Diferenciální geometrie křivek a ploch

4. Obálka soustavy rovinných křivek – Příklad 4.2 – Soustava přímek

Nalezněte obálku soustavy přímek, které vzniknou pohybem dané úsečky délky k, jejíž krajní body se pohybují po souřadných osách.

Řešení

PDF

> restart

Rovnice soustavy přímek, její parciální derivace podle parametru soustavy a charakteristická množina:

> F:=x/(k*cos(t))+y/(k*sin(t))-1 = 0;

> dF:=diff(F,t);

> sol:=simplify(solve({F,dF},{x,y}));

Uvažujme velikost úsečky k=1:

> k:=1;

Řešení přiřadíme pomocí příkazu assign do proměnné env a následně příkazem unassign přiřazení zrušíme. Vykreslení obálky uložíme do proměnné ENV:

> with(plots):setoptions(scaling=constrained):
> assign(sol):env:=unapply([x,y],t);unassign('x','y');

> ENV:=plot({[env(t)[1],env(t)[2],t=0..Pi/2]},thickness=3,color=red):

Vykreslíme obálku společně s několika přímkami zadané soustavy. Stejně jako v předchozím příkladu si přímky soustavy vyjádříme parametricky:

> f:=(s,t)->[s*k*cos(t),k*sin(t)-s*k*sin(t)];

> SYS:=seq(plot([f(s,t*Pi/36)[1],f(s,t*Pi/36)[2],s=0..1],color=grey),t=0..18):
> display(SYS,ENV);