Pearsonovo rozdělení chí kvadrát: $\chi^2(\nu)$
Jestliže $Y_1,Y_2, \dots,Y_\nu$ je posloupnost nezávislých náhodných veličin, z nichž každá má standardizované normální rozdělení $N(0,1)$, pak náhodná veličina, která vznikne jako součet čtverců těchto veličin, tj. veličina $\sum_{i=1}^\nu Y_i^2$ má chí kvadrát rozdělení s $\nu$ stupni volnosti, značíme $X \sim \chi^2(\nu)$.Parametr $\nu$ je v matematické statistice obvykle volený jako počet nezávislých informačních jednotek, například počet pozorování zmenšený o počet odhadnutých parametrů.
Hustota pravděpodobnosti je tvaru:
\begin{equation}
f(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{\Gamma(\frac{\nu}{2})2^{\frac{\nu}{2}}}x^{\frac{\nu}{2}-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} &\text{pro $x \in (0,\infty)$} \\
0 &\text{jinak}\tag{1.29}
\end{cases}
\end{equation}
Distribuční funkci je možné vyjádřit pomocí neúplné gama funkce v tvaru:
\begin{equation}
F(x) = \frac{\gamma(\frac{\nu}{2},\frac{x}{2})}{\Gamma(\frac{\nu}{2})},\tag{1.30}
\end{equation}
pričemž neúplná gamma funkce je definována jako:
\begin{equation}
\gamma(\alpha,x)=\int\limits _0^x \mathrm{e}^{-t}t^{\alpha-1}\,dt \tag{1.31}
\end{equation}
Vztahy pro střední hodnotu a rozptyl:
\begin{align}
E(X) &= \nu \tag{1.32}\\
D(X) &= 2\nu\tag{1.33}
\end{align}
Chí kvadrát rozdělení je asymetrické rozdělení. Kvantily jsou tabelované pro $\nu=1,\dots,100$. Pro $\nu>100$ se toto rozdělení aproximuje normálním rozdělením $N(\nu,2\nu)$. Chí kvadrát rozdělení se ukazuje jako velmi důležité v testech dobré shody a při testování statistických hypotéz.
Software STATISTICA používá pro výpočet hustoty funkci $Chi2(x;nu)$, pro výpočet distribuční funkce funkci $IChi2(x;nu)$ a pro výpočet kvantilů funkci $VChi2(x;nu)$, kde:
$nu$ = počet stupňů volnosti $\nu$.
Příklad 1.10:
Nechť náhodná veličina $X \sim \chi^2(15)$. Určete kvantil $\chi^2_{0,075}(15)$.
postup v programu Statistica
1. způsob: vytvoříme nový datový soubor o 1 proměnné a 1 případu, do dlouhého jména proměnné napíšeme:
$=VChi2(0,075;15)$ a dostaneme výsledek 7,96949137
2. způsob: výpočet pomocí pravděpodobnostního kalkulátoru: v menu vybereme: Statistiky - Kalkulátory - Rozdělení - vybereme rozdělení Chi 2, $sv$ - napíšeme 15, $p$ napíšeme 0,075, v okénku $chi 2$ se objeví vypočtený kvantil 7,969491.
Vykreslení hustoty a distribuční funkce náhodné veličiny $X \sim \chi^2(5)$ pomocí pravděpodobnostního kalkulátoru:
v menu vybereme: Statistiky - Kalkulátory - Rozdělení - vybereme rozdělení Chi 2, $sv$ - napíšeme 5, $chi 2$ napíšeme 0, zaškrtneme Vytv. graf - Výpočet.
