1$ (nebo $-\frac{(x-m)^2}{b^2} + \frac{(y-n)^2}{a^2} = 1$) je rovnicí některé hyperboly;
  2. každá rovnice typu $\frac{(x-\rtt{m})^2}{\gtt{a}^2} - \frac{(y-\rtt{n})^2}{\gtt{b}^2} = 1$ (nebo $-\frac{(x-\rtt{m})^2}{\gtt{b}^2} + \frac{(y-\rtt{n})^2}{\gtt{a}^2} = 1$) obsahuje očividnou informaci jednak o středu hyperboly $S[\rtt{m};\rtt{n}]$ (odsud plyne název rovnice – středová), jednak o hlavní poloose $\gtt{a}$ a o vedlejší poloose $\gtt{b}$ hyperboly;
  3. každá rovnice typu $\frac{(x-m)^2}{a^2} - \frac{(y-n)^2}{b^2} = 1$ (nebo $-\frac{(x-m)^2}{b^2} + \frac{(y-n)^2}{a^2} = 1$) se dá prostým provedením naznačených operací velmi snadno převést z tohoto středového tvaru do tvaru obecného (každá hyperbola má středovou i obecnou rovnici);
  4. rovnice typu ${Ax}^2-{By}^2+Cx+Dy+E=0$ je obecnou rovnicí hyperboly pouze v případě, že je možné ji převést do středového tvaru;

Vzájemná poloha bodu a hyperboly

Nechť je dána hyperbola $H: {Ax}^2 - {By}^2 + Cx + Dy + E = 0$ a bod $M[x_M,y_M]$. Levou stranu rovnice hyperboly označíme $L(x, y)$. Pak platí:

  1. Je-li $L(x_M, y_M) = 0$, pak $M \in H$.
  2. Je-li $L(x_M, y_M) > 0$, pak $M$ leží uvnitř útvaru ohraničeného hyperbolou $H$.
  3. Je-li $L(x_M, y_M) < 0$, pak $M$ leží vně $H$.
Rovnice hyperboly

Vzájemná poloha přímky (lineárního útvaru) a elipsy

je dána počtem společných bodů. Řeší se tedy soustava kvadratické rovnice (hyperboly) a lineární rovnice (přímky)

Rovnice hyperboly Pozn.: Určujeme-li vzájemnou polohu hyperboly a některé podmnožiny přímky (úsečka, polopřímka), pak při řešení pracujeme raději s parametrickou rovnicí dané podmnožiny.

Rovnice asymptot

  1. Je-li $FG \parallel osa \, x$, pak $a_{1,2}:y=± \frac{b}{a} (x-m)+n$
  2. Je-li $FG \parallel osa \, y$, pak $a_{1,2}:y=± \frac{a}{b} (x-m)+n$,

Rovnice tečny

vedené k hyperbole $H(F, G, 2a)$ v jejím bodě $T[x_0,y_0]$:

$\frac{(x_0-m)(x-m)}{a^2} - \frac{(y_0-n)(y-n)}{b^2} =1$

nebo $-\frac{(x_0-m)(x-m)}{b^2} + \frac{(y_0-n)(y-n)}{a^2} =1$

Rovnoosá hyperbola

je hyperbola pro kterou platí, že $a = b$ (její asymptoty jsou na sebe kolmé). Platí tedy: $a=b \implies e^2 = 2a^2$

Speciální případ rovnoosé hyperboly je taková hyperbola, která má

asymptoty přímo v souřadnicových osách

případně v rovnoběžkách se souřadnicovými osami.

Rovnice hyperboly

Metodika

Následující úlohy byly většinou vybrány ze Sbírky úloh z matematiky (SÚM) Jindry Petákové. Metodické rady jsou uváděny průběžně s řešeními všech těchto úloh, nebo z těchto řešení vyplývají.

Jako první by měl učitel naučit studenty určování rovnice hyperboly při nejrůznějších způsobech jejího zadání. Velmi dobré je u většiny úloh využívat náčrty. Některých zadání by měl zároveň využít k tomu, aby si studenti důkladně procvičili přechod od obecné rovnice hyperboly ke středové rovnici a naopak.

Úloha 10.8.1

Načrtněte hyperbolu (určete střed $S$, délky poloos $a, b$, excentricitu $e$, vrcholy $A, B$, ohniska $F, G$, rovnice asymptot):

  1. $H: 4x^2 – 9y^2 = 36$
  2. $H: - 9x^2 + 4y^2 = 36$
  3. $H: (x – 1)^2 – 4.(y + 2)^2 = 16$

  1. 1. krok – převod rovnicehyperboly do středového tvaru:

    $4x^2 – 9y^2 = 36 /: 36 \implies \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4} = 1 \implies S[0; 0], a = 3, b = 2, e = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{13} $

    2. krok – náčrt hyperboly

    Řešení 10.8.1

    3. krok – závěr: $S[0; 0], a = 3, b = 2, e = \sqrt{13}, A[-3; 0], B[3; 0], F[-\sqrt{13}; 0], G[\sqrt{13}; 0]$,
    $a_1: y = \frac{2}{3} x, \quad a_2: y = -\frac{2}{3} x;$

  2. 1. krok – převod rovnicehyperboly do středového tvaru:

    $-9x^2 + 4y^2 = 36 /: 36 \implies -\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1 \implies$
    $\implies S[0; 0], a = 3, b = 2, e = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{13} $

    2. krok – náčrt hyperboly

    Řešení 10.8.1

    3. krok – závěr: $S[0; 0], a = 3, b = 2, e = \sqrt{13}, A[0;-3], B[0;3], F[0;-\sqrt{13}], G[0;\sqrt{13}],$,
    $a_1: y = \frac{3}{2} x, \quad a_2: y = -\frac{3}{2} x;$

  3. 1. krok – převod rovnice hyperboly do středového tvaru:

    $H: (x – 1)^2 – 4.(y + 2)^2 = 16 / :16 \implies \frac{(x-1)^2}{16}-\frac{(y+2)^2}{4}=1 \implies$
    $\implies S[1; -2], a = 4, b = 2, e = \sqrt{a^2 + b^2} = 2\sqrt{5}$

    2. krok – náčrt hyperboly

    Řešení 10.8.1

    3. krok – rovnice asymptot: $a:y=±\frac{b}{a} x+q$

    $\begin{align} & a_1: y = \frac{2}{4}x+q \\ & S \in a_1 \dots -2 = -\frac{1}{2}.1+q \\ & \qquad q = -\frac{5}{2} \\ & a_1: y = \frac{1}{2} x-\frac{5}{2} \\ & a_1: y = x – 2y - 5 = 0 \\ \end{align}$ $\begin{align} & a_2: y = -\frac{2}{4}x+q \\ & S \in a_2 \dots -2 = -\frac{1}{2}.1+q \\ & \qquad q = -\frac{3}{2} \\ & a_2: y = -\frac{1}{2} x-\frac{3}{2} \\ & a_2: x + 2y + 3 = 0 \\ \end{align}$

    4. krok – závěr: $S[1; -2], a = 4, b = 2, e = 2 \sqrt{5}, A[-3; -2], B[5; -2]$,
    $a_1: x – 2y – 5 = 0, \quad a_2: x + 2y + 3 = 0$

Úloha 10.8.2

Napište rovnici hyperboly s ohnisky $F[1; 1], \, G[1; 11]$ a vedlejší poloosou o délce $b = 4$.

1. krok – náčrt v soustavě souřadnic vyznačíme zadané prvky – obě ohniska $F$ a $G$, střed $S$ úsečky $FG$ a po výpočtu délky hlavní poloosy $a$ také obdélník s délkami stran $2a$, $2b$, jehož úhlopříčkami jsou proloženy asymptoty hyperboly.

$S = \frac{F+G}{2} \implies S[1; 6], \; e = \frac{|FG|}{2}= 5, \; a=\sqrt{e^2-b^2}=3$

Řešení 10.8.2

2. krok – závěr: $H: -\frac{(x-1)^2}{16}+\frac{(y-6)^2}{9}=1$;

Úloha 10.8.3

Napište rovnici hyperboly, víte-li, že její asymptoty jsou přímky $a_1: y = \rtt{2}x - 6, \, a_2: y = -2x + 6$ a jedno ohnisko je $F[-2; 0]$.

1. krok – výpočet souřadnic středu hyperboly a výpočet poloos $a, \, b$.

  • Střed $S$ hyperboly je průsečík asymptot:
    $\begin{align} a_1: y & = 2x – 6 \\ a_2: y & = -2x + 6 \\ 2y & = 0 \rightarrow y = 0 \rightarrow x = 3 \implies S[3; 0] \end{align}$
  • Výpočet poloos:
    1. $e = |FS| = 5$
    2. rce asymptot $\dots a: y = ±\frac{\gtt{b}}{a} x+q \implies \frac{\gtt{b}}{a}=\rtt{2} \implies b = 2a$
    3. $e^2 = a^2 + b^2 \implies e^2 = a^2 + (2a)^2 \implies e^2 = 5a^2 \implies$
      $\implies 25 = 5a^2 \implies a = \sqrt{5}, \, b = 2.\sqrt{5}$

2. krok – náčrt:

Řešení 10.8.3

3. krok – závěr: $H: \frac{(x-3)^2}{5}-\frac{y^2}{20}=1$;

Úloha 10.8.4

Napište rovnici rovnoosé hyperboly s ohnisky $F[-6; 2], \, G[14; 2]$.

1. krok – výpočet souřadnic středu hyperboly a výpočet poloos $a, \, b$.

$e = \frac{|FG|}{2}=\frac{20}{2}=10 \implies S[4; 2]$

Hyperbola má být rovnoosá $\implies a = b \implies e^2 = a^2 + b^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \implies$
$\implies 100 = 2a^2 \implies a = b = \sqrt{50}=5\sqrt{2}$

2. krok – závěr: $H: \frac{(x-4)^2}{50}-\frac{(y-2)^2}{50}=1$;

Úloha 10.8.5

Úpravou na středový tvar rovnice dokažte, že jde o rovnici hyperboly, určete délky poloos a excentricity, souřadnice středu, vrcholů a ohnisek a určete rovnice obou asymptot:
$H: x^2 - 4y^2 + 4x – 4y + 2 = 0 $

1. krok – převodrovnice z obecného do středového tvaru:

$H: (x^2 +4x \rtt{+ 4}) – 4.(y^2 + y + \gtt{\frac{1}{4}}) = -2 \rtt{+ 4} \gtt{– 1}$
$H: (x+2)^2-4(y+\frac{1}{2})^2=1$
$H: \frac{(x+2)^2}{1}-\frac{(y+\frac{1}{2})^2}{\frac{1}{4}}=1$
$S[-2;-\frac{1}{2}], \, a = 1, \, b = \frac{1}{2}, \, e = \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

2. krok – náčrt: – v soustavě souřadnic načrtneme hyperbolu (poloha hyperboly je dána typem středové rovnice):

Řešení 10.8.5

3. krok – rovnice asymptot:

$\begin{align} & a_1: y = \frac{1}{2}x+q \\ & S \in a_1 \dots -\frac{1}{2} = \frac{1}{2}.(-2)+q \\ & \qquad q = \frac{1}{2} \\ & a_1: y = \frac{1}{2} x+\frac{1}{2} \\ & a_1: y = x – 2y + 1 = 0 \\ \end{align}$ $\begin{align} & a_2: y = -\frac{1}{2}x+q \\ & S \in a_2 \dots -\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}.(-2)+q \\ & \qquad q = -\frac{3}{2} \\ & a_2: y = -\frac{1}{2} x-\frac{3}{2} \\ & a_2: x + 2y + 3 = 0 \\ \end{align}$

4. krok – závěr: $S[-2;-\frac{1}{2}], \, a = 1, \, b = \frac{1}{2}, \, e = \frac{\sqrt{5}}{2}, \, A[-3;-\frac{1}{2}], \, B[-1;-\frac{1}{2}]$,
$F[-2 - \frac{\sqrt{5}}{2};-\frac{1}{2}], \, G[-2 +\frac{\sqrt{5}}{2};-\frac{1}{2}], \, a_1: x – 2y + 1 = 0, \, a_2: x + 2y + 3 = 0$;

Úloha 10.8.6

Vyšetřete vzájemnou polohu přímky $p$ a hyperboly $H$:

  1. $H: 2x^2 – y^2 – 2x - 5 = 0, \, p: 3x – y – 5 = 0$
  2. $H: 4x^2 – y^2 – 4= 0, \, p: 2x – y + 4 = 0$

  1. 1. krok – o vzájemné poloze rozhoduje počet společných bodů. Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:

    Řešení 10.8.6

    diskriminant této kvadratické rovnice $D = 784 – 840 = -56 < 0 \implies $ neexistuje řešení soustavy $\implies$ neexistují společné body

    2. krok – závěr: přímka $p$ je vnější přímkou hyperboly

  2. 1. krok – o vzájemné poloze rozhoduje počet společných bodů. Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:

    Řešení 10.8.6

    jediné společné řešení – jediný společný bod

    2. krok – rozhodnutí o vzájemné poloze – jediný společný bod má přímka s hyperbolou ve dvou případech:

    • je-li přímka rovnoběžná s jednou z asymptot;
    • je-li přímka tečnou.

    O tom, který z těchto dvou případů nastal, rozhodneme tak, že najdeme směrnice obou asymptot a srovnáme je se směrnicí zadané přímky $p$. Pokud se směrnice přímky $p$ bude rovnat směrnici jedné z asymptot, půjde o rovnoběžku s touto asymptotou (tzv. asymptotickou přímku), v opačném případě bude přímka tečnou hyperboly.

    $\begin{align} H: & 4x^2 – y^2 – 4= 0 \\ & 4x^2 – y^2 = 4 /:4 \\ & \frac{x^2}{1}- \frac{y^2}{4}=1 \implies a = 1, \, b = 2 \implies k_a = ±\frac{b}{a}=±2 \, k_p = 2 \end{align}$

    3. krok – závěr: $p$ je asymptotická přímka hyperboly, společný bod je $P[-\frac{5}{4}; \, \frac{3}{2}]$;

Úloha 10.8.7

Ověřte, že bod $T$ leží na dané hyperbole. Potom napište rovnici tečny hyperboly v jejím bodě $T$:

$T[1; 3], H: 4x^2 – y^2 - 24x + 2y + 23 = 0$

1. krok – ověření, že bod $T$ leží na hyperbole $H$
$\begin{align} & l(x, y) = 4x^2 – y^2 - 24x + 2y + 23 \\ & l(x_T, y_T) = 4.1^2 – 3^2 – 24.1 + 2.3 + 23 = 4 – 9 –24 + 6 + 23 = 0 \rightarrow T \in H \end{align}$

2. krok – převod rovnice hyperboly z obecného do středového tvaru

$\begin{align} H: & 4x^2 – y^2 - 24x + 2y + 23 = 0 \\ & 4.(x^2 – 6x + \gtt{9}) – (y2 – 2y \rtt{+ 1}) = -23 \gtt{+36} \rtt{– 1} \\ & 4.(x – 3)^2 – (y – 1)^2 = 12 /:12 \\ H: & \frac{(x-3)^2}{3}-\frac{(y-1)^2}{12}=1 \end{align}$

3. krok – rovnice tečny hyperboly:

$\begin{gather} \qquad t: \frac{(x_0-3).(x-3)}{3}-\frac{(y_0-1).(y-1)}{12}=1 \\ T \in t \dots \frac{(1-3).(x-3)}{3}-\frac{(3-1).(y-1)}{12}=1 \\ \frac{-2.(x-3)}{3}-\frac{(y-1)}{6}=1 /.6 \\ -4.(x – 3) – y + 1 = 6 \\ -4x – y + 7 = 0 \end{gather}$

4. krok – závěr: Rovnice tečny zadané hyperboly bodem $T$ je $t: – 4x – y + 7 = 0$.

Další úlohy k procvičování

Základní poznatky

Úloha 10.8.8

Hyperbola je dána rovnicí ve středovém tvaru: $\frac{(x-3)^2}{4}-(y-2)^2=1$. Zapište její obecnou rovnici, určete všechny její základní parametry a načrtněte ji v soustavě souřadnic.

$x^2 - 4y^2 - 6x + 16y – 11 = 0, S[3; 2], a = 2, b = 1, e = \sqrt{5}$,
$A_1[1; 2], A_2[5; 2], F[3-\sqrt{5} ; 2],G[3+\sqrt{5}; 2], \, a_1: x - 2y + 1 = 0, \, a_2: x + 2y – 7 = 0$

Úloha 10.8.9

Obecná rovnice hyperboly je $H: -16x^2 + 9y^2 + 32x - 36y = 124$. Zapište středovou rovnici, určete všechny základní parametry hyperboly a načrtněte ji v soustavě souřadnic.

$-\frac{(x-1)^2}{9}+\frac{(y-2)^2}{16}=1, \, S[1;2],a=4,b=3,e=5, \, A_1 [1;-2],A_2 [1;6],F[1;-3],G[1;7]$,
$a_1:y=\frac{4}{3} x+\frac{2}{3}, \,a_2:y=-\frac{4}{3} x+\frac{10}{3}$

Úloha 10.8.10

Ověřte, zda bod $T[-2; 2]$ je bodem hyperboly $4x^2– y^2 – 12 = 0$ a určete rovnici tečny hyperboly vedené bodem $T$.

$4x + y + 6 = 0$

Úloha 10.8.11

MA + 2016 Jaro:
Hyperbola je dána rovnicí $(x + 4)^2 – y^2 = 16$. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

  1. Hyperbola má se souřadnicovou osou y právě jeden společný bod
  2. Vzdálenost obou vrcholů hyperboly je $8$.
  3. Přímka $p: y = x$ má s hyperbolou právě jeden společný bod

A, A, A

Typové příklady standardní náročnosti

Úloha 10.8.12

Určete rovnici hyperboly, která má ohniska $F [-10; 2]$ a $G [16; 2]$ a mezi jejímiž vrcholy je vzdálenost $24$.

$\frac{(x-3)^2}{144}-\frac{(y-2)^2}{25}=1$

Úloha 10.8.13

Dokažte, že přímka $2x – y – 8 = 0$ je tečnou hyperboly $8x^2 – 18y^2 = 144$. Vypočtěte souřadnice jejího dotykového bodu s hyperbolou.

$T[\frac{9}{2};1]$

Úloha 10.8.14

Určete rovnice tečen hyperboly $H: 4x^2 – y^2 – 8x +1 = 0$, které jsou rovnoběžné s přímkou $p: 4x – y + 3 = 0$.

$y = 4x – 1; y = 4x – 7$

Úloha 10.8.15

Napište rovnice tečen hyperboly $2(x + 2)^2 - 9(y - 4)^2 = 18$, které jsou kolmé k přímce $p: 2x + y – 7 = 0$.

$x – 2y + 11 = 0, x – 2y + 9 = 0$

Úloha 10.8.16

Je dána hyperbola $H: x^2 – 9y^2 = 1$ a bod $M [3;1]$. Určete rovnice všech přímek, které procházejí bodem $M$ a mají s hyperbolou právě jeden společný bod.

$5x – 12y – 3 = 0; x + 3y – 6 = 0$

Předcházející kapitola
Následující kapitola