Exponenciální rozdělení: $Ex(\lambda)$
Náhodná veličina $X\sim Ex(\lambda)$, $\lambda>0$ vyjadřuje náhodnou dobu čekání na nějakou událost, která se může dostavit se stejnou šancí každým okamžikem bez ohledu na doposud pročekanou dobu. Střední hodnota doby čekání je $\frac{1}{\lambda}$.
Hustota pravděpodobnosti je tvaru:
\begin{equation}
f(x) =
\begin{cases}
\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x} &\text{pro $x \in (0,\infty)$} \\
0 &\text{jinak}\tag{1.19}
\end{cases}
\end{equation}
Distribuční funkce je tvaru:
\begin{equation}
F(x) =
\begin{cases}
1-\mathrm{e}^{-\lambda x} &\text{pro $x \in (0,\infty)$} \\
0 &\text{jinak}\tag{1.20}
\end{cases}
\end{equation}
Vztahy pro střední hodnotu a rozptyl:
\begin{align}
E(X) &= \frac{1}{\lambda}\tag{1.21} \\
D(X) &= \frac{1}{\lambda^2}\tag{1.22}
\end{align}
Exponenciální rozdělení popisuje dobře rozdělení životnosti zařízení, u kterých k poruše dochází v důsledku náhodných příčin, ne v důsledku opotřebení nebo únavy materiálu, řídí se jím též spolehlivost zařízení a rozpad radioaktivních látek. Někdy se označuje jako rozdělení "bez paměti", protože informace o tom, že událost nenastala $k$ hodin, nemění pravděpodobnost, že nastane v dalších $m$ hodinách.
Software STATISTICA používa pro výpočet hustoty funkci $Expon(x;lambda)$, pro výpočet distribuční funkce funkci $IExpon(x;lambda)$, kde:
$lambda$ - parametr $\lambda$.
Příklad 1.7:
Životnost určitého výrobku se řídí exponenciálním rozdělením se střední hodnotou životnosti 200 hodin. Určete pravděpodobnost, že daný výrobek:
- bude funkční nejvýše 150 hodin,
- bude funkční alespoň 250 hodin.
postup
postup v programu Statistica
Víme, že: $E(X) = 200$ hodin, tedy $X \sim Ex(\frac{1}{200}), \lambda=0,005$.
$P(X \leq 150) = F(150) = 1-\mathrm{e}^{-\frac{150}{200}} = 0,527633$
S pravděpodobností 52,76 % bude výrobek funkční nejvýše 150 hodin.
$P(X \geq 250) = 1-P(X \leq 250) = 1-F(250) = \mathrm{e}^{-\frac{250}{200}} = 0,2868$
Pravděpodobnost funkčnosti výrobku vyšší než 250 hodin je 28,68 %.
1. způsob: vytvoříme nový datový soubor o 2 proměnných a 1 případu, do dlouhého jména proměnných postupně píšeme:
- $=IExpon(150;0,005)$ a dostaneme výsledek 0,52763345
- $=1-IExpon(250;0,005)$ a dostaneme výsledek 0,2865048
2. způsob: výpočet pomocí pravděpodobnostního kalkulátoru: v menu vybereme: Statistiky - Kalkulátory - Rozdělení - vybereme rozdělení Exponenciální:
- $lambda$ - napíšeme 0,005, $exp$ napíšeme 150 - Výpočet - v okénku $p$ se objeví námi hledaná pravděpodobnost: 0,527633.
- $lambda$ - napíšeme 0,005, $exp$ napíšeme 250, zaškrtneme $(1-kumul.p)$, v okénku $p$ se objeví vypočtená pravděpodobnost: 0,286505.
Příklad 1.8:
Určité zařízení se porouchá v záruční době 350 hodin s pravděpodobností 15 %. Určete střední dobu životnosti daného zařízení, jestliže doba životnosti zařízení se řídí exponenciálním rozdělením.
Náhodná veličina X, doba životnosti zařízení, se řídí rozdělením: $X\sim Ex(\lambda)$. Potřebujeme určit daný parametr $\lambda$. Víme:
$P(X\leq 350)=0,15 \Leftrightarrow F(350) = 0,15 \Leftrightarrow 1-\mathrm{e}^{-350\cdot \lambda} = 0,15 \Leftrightarrow \mathrm{e}^{-350\cdot \lambda}= \\ = 0,85 \Leftrightarrow -350\cdot \lambda = -0,1625189 \Rightarrow \lambda = 4,6434\cdot 10^{-4}$
Střední doba životnosti zařízení je tedy přibližně: $E(X) = \frac{1}{\lambda} = 2\,153,59$ hodin.
postup v programu Statistica
Vykreslení funkce hustoty a distribuční funkce náhodné veličiny $X \sim Ex(2)$ pomocí pravděpodobnostního kalkulátoru:
v menu vybereme: Statistiky - Kalkulátory - Rozdělení - vybereme rozdělení Exponenciální, $lambda$ - napíšeme 2, $exp$ napíšeme 0, zaškrtneme Vytv. graf - Výpočet.
