Pascalovo rozdělení: $Ps(n,p)$
Uvažujme posloupnost nezávislých pokusů, při pravděpodobnosti úspěchu v každém z nich rovné $p$, $p \in (0,1)$. Náhodná veličina $X$ udává celkový počet neúspěchů, které předcházejí n-tému úspěchu.
Pravděpodobnostní funkce je tvaru:
\begin{equation}
p(x) =
\begin{cases}
\binom{n+x-1}{x}(1-p)^{x}p^n &\text{pro $x=0,1, \dots $}\\
0 &\text{jinak}
\end{cases}\tag{1.17}
\end{equation}
Distribuční funkce je tvaru:
\[F(x) = p^n \sum_{x_i \leq x} \binom{n+x_i-1}{x_i}(1-p)^{x_i}\]
Vztahy pro střední hodnotu a rozptyl:
\begin{align}
E(X) &= \frac{n(1-p)}{p}\tag{1.18} \\
D(X) &= \frac{n(1-p)}{p^2}\tag{1.19}
\end{align}
Geometrické rozdělení je speciálním případem Pascalova rozdělení pro $n=1$.
Software STATISTICA nemá funkci pro Pascalovo rozdělení, grafy není možné vykreslit a výpočet hodnot pravděpodobnostních a distribučních funkcí si můžeme ulehčit jen pomocí funkce $Combin$, která slouží na výpočet kombinačních čísel.
Příklad 1.6:
Pravděpodobnost výskytu krevní skupiny A+ je 0,35. V nemocnici potřebují nájít 3 dárce s touto krevní skupinou. Dárcové však neznají svou krevní skupinu. Jaká je pravděpodobnost, že pro nalezení 3 dárců s krevní skupinou A+ budou muset vyšetřit:
- právě 10 dárců,
- více jak 9 dárců,
- aspoň 6 a nejvýše 10 dárců.
postup
postup v programu Statistica
$X$ je náhodná veličina udávající počet dárců, které musíme vyšetřit, jestli chceme najít tři s krevní skupinou A+, $X \sim Ps(3;0,35)$
- $P(X=10) = \binom{10+3-1}{10}(1-0,35)^{10}0,35^3=0,038$
S pravděpodobností 3,8 % bude k nalezení tří dárců s krevní skupinou A+ potřeba vyšetřit právě 10 potenciálních dárců.
- $P(X > 9) = 1-P(X \leq 9) = 1-F(9) =\\= 1-0,35^3 \sum_{x=3}^9 \binom{3+x-1}{x}0,65^x = 1-0,6135 = 0,3865$
S pravděpodobností 38,65 % bude k nalezení tří dárců s krevní skupinou A+ potřeba vyšetřit více jak 9 potenciálních dárců.
- $P(6 \leq X \leq 10) = F(10)-F(5) = 0,651596-0,3370147 = 0,3145813$
S pravděpodobností 31,46 % bude k nalezení tří dárců s krevní skupinou A+ potřeba vyšetřit 6-10 potenciálních dárců.
Vytvoříme si nový datový soubor o 3 proměnných a 1 případě. Do dlouhého jména proměnných postupně píšeme:
- $=Combin(10+3-1;10)*0,65\hat{}10*0,35\hat{} 3$ a dostaneme výsledek 0,0380962.
- $=1-0,35\hat{} 3*(Combin(3+3-1;3)*0,65\hat{} 3+\\Combin(3+4-1;4)*0,65\hat{} 4
+Combin(3+5-1;5)*0,65\hat{} 5+\\Combin(3+6-1;6)*0,65\hat{} 6
+Combin(3+7-1;7)*0,65\hat{} 7+\\Combin(3+8-1;8)*0,65\hat{} 8
+Combin(3+9-1;9)*0,65\hat{} 9)$ a dostaneme výsledek 0,38645695.
- $=(0,35\hat{} 3*(Combin(3+3-1;3)*0,65\hat{} 3+\\Combin(3+4-1;4)*0,65\hat{} 4
+Combin(3+5-1;5)*0,65\hat{} 5+\\Combin(3+6-1;6)*0,65\hat{} 6
+Combin(3+7-1;7)*0,65\hat{} 7+\\Combin(3+8-1;8)*0,65\hat{} 8
+Combin(3+9-1;9)*0,65\hat{} 9+\\Combin(3+10-1;10)*0,65\hat{} 10))-\\(0,35\hat{} 3*(Combin(3+3-1;3)*0,65\hat{} 3+\\Combin(3+4-1;4)*0,65\hat{} 4
+Combin(3+5-1;5)*0,65\hat{} 5))$ a dostaneme výsledek 0,31462228.
