Statistika a pravděpodobnost | Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity

Alternativní rozdělení: $A(p)$

Používá se v případech, když sledujeme výskyt určité náhodné události. Náhodná veličina $X\sim A(p)$ nabývá hodnoty 0 nebo 1. Hodnotu 1 s pravděpodobností $p$ přiřadíme náhodné veličině, jestli při náhodném pokusu nastala námi sledovaná událost, neboli jinak řečeno "úspěch". Naopak, náhodné veličině přiřadíme hodnotu 0 s pravděpodobností $1-p$, jestliže námi sledovaná událost nenastala. Obor hodnot obsahuje jenom dva prvky: $M=\{0,1\}$.

Pravděpodobnostní funkce je tvaru:

Ekvivalentní zápis:

Distribuční funkce je tvaru:

Vztahy pro střední hodnotu a rozptyl:

Alternativní rozdělení je speciálním případem binomického rozdělení, pro $n=1$, tedy $A(p)\sim Bi(1,p)$. Ve STATISTICE není přímo implementována funkce alternativního rozdělení, používáme proto funkci binomického rozdělení, kde parametr $n$ pokládáme rovný jedné.

Příklad 1.1:

Hážeme jedenkrát kostkou. Najděte pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny $X$, která udává, jestli v daném hodu padlo číslo menší než 3.

postup

postup v programu Statistica

Obor hodnot obsahuje dva prvky:$M=\{0,1\}$. Úspěch v našem případě znamená, že padlo číslo menší než 3, a to číslo 1 nebo 2. Neúspěch značí, že padla čísla 3, 4, 5 nebo 6.

Tedy:

$P(X=0)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

$P(X=1)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny $X$ je tvaru:

\begin{equation} p(x) = \begin{cases} \frac{1}{3} &\text{pro $x=1$}\\ \frac{2}{3} &\text{pro $x=0$} \\ \end{cases}\tag{1.10} \end{equation}