Diferenciální geometrie křivek a ploch

4. Obálka soustavy rovinných křivek – Příklad 4.1 – Soustava kružnic

Stanovte obálku soustavy kružnic , přičemž .

Řešení

PDF

> restart

Rovnice soustavy kružnic, její parciální derivace podle parametru soustavy a charakteristická množina:

> F:=(x-t)^2+y^2-t^2/4=0;

> dF:=diff(F,t);

> sol:=allvalues(solve({F,dF},{x,y}));

Máme dvě řešení, která přiřadíme pomocí příkazu assign do proměnných e1 a e2. Vždy je následně nutné použít příkaz unassign pro uvolnění přiřazených proměnných! Vykreslení obálky zahrnuje proměnná ENV:

> with(plots):setoptions(scaling=constrained):
> assign(sol[1]):env1:=unapply([x,y],t);unassign('x','y');

> assign(sol[2]):env2:=unapply([x,y],t);unassign('x','y');

> ENV:=plot({[env1(t)[1],env1(t)[2],t=-9..9],[env2(t)[1],env2(t)[2],t=-9..9]},thickness=3,color=red):

Vykreslíme obálku společně s několika kružnicemi zadané soustavy. V Maplu je příhodnější zobrazovat křivky určené parametrickými rovnicemi a ne implicitně. Proto v jednodušších případech převedeme implicitní zadání na parametrické a pak teprve objekt vykreslíme.

Soustava kružnic parametricky:

> f:=(s,t)->[t+t/2*cos(s),t/2*sin(s)];

> SYS:=seq(plot([f(s,t/6)[1],f(s,t/6)[2],s=0..2*Pi],color=grey),t=-30..30):
> display(SYS,ENV);